高等数学1.2　函数极限和运算ppt课件

1、1.2函数极限与运算函数极限与运算一、函数的极限一、函数的极限 极限是微分学中最基本的概念之一极限是微分学中最基本的概念之一.它它与求某些量的精确值密切相关，是定义导与求某些量的精确值密切相关，是定义导数和积分的基础，它研究在自变量的某个数和积分的基础，它研究在自变量的某个变化过程中函数的变化趋势变化过程中函数的变化趋势.1当x时，函数)(xfy 的极限x是指自变量x的| x无限增大，即无限远离x轴的坐标原点，它包括两个方向：一个是沿着x轴的负向，这时自变量x取值为负且| x无限增大，记作x；另一个是沿着x轴的正向这时自变量x取值为正且| x无限增大，记作x.因此x是指同时考虑x与x，当然也可

2、以单独考虑x或x.若函数的定义区间为若函数的定义区间为 , ,则只能考虑x；若函数的定义区间为若函数的定义区间为 , ,则只能考虑x.例如，函数xy1有01limxx，01limxx.这两个极限值与01limxx相等，都是 0.定义 1设函数)(xf在)0(MMx内有定义，如果当x无限增大时，函数)(xf无限接近于一个常数A，则称当x时函数)(xf以常数A为极限. 记作Axfx)(lim或)()(xAxf.类似地，当x与x有相应的定义.定义1 如果函数)(xf在0 x且x无限增大时，函数)(xf无限接近于一个常数A，则称当x时函数)(xf以常数A为极限. 记作Axfx)(lim或)()(xAx

3、f.定义1 如果函数)(xf在0 x且x无限增大时，函数)(xf无限接近于一个常数A，则称当x时函数)(xf以常数A为极限. 记作Axfx)(lim或)()(xAxf.这就是说，如果)(limxfx和)(limxfx都存在并且相等，则)(limxfx也存在并且与它们相等.显然，如果)(limxfx和)(limxfx有一个不存在，或者两个都存在但不相等，则)(limxfx不存在.即Axfx)(lim)(limxfxAxfx)(lim2当0 xx 时，函数)(xfy 的极限0 xx 是指自变量x无限接近于0 x点，它包括两个方向：一个是点x从点0 x的左方 无限接近于点0 x，记作0 xx；另一个

4、是点x从点0 x的右方无限接近于点0 x，记作0 xx.因而0 xx 意味着同时考虑0 xx和0 xx，当然也可以单独考虑0 xx或0 xx.定义 2设函数)(xf在点0 x的)0(邻域内(点0 x可以除外)有定义. 如果当0 xx 时,函数)(xf的值无限接近于一个确定的常数A，则称当0 xx 时，函数)(xf的极限为A，记作Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf.例如，当0 x时，函数21)(xxf的极限是 1记作1)1 (lim)(lim200 xxfxx或)0( 11)(2xxxf.注： 函数)(xf在点0 x处的极限与函数)(xf在点0 x处有无定义无关； 函数)(xf在点0

5、 x处的极限并非)(xf在点0 x处的函数值，而是当0 xx 时，)(xf的变化趋势.3. 3. 左极限与右极限左极限与右极限定义 3如果当0 xx(0 xx)时，函数)(xf的值无限接近于一个确定的常数A，则称当0 xx(0 xx)时，函数)(xf的左(右)极限为A，记作Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf；Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf.例如，1)1 (lim)(lim200 xxfxx，1)1 (lim)(lim200 xxfxx这两个极限值与1)1 (lim)(lim200 xxfxx相等，都是 1.由此可得更一般的结论：由此可得更一般的结论：定理 1当0 x

6、x 时，函数)(xf以A为极限的充分必要条件是)(xf在点0 x处左、右极限都存在且都等于A. 即Axfxx)(lim0)(lim0 xfxxAxfxx)(lim0例 1函数0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf当0 x时的左右极限，并讨论极限)(lim0 xfx是否存在.xO11y解解 由图可知由图可知左极限为1) 1(lim)(lim00 xxxf，右极限为11lim)(lim00 xxxf.因为)(lim0 xfx)(lim0 xfx，所以极限)(lim0 xfx不存在.二、极限的运算法则二、极限的运算法则 1 1极限的四则运算法则极限的四则运算法则本章中凡不标明自变量变化过程的

7、极限号lim，均表示变化过程适用于xxx,0等各种形式.定理 2如果Axf)(lim，Bxg)(lim，那么BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(limABxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim当0)(lim Bxg时，BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim由以上极限的四则运算法则不难推出：由以上极限的四则运算法则不难推出：推论 1如果有限个函数)(1xf，)(2xf，)(3xf，)(,xfn的极限都存在，则极限)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfnn 推论 2如果有限个函数)(1xf,)(2xf,),(3xf)

8、(xfn的极限都存在，则极限)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfnn 推论 3如果函数)(xf的极限存在，k为常数，则极限)(lim)(limxfkxkf推论 4如果Axf)(lim，且n为正整数，那么nnnAxfxf)(lim)(lim.特殊地，有nnxxnxxxxx0limlim00.推论 5设多项式nnnnnaxaxaxaxP1110)(，那么)()(lim00 xPxPnnxx.推论 6设)(xPn、)(xQm分别是x的n次和m次多项式，且0)(0 xQm，那么)()()()(lim000 xQxPxQxPmnmnxx.注：注： 法则和推论要

9、求每个参与运算的函数的极限法则和推论要求每个参与运算的函数的极限都存在，并且商的极限运算法则的重要前提是分母极都存在，并且商的极限运算法则的重要前提是分母极限不为零；限不为零； 以下几个常用的函数极限值可作为公式使用，结以下几个常用的函数极限值可作为公式使用，结合函数图像应熟记：合函数图像应熟记：00limxxxx；01limxx；01lim2xx；2arctanlimxx；2arctanlimxx；0limxxe；0limxxe；0sinlim0 xx；1coslim0 xx.解解 先计算分母极限先计算分母极限.例 2 计算3213lim21xxxx.因为023121) 32(lim221x

10、xx，使用推论 6，3213lim21 xxxx231211132 例 3 计算23lim22xxxx.解解 由于由于0)2(lim22xxx而05) 3(lim2xx.所以05032lim22xxxx，故23lim22xxxx例 4 计算39lim23xxx.解因为分母0)3(lim3xx，分子0)9(lim23xx所以不能应用法则所以不能应用法则. .但我们发现，分子与分母有公因式) 3( x，且0)3(lim3xx但3x时，0) 3(x.因此，可以先消去零因子，再计算极限因此，可以先消去零因子，再计算极限. . 于是有于是有6)3(lim3)3)(3(lim39lim3323xxxxxxxxx例 5 计算下列极限：2313lim33xxxxx112lim2xxxx235lim23xxxx解当x时，分子、分母的极限都不存在，即“”型，不能直接运用法则.分子、分母同除以3x，再求极限，得 2313lim33xxxxx3232213131limxxxxx 31 分子、分母同除以2x，再求极限，得112lim2xxxx2211112limxxxxx 0 因为051123lim323xxxxx，所以235lim23xxxx一般地，当x时，有理分式(0, 000ba)的极限有以下结果：mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx, 0lim00