复变函数第五单元复数5复变函数留数

1、1CH 3 留数 1 1、孤立奇点、孤立奇点 2 2、留数留数( (Residue) ) 3 3、留数在定积分计算上的应用、留数在定积分计算上的应用2 2009, Henan Polytechnic University25.15.1 孤立奇点孤立奇点& 1. 1. 定义定义& 2. 2. 分类分类& 3. 3. 性质性质& 4. 4. 零点与极点的关系零点与极点的关系& 5. 5. 函数在无穷远点的状态函数在无穷远点的状态3 2009, Henan Polytechnic University3 1. 定义定义例如例如zezf1)( -z=0为孤立奇点

2、为孤立奇点zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇点奇点11)( zzf-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义.)(,0,)(0000的的孤孤立立奇奇点点为为则则称称内内解解析析的的某某个个去去心心邻邻域域但但在在处处不不解解析析在在若若zfzzzzzzf 4 2009, Henan Polytechnic University4xyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的必是孤立的.的的奇奇点点存存在在，总总有有邻邻域域内内不不论论多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn .1sin10的孤立奇点的孤立奇点不是不是故故zz

3、5 2009, Henan Polytechnic University52. 分类分类以下将以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察：考察： )!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特点：特点：没有负幂次项没有负幂次项 ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特点：特点：只有有限多个负幂次项只有有限多个负幂次项 nznzzez!1!211)3(211特点：特点：有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项6 2009, Henan P

4、olytechnic University6定义定义 设设z0是是f (z)的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，的去心邻域内， 若若f (z)的洛朗级数的洛朗级数 00)()()(nnnzzczfi没有负幂次项，称没有负幂次项，称z=z0为可去奇点为可去奇点;)1, 0()()()(0 mczzczfiimmnnn只有有限多个负幂次项，称只有有限多个负幂次项，称z=z0为为m 阶极点阶极点; nnnzzczfiii)()()(0有无穷多个负幂次项，称有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点为本性奇点.7 2009, Henan Polytechnic University7

5、3. 性质性质.)()(000解解析析在在补补充充定定义义：zzfczf 000)(lim)()(0czfzzczfzznnn q若若z0为为f (z)的可去奇点的可去奇点)1, 0()()(0 mczzczfmmnnnq若若z0为为f (z)的的m (m 1) 阶极点阶极点)()(1)()(lim00zgzzzfzfmzz 8 2009, Henan Polytechnic University8. 0)()(,)()()(:0020201 zgzzzgzzczzcczgmmm内内是是解解析析函函数数且且在在其其中中 422)1)(1(23)( zzzzzf例如：例如：z=1为为f (z)的

6、一个三阶极点，的一个三阶极点， z= i为为f (z)的一阶极点的一阶极点. 不不存存在在，也也不不为为负负幂幂次次项项的的洛洛朗朗级级数数有有无无穷穷多多项项)(lim)(zfzfnq若若z0为为f (z)的本性奇点的本性奇点9 2009, Henan Polytechnic University94. 零点与极点的关系零点与极点的关系定义定义 不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f (z)如果能表示成如果能表示成)()()(0zzzzfm Nmzzz ,)(, 0)(00点点解解析析在在其其中中： 则称则称z=z0为为f (z) 的的m 阶零点阶零点.与三阶零点。与三阶零点。的一阶的一阶

7、分别是分别是与与3)1()(10 zzzfzz例如：例如：10 2009, Henan Polytechnic University100)()()(0000 zczzcznnn ),)(, 0)(00Nmzzz 点点解解析析在在 . 0)()1, 2 , 1 , 0(0)()()()(0)(0)(0 zfmnzfzzzzfmnm 定理定理事实上事实上，必要性得证！必要性得证！ 00)()(nmnnzzczf0!)(),1, 2 , 1 , 0(0)(:00)(0)( cmzfmnzfTaylormn而而级级数数的的系系数数公公式式有有由由充分性略！充分性略！11 2009, Henan Po

