材料结构与性能第三讲 晶体学点群

1、第三讲第三讲 晶体学点群晶体学点群 32种晶体学点群种晶体学点群 点群的表示符号及性质点群的表示符号及性质 点群的推导方法点群的推导方法 晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体学点群晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操作后。点对称操作的共同特征是进行操作后物体中物体中至少有一个点是不动的至少有一个点是不动的。 晶体学中，晶体学中，点对称操作点对称操作只能有轴次为只能有轴次为1,2,3,4,6的旋的旋转轴和反轴。转轴和反轴。( (对称中心对称中心= = ，镜面，镜面= )= ) 如果把点对称操作元素通过一个公共的点按所有可如果把点对称操作

2、元素通过一个公共的点按所有可能组合起来，则一共可以得出能组合起来，则一共可以得出32种不同的组合方式，种不同的组合方式，称为称为32种晶体学点群种晶体学点群。 3232种晶体学点群种晶体学点群3232种晶体学点群种晶体学点群V 点群是至少保留一点不动的对称操作群。点群是至少保留一点不动的对称操作群。 点群点群晶体晶体+ +非晶体非晶体 3232种晶体学点群是满足种晶体学点群是满足“晶体制约晶体制约”的的点群点群。 晶体结构的许多固体物理学性质的晶体结构的许多固体物理学性质的点对称性点对称性都与其都与其所所对应的点群对应的点群有关。有关。 晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过晶体或其他物体所具

3、有的点对称性可以通过点群符点群符号号简洁地描述出来。根据这些符号人们可以知道其简洁地描述出来。根据这些符号人们可以知道其全部点对称性全部点对称性，即，即点群符号点群符号可以对应着晶体或物体可以对应着晶体或物体的的全部点对称性全部点对称性。32晶类的推演晶类的推演 http:/metafysica.nl/derivation_32.html点群的点群的Schnflies符号符号 Cn: 具有一个具有一个n次旋转轴的点群。次旋转轴的点群。Cnh: 具有一个具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。Cnv: 具有一个具有一个n次旋转轴和次旋转轴和n个通过该

4、轴的镜面的点群。个通过该轴的镜面的点群。Dn: 具有一个具有一个n次旋转主轴和次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。个垂直该轴的二次轴的点群。Sn:具有一个具有一个n次反轴的点群。次反轴的点群。T:具有具有4个个3次轴和次轴和4个个2次轴的正四面体点群。次轴的正四面体点群。O:具有具有3个个4次轴次轴,4个个3次轴和次轴和6个个2次轴的八面体点群。次轴的八面体点群。3232种点群的表示符号及性质种点群的表示符号及性质 6m31.旋转轴旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,62. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：

5、C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m, ,4/m,6/m3.旋转轴加通过该轴的镜面：旋转轴加通过该轴的镜面：C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm4.旋转反演轴旋转反演轴S2= Ci, S4,S6=C3d; 3, 4, 132种点群的表示符号及性质种点群的表示符号及性质m24m326m5.旋转轴旋转轴(n)加加n个垂直于该轴的二次轴：个垂直于该轴的二次轴： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋转轴旋转轴(n)加加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：个垂直于该轴的二次轴和镜面： D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, ,4/

6、mm,6/mmm7. D群附加对角竖直平面：群附加对角竖直平面： D2d,D3d; ，8. 立方体群立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432, ,m3mm34晶体点群的晶体点群的Schnflies符号符号和和国际符号国际符号晶体学点群的对称元素方向及国际符号晶体学点群的对称元素方向及国际符号晶系晶系第一位第一位第二位第二位第三位第三位点群点群可能对称可能对称元素元素方向方向可能对称元可能对称元素素方向方向可能对称元可能对称元素素方向方向三斜三斜1, 1任意任意无无无无1， 1单斜单斜2,m,2/mY无无无无2,m,

7、2/m正交正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方四方4, 4，4/mZ无，无， 2，mX无，无， 2，m底对底对角线角线4, 4，4/m，422，4mm, 42m, 4/mmm三方三方3, 3Z无，无， 2，mX无无3, 3, 32,3m, 3m六方六方6, 6, 6/mZ无，无， 2，mX无，无， 2，m底对底对角线角线6, 6, 6/m,622, 6mm, 62m, 6/mmm立方立方2,m,4, 4X3, 3体对体对角线角线无，无， 2，m面对面对角线角线23,m3,432, 43m, m 3m点群推导方法点群推导方法 外延推演法：外延推演法： 从从7种晶系的主要点对称特

