2019河南中考数学专项之函数图象及性质的探究

1、2019河南中考数学专项之函数图象及性质的探 究【中考母题】某班 ''数学兴趣小组对函数 y = x22|x|的图象和性 质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x-352-2-1012523y354m-10-10543其中，m=0;(2)根据上表数据，在如下图的平面直角坐标系中描点，并画出了函数 图象的一部分，请画出该图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程x2 2|x|=0有3个实数 根；方程x2 2|x|=2有2个实数根；关于

2、x的方程x2 2冈=2有4个实数根，a的取值范围是1<a<0.解：(2)如下图.(3)函数图象关于y轴对称；函数图象开口向上等，答案不唯一.(注：此题不累计给分，除(3)中每条性质2分外，其他每空1分)(2019河南21题10分)某班 ''数学兴趣小组对函数 y=x2 2|x|的图 象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x-352-2-1012523y354m-10-10543其中，m=.(2)根据上表数据，在如下图的平面直角坐标系中描点，并画出了函数 图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

3、(3)观察函数图象，写出两条函数的性 质.(4)进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2 2|x|=0有 个实数根；方程x2 2|x|=2有 一个实数根；关于x的方程x2 2|x| = a 有4个实数根时，a的取值范围是解：(1)0; (1 分)(2)如解图所示：3分解图(3)函数图象有两个最低点，坐标分别是(一1, 1)和(1, 1);函 数图象是轴对称图形，对称轴是直线 x = 0(y轴)；从图象信息直接看出： 当x< 1或0cx< 1时，函数值随自变量的增大而减小；当一1<x<0或 x>1时，函数值随自变量的增大而增大；在x<

4、 2或x>2时，函数值大于0,在2<x<0或0cx<2时，函数值小于0等.(答案不唯一，写出 两条合理即可)(6分)(4) 3, 3; 2;一1<a< 0. (10分)【解法提示】观察图象可知函数图象与 x轴有3个交点，.方程x2 2|x|=0有3个不相等的实数根；把抛物线 y = x22|x|向下平移2个单 位，得抛物线y=x2-2|x|-2,那么抛物线y = x2 2|x| 2与x轴只有2个 交点，方程x2-2|x|-2= 0有2个不相等的实数根；把抛物线y = x22|x|向上平移a(0< a< 1)时，抛物线与x轴有4个 交点，抛物线解析

5、式 y = x2 2|x|a 中，0< a< 1, 1 <a<0.I，、， 一 ，、11, 一 一【强化练习】1.有这样一个问题：探究函数丫=32 +'的图象与性质， 小东根据学习函数的经验，对函数y = 2x2 +1的图象与性质进行了探究，下 面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y与x的几组对应值.x-3-2-11213131 2123y2531一一551735m622155318822818函数y = 2x2 + 1的自变量x的取值范围是x*0, m的值为29； X X6(2)在如下图的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐 标的点，并画

6、出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：函数图象与 x轴有1个交点，所以对 应方程2x2 +1=0有1个实数根；方程x2 + 1=2有3个实数根；结合x xx x函数的图象，写出该函数的一条性质.解：(2)函数图象如下图.(3)答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象 没有经过第四象限.2.问题情境：矩形的面积为S(S为常数，S>0),当该矩形的长为多少时， 它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x,周长为y,那么y与x的函数关系式为 Sy = 2(x + x)(x>0).，一 x1探索研究：我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y = x+

7、;(x>0)x的图象性质.列表：x1413121234y17m522521017表中m="3；描点：如下图；连线：请在图中画出该函数的图象；观察图象,写出该函数的两条性质；解决问题：在求二次函数y=ax2+ bx+c(a# 0)的最大(小)值时，除了 1通过观察图象，还可以通过配方得到.同样通过配方也可以求函数 y = x+- x(x>0)的最小值.y=x+1=铲2+(由2=噌2+(42-2丘.狼+甘. Vx=(5一yx)2 + 2. . (F qx)2A0, yA2；.当Vx yx = 0,即 x=1时，y最小=2.请类比上面配方法，直接写出 ''问题情