8、lytechnic University11的的零零点点。均均为为与与3)1()(10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)( 23)1(3)1()( zzzzf又又0)1( f)1(6)1(6)(2 zzzzf为为一一阶阶零零点点00)1()0( 3 zf为三阶零点为三阶零点1 z06)1( f0)1( f12 2009, Henan Polytechnic University12阶阶极极点点的的是是若若mzfz)(0定理定理:.)(10阶零点阶零点的的是是mzfz证明证明)()(1)(0zgzzzfm “”若若z0为为f (z)的的m 阶极点阶极点 0)(,)(00 zg

9、zzg且且解解析析在在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm .0)(,)(00 zhzzh且且解解析析在在，令令0)(1, 0)(1lim00 zfzfzz.)(10阶零点阶零点的的是是则则mzfz13 2009, Henan Polytechnic University13则则阶阶零零点点的的是是”若若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm .0)(,)(00 zzz 且且解解析析在在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm 时，时，当当 .0)(,)(00 zzz 且且解析解析在在.)(0阶阶极极点点的的是是mzfz14 2009, He

10、nan Polytechnic University14.)1)(1()( 2如如果果是是极极点点指指出出它它的的阶阶的的奇奇点点，求求zezzzf 例例解解显然，显然，z= i 是是(1+z2)的一阶零点的一阶零点, 2, 1, 0)12()12()2()1(1, 01 kikzikkiLnzeekzz故故奇奇点点为为：即即 0)12(sin)12(cos)1()12()12( kikeekizzkizz的的一一阶阶零零点点是是zkekkiz 1), 2, 1, 0()12(15 2009, Henan Polytechnic University15.)(), 2, 1()12(;)(一一

11、阶阶极极点点的的为为的的二二阶阶极极点点为为zfkkizzfizk 综合综合.极极点点，指指出出它它的的阶阶数数如如果果是是孤孤立立奇奇点点，奇奇点点类类型型，练练习习：考考察察下下列列函函数数的的)1(1)()1(2 zezzfzzzf)1ln()()2( 16 2009, Henan Polytechnic University1611)()5(23 zzzzfzzzfsin1)()6( 11)()7( zezf 322sin)2()1()()8(zzzzf 2211)()3( zzzf3sin)()4(zzzf 17 2009, Henan Polytechnic University1

12、75. 5. 函数在无穷远点的状态函数在无穷远点的状态.)()(的的孤孤立立奇奇点点为为内内解解析析，那那么么称称点点在在若若函函数数zfzRzf .)1(0)(的的状状态态相相同同在在的的状状态态与与在在tftzfz 由此得定义：由此得定义：展成幂级数展成幂级数在在将函数将函数,)( nnnnzczRzf定义定义规定规定 .-,-展展式式中中含含无无穷穷项项正正幂幂项项本本性性奇奇点点为为最最高高正正幂幂；且且展展式式中中含含有有限限项项正正幂幂阶阶极极点点展展式式中中不不含含正正幂幂项项；可可去去奇奇点点mzm18 2009, Henan Polytechnic University18&

13、amp; 1. 留数的定义留数的定义& 2. 留数定理留数定理& 3. 留数的计算规则留数的计算规则& 4. 在无穷远点的留数在无穷远点的留数5.2 留数留数(Residue)19 2009, Henan Polytechnic University191. 留数的定义留数的定义rzzzzczfnnn 000 ,)()(设设 cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐项项积积分分得得：线线对对上上式式两两边边沿沿简简单单闭闭曲曲),)(00在在其其内内部部包包含含的的孤孤立立奇奇点点是是zczfz 的的奇奇点点所所围围成成的的区区域域内内含含有有未未必必为为所所围围

14、成成的的区区域域内内解解析析在在)(0)(0)(zfcczfdzzfc20 2009, Henan Polytechnic University20定义定义设设 z0 为为 f (z) 的孤立奇点，的孤立奇点， f (z) 在在 z0 邻域内邻域内的洛朗级数中负幂次项的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数的系数 c1 称为称为f (z)在在 z0 的的留数留数，记作，记作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0).由留数定义由留数定义, Res f (z), z0= c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故21 2009, Henan Polyt