8、征出发外延推演，种晶系的主要点对称特征出发外延推演，可以推导出可以推导出32种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十分明确。分明确。 旋转群推导法：旋转群推导法：先推导出先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演种纯旋转晶体学点群，与反演操作组合可得操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外种中心对称的晶体学点群，再推导出另外10种非中心对称的点群。优点是速度快。种非中心对称的点群。优点是速度快。 循环群推导法：循环群推导法：先确定先确定5种循环群，种循环群，1、2、3、4、6，再在，再在每种循环群上加上新对称操作，或用每种循环群上加上新对称操作，或用

9、 代替代替n轴。优点是轴。优点是透彻了解各种点群的对称操作。透彻了解各种点群的对称操作。 对称元素组合法：对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。利用对称元素组合定律进行点群的推导。n外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群1. 三斜晶系三斜晶系对称操作是对称操作是1(C1)或或 (i)（1）如果只有对称操作）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。，则形成最简单的点群。该点群的阶数该点群的阶数h是是1，满足群的定义：，满足群的定义：1一个元素只能自乘：一个元素只能自乘： 1(C1) 1(C1)= 1(C1)，具有，具有封闭性封闭性；

10、单元素也可有结合律：单元素也可有结合律： 1(C1) 1(C1) 1(C1)=1(C1) 1(C1) 1(C1);有单位元素：有单位元素： 1(C1) 1(E) = 1(E) 1(C1)= 1(C1)；1(C1)的逆阵仍是的逆阵仍是1(C1)。（2）有对称操作）有对称操作1(C1)或或 (i)，则它们构成两元素，则它们构成两元素点群。点群。 用符号用符号 (S2) 表示，点群的阶表示，点群的阶h是是2 。元素为。元素为1, 即即E，i。当然也满足群的定义，这个点群。当然也满足群的定义，这个点群的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一个单位元素个单

11、位元素1(E)， (i)的逆仍是的逆仍是 (i)。 111111(C1)(i)1外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群2. 单斜晶系单斜晶系单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴2(C2)或或2次旋转次旋转反演轴反演轴 =m (h)。2(1) 当一物体有单一的当一物体有单一的2次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用2或或C2表示，表示，即即2(C2)。这是一个阶数。这是一个阶数h为为2的点群。其对称操作为的点群。其对称操作为1，2或或E，C2。(2) 当一物体只有当一

12、物体只有 或或m对称时，也构成阶数对称时，也构成阶数h为为2的点群的点群1，m或或E ，h。其点。其点群符号为群符号为m(C1h)。2(3) 如果单斜晶系中如果单斜晶系中2及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群1，2， ，m或用熊夫利斯符号表示成或用熊夫利斯符号表示成E，C2，i， h。其中。其中h为为4，即为四元素，即为四元素点群。符号是点群。符号是 C2h，重要元素为，重要元素为2和和m。1m2外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系32

13、32种晶体学点群种晶体学点群国际符号中国际符号中 表示镜面表示镜面m m垂直于垂直于n n次旋转轴，次旋转轴，nmnm表示镜面表示镜面m m包包含含n n次旋转轴，所以实际有次旋转轴，所以实际有n n个镜面个镜面m m。mn熊夫利斯符号熊夫利斯符号C Cn n表示一个含有表示一个含有C Cn n， ，的点群。的点群。C Cnhnh表表示这种点群中还含有垂直于示这种点群中还含有垂直于C Cn n的镜面，点群的镜面，点群C Cnhnh中对称操作数中对称操作数目是目是C Cn n群中的两倍。群中的两倍。C Cnvnv表示镜面含表示镜面含C Cn n轴。点群轴。点群C Cnvnv中对称操作中对称操作数

14、目也是数目也是C Cn n群的两倍。群的两倍。Cn22(C2)m(C1h)(22 hCm外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群3. 正交晶系正交晶系正交晶系有两个互相垂直的正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第次轴或两个镜面，因此也必有第三个三个2次轴。次轴。(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群 1， ， ， 或用或用222表示。这里国际符号按字符顺序表示的内容依次是表示。这里国际符号按字符顺序表示的内容依次是a、b和和c轴的对称轴的对称性。性。对称特征对称特征：h是是4 。熊夫利斯符号为。熊夫利斯符

