高数7-4多元函数的微分法ppt课件

1、一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则三、隐函数的求导公式三、隐函数的求导公式Ch7-4 Ch7-4 多元函数的微分法多元函数的微分法 一元复合函数一元复合函数( ),( )yf uux 求导法则求导法则ddddddyyuxuxd( )d( )( )dyfuufuxx 微分法则微分法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则链式法则链式法则ddddddzzuzvtutvt ( ( ),( )zftt 在点在点 t 可导可导, 则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则若定理中若定理中 ( , )( , )f u vu

2、v在在偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论不一定成立则定理结论不一定成立.定理定理 若函数若函数( ),( ),utvt ( , )zf u v 在点在点(u,v)处的偏导连续处的偏导连续, 在在 t 可导，可导，zvutt1. 链式法则链式法则推广推广:1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. 例如例如,( , ,) ,zf u v w 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 . .ddzt 123fff 2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形. 例如例如,( , ) ,( , ),( , )zf u vux yvx y z

3、x 1121ff 1222ff zy zzwvuvuxy xytttddzuut ddzvvt ddzwwt zuux zvvxzuuy zvvy( ),( ),( )utvtwt ( , ),( , )zf x vvx y 当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, , 有有zx 121ff zy 22f fz xyx注意注意: 这里这里zx fx zx 表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,fx 表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀 : 分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导fx fvvxfvvy与与不同不同,v 3) 复合函数中自

4、变量与中间变量共存时. 例如解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 注意：也可由注意：也可由z=exysin(x+y) ，直接对，直接对x、y求偏导。求偏导。 注意两种方法的区别。注意两种方法的区别。zvuyxyx而而z=x2sinyz=x2siny。求。求 222),(zyxezyxfu xu yu 解：解： xzzfxfxu yxyxeyxx2422sin22)sin21(2 yzzfyfyu yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2 yxze

5、xezyxzyxsin222222222 yxzeyezyxzyxcos222222222 例例2 2 zyxyxu解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet ztvutt注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到, ,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号. .2. 多元复合函数的高阶偏导数多元复合函数的高阶偏导数 通过例题介绍多元复合函

6、数的高阶偏导数通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(11uvufff ,),(21212vuvufff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf .,2221112ffff);(21yzff zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 例例6 设设z=f(2x+y)+f (2x y，ysi

7、nx)，求，求zxy。解解 zx =2f(2x+y) + f1 2 + f2 ycosxzxy = 2f (2x+y) +2(f11 (1) + f12 sinx)+ f2 cosx+ ycosx(f21 (1) + f22 sinx)= 2f (2x+y) f11+2 f12 sinx+ f2cosx y f21 cosx + y f22 sinxcosx设设z=f (u,v)z=f (u,v)具有连续的偏导数，则有具有连续的偏导数，则有 dvvzduuzdz 也也具具有有连连续续偏偏导导时时，又又设设),(),(yxvyxu 的的全全微微分分为为：则则复复合合函函数数),(),(yxyxf

8、z dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分由此可见，不论由此可见，不论z是自变量是自变量u、v函数，或是中函数，或是中间变量间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的，都是的，都是dvvzduuzdz 这个性质叫全微分形式的不变性。这个性质叫全微分形式的不变性。 利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数。利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数。duuz .dvvz dyyudxxuuz dyyvdxxvvz解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(

9、ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe小结小结 本部分主要讨论了多元复合函数的求导法则。本部分主要讨论了多元复合函数的求导法则。 本节要求理解多元复合函数的概念；熟练掌本节要求理解多元复合函数的概念；熟练掌握多元复合函数特别是抽象函数的一阶、二握多元复合函数特别是抽象函数的一阶、二阶偏导数的计算。阶偏导数的计算。思考与练习思考与练习1vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 vuyvuxyxz,arctan2xuy11

10、f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 3第五节 目录 上页 下页 返回 完毕 yexuyxufz, ),(1)( , )0F x y 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1. 一个方程的情形一个方程的情形三、三、 隐函数的求导公式隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。 将方程所确定的函数将方程所确定的函数y=f (x) 代入原方程代入原方程, 0 dxd

11、yyFxF 由于由于Fy 连续连续,且且Fy(x0,y0) 0,所以存在所以存在(x0,y0) 的一个邻域的一个邻域,在这邻域内在这邻域内Fy0 ,于是得于是得。yxFFdxdy 得恒等式得恒等式 F(x，f (x)0，)0( dxdyFFyx解解 令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为 yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22y

12、xyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx ,arctan)ln(xyyx 2221,arctan)ln(求求导导两两边边对对或或者者在在xxyyx 2221,2222212221xyxyyxyxyyx .xyyxy 例例2(2).( , , )0F x y z 由于由于 F(x，y，f (x ，y)0， 将上式两端分别对将上式两端分别对x和和y求导，应用复合函数求导，应用复合函数求导法则得求导法则得.0 ,0 yzFFxzFFzyzx 因为因为Fz连续连续,且且Fz(x0,y0,z0)0 ，所以存在点，所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内的一

13、个邻域，在这个邻域内Fz0 ,于是得于是得. ,zyzxFFyzFFxz 解解 令令那么那么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 求求偏偏导导两两边边对对或或者者在在xzzyx04222 ,zxxzxzxzzx 2422 例例4 4 设设(u(u，v) v) 具有连续的偏导数，证明由方具有连续的偏导数，证明由方程程 (cx(cxazaz，cycybz)=0bz)=0 确定的函数确定的函数z=f (x,y) z=f (x,y) ，满足，满足 . cyzbxza

14、 方程的两端对方程的两端对x x 求导有求导有 0)()( xzbxzacvu证明证明 方法一方法一 利用复合函数求导法则利用复合函数求导法则可得可得 .uuubacxz 方程两端对方程两端对y y 求偏导有求偏导有 0)()( yzbcyzauu可得可得 .vuvbacyz 于是有于是有 . cbabcacyzbxzavuvu 方法二方法二 公式法公式法 记记(cxaz，cybz)=F (x，y，z)，那么，那么Fx=cu，Fy=cv，Fz=aubv ,uuuzxbacFFxz ,uuuzybacFFyz 所以所以 . cyzbxza 方法三方法三 利用全微分形式的不变性利用全微分形式的不变

15、性移项移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz.dybacdxbacdzvuvvuu ,uuubacyz vuvbacyz 所以所以 于是于是 .cyzbxza d(cxaz，cybz)=udcxaz）+vd(cybz) =u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0 0),(0),(vuyxGvuyxF2. 方程组的情形方程组的情形在在点点),(0000vuyxP不不等等于于零零，则则方方程程组组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一组组连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),

16、(yxuu ，),(yxvv ，它它们们满满足足条条件件),(000yxuu , ,vv 0 ),(00yx，并并有有 ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv dxdzdxdyxzzxyyzyxGzyxF,),(),(0),(0),(要要求求在在一一定定条条件件下下，确确定定了了特特别别 注注 00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx从中解出从中解出dxdzdxdy,求导：求导：两边对两边对