15、echnic University212. 留数定理留数定理)3(),(Re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 则则上上解解析析内内及及在在除除此此以以外外有有限限个个孤孤立立奇奇点点内内有有在在函函数数是是一一条条简简单单闭闭曲曲线线设设定理定理,), 2 , 1(,围围绕绕内内孤孤立立奇奇点点将将曲曲线线互互不不相相交交的的正正向向简简单单闭闭用用互互不不包包含含kkzcnkc 证明证明22 2009, Henan Polytechnic University22Dcznz1z3z2 nkknkcczzfsdzzfidzzfik11),(Re)(

16、21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由复合闭路定理得：由复合闭路定理得：用用2 i 除上式两边得除上式两边得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得证！得证！23 2009, Henan Polytechnic University23A 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数奇点的留数. 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用将是采用将 f (z) 在在 z0 邻域内邻域内展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数 c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇点的类型，对求

17、留数更为有利奇点的类型，对求留数更为有利.0),(Re0)(010 zzfsczzi为可去奇点为可去奇点若若以下就三类孤立奇点进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3. 留数的计算规则留数的计算规则24 2009, Henan Polytechnic University24规则规则有以下几条有以下几条为极点时，求为极点时，求若若),(Re)(00zzfszziii 规则规则I)4( );()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一阶阶极极点点是是若若1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展开展开为本性奇点为本性奇点若若25 2009, H

18、enan Polytechnic University25阶阶极极点点的的是是若若mzfz)(0规则规则II )5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 26 2009, Henan Polytechnic University26事实上事实上，由条件，由条件)0(,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式两两边边以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm阶导数得阶导数得两边求

19、两边求 .)5(,)!1()()(lim10110式式移移项项得得 cmzfzzdzdmmmzz27 2009, Henan Polytechnic University27A当当m=1时，式时，式(5)即为式即为式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( , 0)(, 0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的的一一阶阶极极点点是是处处解解析析在在设设规则规则III事实上事实上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一阶阶极极点点为为从从而而的的一一阶阶零零点点为为及及zQzzQzzQzQ 0)()()(1)(1,

20、000 zzzzzzzQ 处处解解析析且且在在因因此此28 2009, Henan Polytechnic University28),0)(,)()()()(1)(000 zgzzPzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得证证！0)( )( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzPzzzQzQzPzfzzzzfszzzz 由由规规则则阶阶极极点点的的为为则则,)(0zfz29 2009, Henan Polytechnic University29 22)1(25:zdzzzz计计算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和和一一个个二二

21、阶阶极极点点极极点点的的内内部部有有一一个个一一阶阶在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzzzfzfszz 由由规规则则)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由规规则则22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 30 2009, Henan Polytechnic University302:14 zcdzzzc正正向向计计算算例例2解解内内，都都在在圆圆周周个个一一阶阶极极点点有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由规则由规则041414

22、1412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故31 2009, Henan Polytechnic University31dzzzz 13cos计计算算例例3解解的的三三阶阶极极点点有有一一个个0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由规规则则32 2009, Henan Polytechnic University32)( tanNndzznz 计计算算例例4解解), 2, 1, 0(2

23、1,20coscossintan kkzkzzzzz即即解解得得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由规规则则为为一一阶阶极极点点III,21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz 33 2009, Henan Polytechnic University33 ninikzsizdznknz422,tanRe2tan2121 故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则数，不要死套规则.6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0si

24、n)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三阶阶零零点点是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三阶极点的三阶极点.34 2009, Henan Polytechnic University34:)(级级数数展展开开作作若若将将Laurentzfsinlim)!13(10 ,sinRe306 zzzzzzsz由由规规则则! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-该方法较规则该方法较规则II更简单！更简单！35 2009, Henan Polytechnic University35 6655

