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文档简介

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.2 6.2 可分别变量微分方程可分别变量微分方程一一. .可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程普通方式：普通方式： dyfxg ydx可分别变量的微分方程的解法可分别变量的微分方程的解法: :两边求积分两边求积分求出积分，得通解求出积分，得通解分别变量分别变量 dyfxg ydx dyfx dxg y dyfx dxCg y G yF xC 例例1 1 求微分方程求微分方程的通解，并求满足条件的通解，并求满足条件0 xyy 34

2、xy 的特解的特解 . . 例例2 2 求解微分方程求解微分方程2dyxydx 解解分别变量：分别变量：dyy两边积分两边积分12,dyxdxCyln yy ，仍仍为为任任意意常常数数记记1CeC 0y 0y 也是解，也是解，可与通解可与通解合并为合并为2xyCe 的通解。的通解。2,xdx 2x 1C 21xCe 2xC e 例例2 2 求解微分方程求解微分方程2dyxydx 解解,2xdxydy 2lndyxdxCy2lnlnyxC 2xyCe 的通解。的通解。简便方法简便方法普通方式：普通方式：d( )( )dyP x yQ xx 假设假设 Q(x) 0, 假设假设 Q(x) 0, 称为

3、一阶线性齐次微分方程称为一阶线性齐次微分方程 ;二二. .一阶线性微分方程一阶线性微分方程 0dyP x ydx称为一阶线性非齐次微分方程称为一阶线性非齐次微分方程 。 dyP x yQ xdx 一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程0)( yxPy是可分别变量方程是可分别变量方程. .,d)(dxxPyy 两边积分，得两边积分，得ln( )ln,yP x dxC 所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为.ed)( xxPCy分别变量，得分别变量，得( )lndyP x dxCy 例例3 3 求方程求方程 y y + (sin x)y = 0 + (sin x)y = 0 的通解的通解. .解方程是一阶线性齐次方程，且解方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x，( )dP xx 由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为cos.xCe 那么那么sin dx x cos , x ( )P x dxyCe 由常数变易法，得通解公式由常数变易法，得通解公式( )d( )de( )ed.P xxP xxyQ xxC d( )( )dyP x yQ xx 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程例例4 4 解方程解方程 3211yyxx 作业作业 习题习题6.

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