15、号为 E， ， ， ，用，用D2表示，指在垂直于表示，指在垂直于2次轴方向有次轴方向有2次轴。次轴。1002010200121002C0102C0012C(2)两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个2次轴。如果两个镜面次轴。如果两个镜面分别垂直于分别垂直于a、b向，则向，则c必为必为2次轴。构成点群次轴。构成点群 1， ， ， 或或mm2表示，表示，h是是4。熊夫利斯符号：熊夫利斯符号： E， ， ， ，或用，或用C2v表示。表示。0012010m100m0012C10020102mm2是国际表中表示点群的是国际表中表示点群的标准形式标准形

16、式。非标准非标准形式形式 2mm (a是是2次轴次轴) m2m (b是是2次轴次轴)外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群(3)在不改变正交晶系的前提下，可使在不改变正交晶系的前提下，可使a、b、c轴均为轴均为2次轴，且有垂直于三轴的次轴，且有垂直于三轴的3个个镜面。镜面。3个镜面可导出反演操作。个镜面可导出反演操作。构成一个新点群，即构成一个新点群，即1, 2 100， 2 010， 2 001， m 100， m 010， m 001， 或用或用 表示，也可表示，也可简简略成略成mmm，其，其h是是8。相。相应应的熊夫利斯符号是的熊夫利斯符号是 E，

17、 C 2100， C 2010， C 2001， 100， 010， 001 ，或用，或用D 2h表示。表示。1D2表示点群有表示点群有3个个2次轴，若加一个镜面可推导出其他对称元素。符号次轴，若加一个镜面可推导出其他对称元素。符号D2h中的中的h表示表示点群还有一个垂直于点群还有一个垂直于2次轴的镜面次轴的镜面h h。mmm222222（D2）mm2（C2v）mmm（D2h）4. 四方晶系四方晶系四方晶系只在单一的方向上有四方晶系只在单一的方向上有4次轴，或次轴，或4次反演轴次反演轴 。（1）点阵有）点阵有4次轴时构成次轴时构成h为为4的点群，即的点群，即 1，41，422，43 。可用。可

18、用4或或C4表示。表示。（2）在点阵垂直于）在点阵垂直于4次轴的方向加一个次轴的方向加一个2次轴，则必有另一个次轴，则必有另一个2次轴，次轴，且且4次轴与两个次轴与两个2次轴垂直。产生了两个新的次轴垂直。产生了两个新的2次轴次轴110和和 ，从而得到从而得到h为为8的点群，的点群， 1，4 001 , 2 001 , 43001 , 2 100， 2 010， 2 110, ，用符号，用符号422或或D4表示。表示。（3）在点阵垂直于）在点阵垂直于4次轴的方向加上镜面次轴的方向加上镜面 ，则可得新的点群，则可得新的点群1，41，2，43， ， ， ， ，其，其h为为8。该点群用符号。该点群用符

19、号 或或C4h表示。因为点群中有反演操作表示。因为点群中有反演操作 ，所以是，所以是中心对称点群中心对称点群。外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群4011 3400122141m410112外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群（4）在点阵平行于）在点阵平行于4次轴方向，即在矢量次轴方向，即在矢量a和和c所决定的面上加镜面。则得所决定的面上加镜面。则得则可得新的点群则可得新的点群1，41，2，43， ， ， ， ，其，其h为为8。该点群用符合。该点群用符合4mm或或C4v表示。表示。（5）垂直于点阵的）垂直于点阵

20、的4次轴加镜面和次轴加镜面和2次轴，即点群次轴，即点群422和和 组合在一起，组合在一起，构成构成h为为16的新点群，用的新点群，用 表示，或简写成表示，或简写成 。熊夫利斯。熊夫利斯符合是符合是D4h。因为点群中有反演操作因为点群中有反演操作 ，所以是，所以是中心对称点群中心对称点群。（6）点阵有）点阵有 轴时也构成轴时也构成h为为4的点群，即的点群，即 1， ， ， ，可用，可用 或或S4表示。表示。（7）在点群）在点群 垂直于垂直于 轴方向加轴方向加2次轴，得到矢量次轴，得到矢量a与与b间对角线方间对角线方向的镜面向的镜面 和和 。这样形成的点群，其。这样形成的点群，其h为为8。该点群用