25、06sinlim)!16(10 ,sinRezzzzdzdzzzszA(2) 由规则由规则II 的推导过程知，在使用规则的推导过程知，在使用规则II时，可将时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更取得比实际级数高，这可使计算更简单简单.如如! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 zzzdzdzz36 2009, Henan Polytechnic University363. 3. 在无穷远点的留数在无穷远点的留数.)()(21)(的的留留数数在在为为闭闭曲曲线线，那那么么称称积积分分向向为为圆圆环环域域内内一一条条简简单单正正内内解解析析，在在圆圆环环域域设设

26、zfdzzfiCzRzfC wccwcwcwfwwzmm1)1()(,1101 则则若若令令定义定义1),(Re czfs由此得由此得)0),1(1(Re),(Re2wfwszfs .32)(2的的留留数数在在点点例例如如求求 zzzf37 2009, Henan Polytechnic University37定理定理如果如果 f (z) 在扩充复平面内只有有限个孤立在扩充复平面内只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），奇点（包括无穷远点）， 那么那么f (z) 在在 所有孤立奇所有孤立奇点点 的的留数和等于零留数和等于零.1)2();,1(Re1242dzzzzzeszz ）练练习习：（38

27、2009, Henan Polytechnic University385.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用的的有有理理函函数数；为为其其中中 sin,cos)sin,(cos,)sin,(cos . 120RdR ;)( . 2dxxR ).0( )( . 3adxexRiax39 2009, Henan Polytechnic University39在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数积分中的被积函数的原函

28、数，不能用初等函数表示出来；例如表示出来；例如 ,1cos,sin2dxxxdxxx或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如复杂，例如 ,)1(122dxx40 2009, Henan Polytechnic University40（2 2）利用留数计算积分，没有一些通用的方法）利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；，我们主要通过例子进行讨论；利用留数计算积分的特点：利用留数计算积分的特点：（1 1）利用留数定理，我们把计算一些积分的问）利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留题，

29、转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；数，从而大大化简了计算；41 2009, Henan Polytechnic University41例例1.1. 计算积分计算积分20,sintadtI其中常数其中常数a1.解：令解：令zeit izdzdtzzit ),(sin121而且当而且当t从从0增加到增加到2时，时，z按逆时针方向绕按逆时针方向绕圆圆C:|z|=1一周一周. .42 2009, Henan Polytechnic University42因此因此,1222 CiazzdzI于是应用留数定理，只需计算于是应用留数定理，只需计算1222 iazz在在|z|1内

30、极点处的留数，就可求出内极点处的留数，就可求出I. .上面的被积函数有两个极点：上面的被积函数有两个极点：121 aiiaz122 aiiaz显然显然1| , 1|21 zz43 2009, Henan Polytechnic University43因此被积函数在因此被积函数在|z|1，那么，那么z=i包含在包含在Cr的内区域内的内区域内, ,沿沿 Cr取取22)1(1z 的积分，得的积分，得47 2009, Henan Polytechnic University47现在估计积分现在估计积分 rzdz22)1(我们有我们有,)1(1|)1(|2222rrzdzr 因此因此, 0)1(lim

31、22 rzdzr令令 ，就得到就得到r.2)1(22 xdxI48 2009, Henan Polytechnic University48结论结论2 2. .应用同样得方法，我们可以计算一般形如应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)( dxxRI的积分，其中的积分，其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在实轴上分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2 2次次. .), 2 , 1(, ),(Re21点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzzRsiIknkk 49 2009, Henan Polytechnic Un

32、iversity49)2( )( 1111 nmbzbzazazzRmnmnnn由由于于mmnnnmmmnnnmzbzbzazazzbzbzazazzR 11111111111111)( 故故219111)(101,10121111 zzzRzbzbzazaznmmmnn可可得得充充分分大大时时，可可使使当当. 0)(,2)()(2 RRRCCCdzzRRRRdszRdzzR时时即即当当因因此此， 50 2009, Henan Polytechnic University50例例3.3. 计算积分计算积分 02.1cosdxxxI解：取解：取r0，则有，则有,121)1(21cos20202

