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文档简介

1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件的质量设曲面形构件的质量),(zyxkkkkS),(nk 10limM),(kkk定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极

2、限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似： 积分的存在性. 假设 是分片光滑的,如分成两片光滑曲面oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(S

3、zyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分yxDyxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.haaln22aoxzyha考虑：假设 是球面2222azyx被平行平面 z =h截出的上下两部分, 那么) (dzS) (dzS0hln4aa例例2. 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx11112031zyx与例例3. 已知曲面壳已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . SMdyxyxyxDdd)(4132213xozy例例4. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI,22yx ，022yxz当22yxz当1yxDyxDyx)(22)258(614a222yxaayxddzzd例例5. 计算计算222,dSIxyz其中 是介于平面之间的圆柱面.222RyxHzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: Szyxfd),(yxDyxf,()

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