21、。该点群用 或或D2d表示。表示。0112010210021102114mmm224mmm44434242m24)(44S11020112外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群 四方晶系对应四方晶系对应7种点群。其中点群种点群。其中点群 是该晶系中心对称和全对称是该晶系中心对称和全对称点群，它概括了该晶系中所有可能的对称操作。因此所有点群都是点群点群，它概括了该晶系中所有可能的对称操作。因此所有点群都是点群 的子群。的子群。mmm224mmm4)(44hDmmm)(44vCmm)(44hCm)(4224D)(44C)(44S)(242dDm外延推演法推导

22、外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群5三方晶系三方晶系 三方晶系要求在单一的方向上有三方晶系要求在单一的方向上有3次轴或次轴或3次反演轴次反演轴 ，这即可构成点群这即可构成点群3或或 。33序号国际符号（完全）国际符号（省略）熊夫利斯符号h推导方法1633C33173232D36垂直于3次轴加2次轴183m3mC3v6平行于3次轴加镜面19S6或C3i6（中心对称）20D3d12点群32与3m组合（中心对称，全对称）3m233m3 国际符号按字符顺序表示的内容依次是国际符号按字符顺序表示的内容依次是c向，向，a、b和和a+b向，以及垂直于向，以及垂直于a、b和和a+

23、b向的对称性。符向的对称性。符号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操作作1的方向。的方向。 点群点群 具有中心对称性和全对称性。若垂直于具有中心对称性和全对称性。若垂直于3次轴加镜面，则有次轴加镜面，则有 即为即为 ，且属于六方晶，且属于六方晶系，不在这里讨论。系，不在这里讨论。 注意不要认为熊夫利斯符号注意不要认为熊夫利斯符号S6表示的是六方晶系。表示的是六方晶系。外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群m3m36外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群)(33C)(32

24、3D)(33vCm)(36S)(33dDm外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群六六 六方晶系六方晶系 六方晶系要求在单一的方向上有六方晶系要求在单一的方向上有6次轴或次轴或6次反演轴次反演轴 ，这即可构成点群这即可构成点群6或或 。66序号国际符号（完全）国际符号（省略）熊夫利斯符号h推导方法2166C6622622622D612垂直于6次轴加2次轴23C6h12垂直于6次轴加镜面（中心对称）246mm6mmC6v12平行于6次轴加镜面m6m6序号国际符号（完全）国际符号（省略）熊夫利斯符号h推导方法25C3h626D3h12垂直于6次反演轴加2次轴2

25、7D6h24点群 与6mm组合（中心对称，全对称）6m6626mmmm226mmm626m外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群 国际符号按字符顺序表示的内容依次是国际符号按字符顺序表示的内容依次是c向，向，a、b和和a+b向，以及垂直于向，以及垂直于a、b和和a+b向的对称性。符向的对称性。符号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操作号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操作1的方向。的方向。 点群点群 具有中心对称性具有中心对称性, 点群点群 具有中心对称性具有中心对称性和全对称性。和全对称性。 注意不要认为熊夫利斯符号注意不要认为熊夫利斯符号C

26、3h和和D3h表示的是三方表示的是三方晶系。晶系。外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群m6mmm6外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群)(66C)(6226D)(66hCm)(66vCmm)(63hC)(263hDm)(66hDmmm外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群七七 立方晶系立方晶系 立方晶系要求四个立方晶系要求四个3次轴，且它们夹角互为次轴，且它们夹角互为109047，但，但3次轴不是次轴不是a、b或或c向，否则对称操作集合无封闭性，不能构向，否则对称操作集合

27、无封闭性，不能构成点群。成点群。 对对类型的三次轴有类型的三次轴有210001000101000110000110001033010111111 同理可证明构成点群时还应包含有绕同理可证明构成点群时还应包含有绕a、b及及c的三个的三个2次旋转轴，次旋转轴，并构成点群并构成点群23，由此可总共推导出，由此可总共推导出5种立方点群。种立方点群。序号国际符号（完全）国际符号（省略）熊夫利斯符号h推导方法282323T1229 m3Th24垂直于2次轴加镜面30 Td24平行于110面加镜面31432432O242次轴换成4次轴32m3mOh48点群 与432组合32mm34mm234m3432m外延