33、rrixrixixrdxxedxxeedxxx12 zeiz0 y函数函数 在在时有一阶极点时有一阶极点z=i外，在外，在其他每一点都解析其他每一点都解析, ,取积取积分区域如图，而只要取分区域如图，而只要取r1. .于是我们有于是我们有51 2009, Henan Polytechnic University51于是我们有于是我们有,),1(Re211222eizesidzzedxxeizizrrixr r其中其中 表示表示Cr 上的圆弧部分，沿它的积分是按上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的幅角增加的方向取的. .52 2009, Henan Polytechnic Univer

34、sity52)1(2121212111112202220sin20sin2sin222rrrrryyizizerrrderrderrderrdserdszedzzerrr 而而012 rdzzeriz时时由由此此，当当.21cos02edxxxI 即即,1lim2edxxerrixr 因因此此)2,0(,1sin2 53 2009, Henan Polytechnic University53结论结论3 3. .应用同样得方法，我们可以计算一般形如应用同样得方法，我们可以计算一般形如)0( )( adxexRIiax的积分，其中的积分，其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在实轴上不为零分母

35、在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高，并且分母的次数比分子的次数至少高1 1次次. .), 2 , 1(,sin)(cos)(),)(Re2-1点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzaxdxxRiaxdxxRzezRsiIknkkiaz 54 2009, Henan Polytechnic University54)1(24422)()(20220sin0sinsinararararryayiaziazeardedededserdsezRdzezRrrr 而而.), 2 , 1(, ),(Re2)()(1点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中事事实

36、实上上，nkzzzRsidzezRdxexRknkkrriaziaxr 0)( rdzezRriaz时时由由此此，当当.), 2 , 1(, ),)(Re2)(1点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzezRsidxexRknkkiaziax 55 2009, Henan Polytechnic University55其中其中R(x,y)是有理分式，并且在圆是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等上，分母不等于零于零. .结论结论1 1：.1)21,21()cos,(sin12220dzizzzizzRdtttRz 其中其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在实轴

37、上不为零，并且分分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高母的次数比分子的次数至少高2 2次次. .结论结论2 2：.), 2 , 1(, ),(Re2)(1点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzzRsidxxRknkk 56 2009, Henan Polytechnic University56其中其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高母的次数比分子的次数至少高1 1次次. .结论结论3 3：.), 2 , 1(, sin)(cos)(),)(Re2) 0()(-1点点为为上上半半平

38、平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzaxdxxRiaxdxxRzezRsiadxexRknkkiaziax 57 2009, Henan Polytechnic University57 练习练习. . 计算下列积分计算下列积分. . 20451; cos2cos1)(dI );0, 0( )()2(22222badxbxaxxI ).0( sin)3(22adxaxxxI58 2009, Henan Polytechnic University58 例例4.4. 计算积分计算积分 0,sindxxxI,22sin rixrixrixixrdxxedxxeidxixeedxxx 函数函数

39、只是在只是在z=0有一个一阶极点有一个一阶极点. .zeizr及及 0 r解：取解：取 ，使，使59 2009, Henan Polytechnic University59于是我们有于是我们有, 0 dzzedxxedzzedxxeizrixizrixr作积分路径如右图作积分路径如右图, ,在上半在上半平面上作以原点为心平面上作以原点为心, ,r与与 r 与与 为半径的半圆为半径的半圆r 与与在在这这里里沿沿 的积分分别是按幅角的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的减小与增加的方向取的. . dzzeiz现在求当现在求当 趋近于趋近于0 0时，时， 的极限的极限. .围道积分法围道积分法60