8、境中的问题的答案.解：探索研究如图.性质：答案不唯一，如：函数有最小值 2, 当x>1时，y随x的增大而增大.解决问题：y=2(x + S)=2(yx2)2 + 4 VS,当心选=0,即x=，S寸，y有最小值4a/S, 二当该矩形的长为/S时， 它的周长最小；最小值是4 S.3.如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PMLAB交AB于点M, 连接MB,过点P作PNXMB于点N.AB = 6 cm,设A, P两点间的距离为 x cm, P, N两点间的距离为y cm.(当点P与点A或点B重合时，y的值 为0)小东根据学习函数的经验，对函数 y随自变量x的变化而变化的规律 进行了探究.下

9、面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了 x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.11B0.90(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点, 画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当 PAN为等腰三角形时，AP 的长度约为2.2cm.解：(2)利用描点法，画出图象如下图.(3)当 PAN为等腰三角形时，x = y,作出直线y = x与图象的交点坐标 为(22 2.2),.PAN为等腰三角形时，PA= 2.2 cm.4 .根据以下要求，解答相关问题：(1)请补全

10、以下求不等式2x2 4x A 0的解集的过程.构造函数，画出图象：根据不等式的特征构造二次函数 y=-2x2-4 x.抛物线的对称轴为x=1,开口向下，顶点(一1,2),与x轴的交点是(0,0), ( 2,0),用三点法画出二次函数y = 2x24x的图象如图1所示；数形 结合，求得界点：当y = 0时，求得方程2x2 4x = 0的解为 ；借助 图象，写出解集：由图象可得不等式一2x24xA0的解集为 .(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式 x2 2x+1<4的解 集.构造函数，画出图象；数形结合，求得界点；借助图象，写出 解集.(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助

11、一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2 + bx+c>0(a>0)的解集.解：(1)x1 = 0, x2 = -2;2WxW0;(2)构造函数，画出图象：构造函数 y = x22x+1,抛物线的对称轴 为x=1,开口向上，顶点坐标为(1,0),关于对称轴x=1对称的一对点为(0, 1), (2,1),用三点法画出函数图象如解图所示：数形结合，求得界点：当y = 4时，方程x22x+1=4的解为x1 = 1, x2 = 3;借助图象，写出解集：由题图可知，不等式 x2-2x+1<4 的解集是一1<x<3;(3)4b24ac>0时，关于x的不等式a

12、x2+ bx+ c> 0(a>0)的解集是 x>|三史或x<7|工；当b2_4ac= 0时，关于x的 2a2a不等式ax2+bx+ c>0(a>0)的解集是x 2a;当b24ac<0时，关于 x的不等式ax2+ bx+c> 0(a>0)的解集是全体实数.5 .抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0). (1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐 标及对称轴；(2)试说明无论a为何值，抛物线C1 一定经过两个定点，并求 出这两个定点的坐标；将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物 线C2,直接写出C2的表达式；(3)假设(2)中

13、抛物线C2的顶点到x轴的距离 为2,求a的值.解：(1)当 a=1 时,抛物线 C1:y=x2-4x-5.? (1 分)令 y=0,那么 x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5,.抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),? (2分) 对称轴为直线x=2.? (3分)(2)由抛物线 C1:y=ax2-4ax-5(a>0),可得其对称轴为直线x=? =2.? (4分)令x=0，有y=-5.抛物线C1过定点(0,-5).? (5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点 为点(4,-5),由抛物线的对称性可知，无论a为何值，抛物线C1 一定经过两个 定点(0,-5)和(

14、4,-5).? (6 分)y=-ax2+4ax-5(M!c y=-a(x-2)2+4a-5).? (7 分)(3)对于抛物线 C2:y=-ax2+4ax-5,当 x=2 时,y=4a-5,抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),? (8分)6.阅读下面材料：如图1,在平面直角坐标系xOy中直线y1=ax+b与双 曲线y2=?交于A(1,3)和B(-3,-1)两点.图1观察图象可知：x=-3或1时,y1=y2;当-3<x<0时,y1>y2,即通过观察 函数的图象，可以得到不等式ax+b>?加解集.?有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4>0的解集进行了探究.下面是他的探究过程，请将(2)(3)(4)补充完整：(1)将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立 当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x- 1>?当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x-1&