28、推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群 国际符号按字符顺序表示的内容依次是国际符号按字符顺序表示的内容依次是a、b和和c向，向，abc c向，向，以及以及a+b、ac c、和和bc c向的对称性。向的对称性。符号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等符号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操作操作1的方向。的方向。 点群点群 具有中心对称性，点群具有中心对称性，点群 具有中心对称具有中心对称性和全对称性。性和全对称性。 不是所有立方晶体都有不是所有立方晶体都有4次对称轴，如点群次对称轴，如点群23和和 都没有四次对称性。都没有四次对称性。 立方晶系不一定总

29、有最高的对称性。如立方点群立方晶系不一定总有最高的对称性。如立方点群23就比六方点群就比六方点群 和四方点群和四方点群 对称对称性低。性低。 不要把立方点群简略符号不要把立方点群简略符号23，m3与三方点群符号与三方点群符号32，m3混淆。混淆。外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群32mmm23432mmmm226mmm224外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群)(23 T)(3hTm)(34dTm)(432 O)(3hOmm外延推演法推导外延推演法推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群晶系在国

30、际符号中的位置123三斜1或单斜2或 沿c正交2或 沿a2或 沿b2或 沿c四方4或 沿c2或 沿a和b2或 沿110和 三方3或 沿c2或 沿a, b和1102或 垂直于a, b和110六方6或 沿c2或 沿a, b和1102或 垂直于a, b和110立方4, ,2或 沿a, b, c3或 沿2或 沿24364212222011 2223222对称元素组合定律对称元素组合定律对于晶体，对称元素往往不是孤立的，可能多于一种，涉对于晶体，对称元素往往不是孤立的，可能多于一种，涉及到对称元素的组合问题，对称元素的组合不是任意的，及到对称元素的组合问题，对称元素的组合不是任意的，必须符合对称元素的组

31、合定律。必须符合对称元素的组合定律。用基本数学关系式来描述。用基本数学关系式来描述。假设两个基转角分别为假设两个基转角分别为和和的对称轴以角度的对称轴以角度斜交，则斜交，则经过两者之交点必定有另外一种对称轴存在，它的基转角经过两者之交点必定有另外一种对称轴存在，它的基转角设为设为，且与两原始对称轴的交角为，且与两原始对称轴的交角为和和。对称元素组合定律对称元素组合定律各个角度之间的关系可表达为各个角度之间的关系可表达为cos) 2/sin() 2/sin() 2/cos() 2/cos() 2/cos()2/sin()2/sin()2/cos()2/cos()2/cos(cos)2/sin()

32、2/sin()2/cos()2/cos()2/cos(cos 根据三个式子可以推论，如果轴次分别为根据三个式子可以推论，如果轴次分别为n和和m的对称轴的对称轴Ln和和Lm以角度以角度斜交，则围绕斜交，则围绕Ln 必定有必定有n个共点且对称分布的个共点且对称分布的Lm；同时，围绕同时，围绕Lm必定有必定有m个共点且对称分布的个共点且对称分布的Ln；且任两个相邻；且任两个相邻的的Lm和和Ln之间的交角等于之间的交角等于 。 由于对称元素均可以表达为对称轴（包括倒转轴）的形式，所由于对称元素均可以表达为对称轴（包括倒转轴）的形式，所以对称元素之间的组合规律就可以用上述的三个公式来描述。由以对称元素之

33、间的组合规律就可以用上述的三个公式来描述。由于对称轴之间的垂直与包含只是特殊的情况，如角度为于对称轴之间的垂直与包含只是特殊的情况，如角度为0o，90o等特殊角，故可以使得上述的表达更加简化。等特殊角，故可以使得上述的表达更加简化。对称元素组合定律对称元素组合定律（1）如果一个）如果一个2次轴次轴L2垂直于垂直于n次轴次轴Ln，那么必定有，那么必定有n个个L2垂直于垂直于Ln ，且相邻的两个，且相邻的两个L2的夹角为的基转角的一半，即的夹角为的基转角的一半，即22nLLLLnn当当n=2，3，4，6时，分别有时，分别有)3(222222LLLLL23233LLLL24244LLLL26266L