40、 2009, Henan Polytechnic University60其中其中h(z)是在是在z=0的解析函数的解析函数. .因此因此,)()(1 dzzhidzzhdzzdzzeiz由于，由于，h(z)在在z=0的解析，在的解析，在z=0的一个邻域内的一个邻域内，|h(z)|有上界有上界 M0 z),(1zhzzeiz 当当 时时,2|)(| Mdzzh 于是当于是当 充分小时充分小时61 2009, Henan Polytechnic University61从而从而,lim0idzzeiz .2 I r , 0 令令 ，应用结论，应用结论3 3的推导过程，可的推导过程，可以得到所求积

41、分收敛，并且以得到所求积分收敛，并且62 2009, Henan Polytechnic University62本章作业本章作业1.（3），（），（5），（），（9）；）；8.（3），（），（5），（），（6），（），（7）；）；9.（1），（），（2），（），（5）；）；10.（2），（），（3）；）；11.（1）；）；12.（1）；）；13.（1），（），（4），（），（5）.63 2009, Henan Polytechnic University63留数留数孤孤立立奇奇点点类类型型判判定定留留数数应应用用留留数数求求法法 0z 0z）内内洛洛朗朗展展式式含含负负幂幂情情况况定定义义（

42、在在rzz 00 不不存存在在计计算算极极限限)(lim0)()(lim,)(lim)(lim00000zfczfzzzfczfzzmzzzzzz阶阶零零点点）阶阶零零点点，为为为为利利用用零零点点和和极极点点关关系系（nzPmzQzzQzP)()(,)()(0）内内洛洛朗朗展展式式含含正正幂幂情情况况定定义义（在在 zR)(limzfz 计计算算极极限限中中的的类类型型在在转转化化，判判定定)1(0wfw ）定定义义（洛洛朗朗展展式式1 c 本本性性奇奇点点，洛洛朗朗展展式式阶阶极极点点留留数数为为可可去去奇奇点点根根据据孤孤立立奇奇点点类类型型101)()(lim)!1(10,0mmmzz

43、dzzfzzdmm 利利用用留留数数定定理理转转化化洛洛朗朗展展式式无无穷穷远远点点留留数数0),1(1Re21zfzsc简简单单正正向向闭闭曲曲线线积积分分积积分分三三种种特特殊殊类类型型实实变变函函数数64 2009, Henan Polytechnic University64类型类型1 1：.1)21,21()cos,(sin12220dzizzzizzRdtttRz 类型类型2 2：.), 2 , 1(, ),(Re2)(1点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzzRsidxxRknkk 类型类型3 3：.), 2 , 1(),)(Re2) 0()(sin)(co

44、s)(1-点点为为上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中，nkzzezRsiadxexRaxdxxRiaxdxxRknkkiaziax 65 2009, Henan Polytechnic University65 例例1.1.在扩充复平面讨论下列函数奇点类型在扩充复平面讨论下列函数奇点类型. .;1 )1(zez .)sin(1 )2(z 例例2.2.计算计算. .;,1Res )1(2 zez;1,1sinRes )2( zz.,1sin1Res )3( z).()()(2)()() )()() )(! 32)0(0)0(1)0(,! 51! 311)(.61)sin(lim! 21

45、0 ,sin1Res )3(3-2-2-1-4202zzzzzzzzzzzzzzzz 而而；，则则令令解解答答提提示示：原原式式66 2009, Henan Polytechnic University66 例例3.3.计算计算. .;)3)(1()( )1(210 zzzizdz;cos45 )2(0 xdx.1)1cos( )3(-2dxxx ;)3(0)13()3(12,)3)(1()(1Res3 ,)3)(1()(1Res2 1 ,)3)(1()(1Res,)3)(1()(1Res2 )1(101010101010iiiizzizzzizizzizizzizi 原原式式 解：解：67 2009, Henan Polytechnic University67;321,2521Re22 25212112145121 )2(21122 zzsiidzzzidzizzzzz原原式式. 1cos1cos,11Re2Re 11coscos11sinsin1coscos )3(2-2-2eiezsidxxxdxxxxiz 原原式式68 2009, Henan Polytechnic University68级数级数常常数数项项级级数数函函数数项项级级数数（幂幂级级数数） 1)(nnniba 在在收收