34、LLL石英具有石英具有L33L2对称对称对称元素组合定律对称元素组合定律（2）如果一个对称面）如果一个对称面P垂直偶次对称轴垂直偶次对称轴Ln，则在其交点存在对称，则在其交点存在对称中心中心C，即，即PCP(nnLL偶）当当n=2，4，6时，分别有时，分别有PCLPL22PCLPL44PCLPL66石膏晶体具有石膏晶体具有L2PC对对称称对称元素组合定律对称元素组合定律（3）如果对称面）如果对称面P包含对称轴包含对称轴Ln，则必定有，则必定有n个个P包含包含Ln ，即，即nPLPLnn/当当n=2，3，4，6时，分别有时，分别有PLPL22/2PLPL33/3PLPL44/4PLPL66/6红

35、锌矿晶体具有红锌矿晶体具有L66P对称对称对称元素组合定律对称元素组合定律（4）如果一个）如果一个2次轴次轴L2垂直于倒转轴垂直于倒转轴 ，或者有一个对称面，或者有一个对称面P包含包含 ，则当，则当n为奇数时，必有为奇数时，必有n个个L2垂直于垂直于 和和n个对称面包含个对称面包含 ；当当n为偶数时，必有为偶数时，必有n/2个个L2垂直于垂直于 和和n/2个对称面包含个对称面包含 ，也即，也即nPnLLLLnini22(奇）n为奇数的情况只有为奇数的情况只有n=3，可以得，可以得niLniLniLniLniLniLPnLnLLLnini2/2/22(偶）PLLLLii332323（方解石）（方

36、解石）n为偶数时，当为偶数时，当n=4，6时时PLLLLii222424PLLLLii332626（黄铜矿）（黄铜矿） 在晶体外形中，表现出来的对称元素只有对称心、在晶体外形中，表现出来的对称元素只有对称心、对称面以及轴次为对称面以及轴次为1，2，3，4，6的对称轴和倒的对称轴和倒转轴（映转轴），与这些对称元素相应的对称操转轴（映转轴），与这些对称元素相应的对称操作都是点操作。作都是点操作。 当晶体具有一个以上的对称元素时，这些对称元当晶体具有一个以上的对称元素时，这些对称元素一定要通过一个公共点，即晶体的中心。将所素一定要通过一个公共点，即晶体的中心。将所有的对称元素组合起来共有有的对称元素

37、组合起来共有32种类型，即晶体的种类型，即晶体的32种点群。种点群。 点群的推导和证明可以用群论的原理和性质来进点群的推导和证明可以用群论的原理和性质来进行，也可以用直观的方法（如对称元素组合定律）行，也可以用直观的方法（如对称元素组合定律）来进行。来进行。 为了推导的方便，把高次轴（为了推导的方便，把高次轴（n2）不多于一个）不多于一个的组合称为的组合称为A类组合，高次轴多于一个的组合称类组合，高次轴多于一个的组合称为为B类组合。类组合。对称元素组合定律推导对称元素组合定律推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群对称元素组合定律推导对称元素组合定律推导7 7种晶系种晶系3232

38、种晶体学点群种晶体学点群1 A类组合的推导类组合的推导独立的宏观对称元素有如下独立的宏观对称元素有如下10种：种：L1， L2， L3， L4， L6， C(= )， P(= ), (= L3 +C)， 和和 （= L3 +P）3iL1iL2iL4iL6iL(1) 对称元素单独存在。此时可能的组合为对称元素单独存在。此时可能的组合为10种：种：1L6L2L3L4LPCCL3PL3（2）对称轴与对称轴的组合。由于）对称轴与对称轴的组合。由于A类组合高次轴不多于一个，类组合高次轴不多于一个，所以只考虑所以只考虑Ln和和L2的组合。当的组合。当Ln和和L2平行，按照对称轴选取原则，平行，按照对称轴选取原则，只选取高次轴，所以这种情形没有意义；当只选取高次轴，所以这种情形没有意义；当Ln和和L2斜交，则会出斜交，则会出现多个现多个Ln的情况，则不属于的情况，则不属于A类的组合。因此这里只考虑两者垂类的组合。因此这里只考虑两者垂直的组合。（直的组合。（10种）种）对称元素组合定律推导对称元素组合定律推导7 7种晶系种晶系3232种晶体学点群种晶体学点群221LLL)3(222LLL23233LLLL24244LLLL26266LLLL)33(33232323PCLLPLLLLiiPLLLi2