2021年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷

1、2021年省市高新区中考数学一模试卷一、选择题本大题共10小题，每题2分，共20分，在每题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上.1. 2分如果x=2021,那么|x - 4|的值是A. 土 2021 B. 2021 C.- 2021 D. 20212. 2分以下计算正确的选项是八/3、25632/.、22.2f /.、22.2A. a =aB.a 宁 a =aC. ab =a b D. a+b=a +b3. 2分支付宝与“快的打车联合推出优惠，“快的打车一夜之间红遍大江南北.据统计，2021年“快的打车账户流水总金额到达47.3亿元，47.3亿用科学记

2、数法表示为A. 4.73 X 108 B. 4.73 X 109 C. 4.73 X 1010 D. 4.73 X 10114. 2分实数a在数轴上的位置如下列图，那么讥逬-4与心才1D *化简后为405a 10A. 7 B.- 7 C . 2a- 15 D.无法确定5. 2分如图，直线a/ b,直角三角形如图放置，/ DCB=90 .假设/ 1 + Z B=70°， 那么/2的度数为A. 20°B. 40°C. 30°D. 25°6. 2分以下说法中正确的选项是A.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为B“对角线相等

3、且相互垂直平分的四边形是正方形这一事件是必然事件C“同位角相等这一事件是不可能事件D. “钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部这一事件是随机事件( )8. 2分图1为一三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD,其中点D在AC上，如图2所示，假设 ABC的面积为80，ABD的面积为30,9. 2分如图，直线I : y=-x - 2与坐标轴交于A, C两点，过A，O, C三点作。O,点E为劣弧AO上一点，连接EC, EA EO当点E在劣弧AO上运动时不10. 2分如图，抛物线y= - 2x2+8x- 6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴 与其上方的局部记作C,将G向右平移得

4、C2, C2与x轴交于点B, D.假设直线y=x+m与G、C2共有3个不同的交点，贝U m的取值围是1必rVOABA.- 2v m< 丄 B.8-3v m<-C. 3 v nx 2D.- 3v mvH8二、填空题本大题共8题，每题3分，共24分，不需要写出解答过程，请 把最后结果填在答题卷相应的位置上11. 3分函数y=：的自变量x取值围是.12. 3分分解因式：2b2- 8b+8=.13. 3分一组数据-1，3，1，2，b的唯一众数为-1,那么这组数据的中位数 为.14. 3分x、y是二元一次方程组 的解，那么代数式x2-4y2的值为.15. 3分如图，在平面直角坐标系中，点 A

5、的坐标为0，4， OAB沿x轴 向右平移后得到厶O A B'，点A的对应点A是直线yx上一点，那么点B与其对应点B'间的距离为.16. 3分如图，四边形ABCD是菱形，/ DAB=50，对角线AC BD相交于点0,17. 3 分在O 0的接四边形 ABCD中, AB=6 AD=10 / BAD=60，点 C为弧BD的中点，贝U AC的长是.点，动点P、Q同时从点18. 3分如图1所示，E为矩形ABCD勺边ADJB出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE- ED- DC运动到点C时停止，点Q以2cm/ 秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时， BPC的面积为ycnf

6、 已t2；cos / ABE=；知y与t的函数关系图象如图2其中曲线0G为抛物线的一局部，其余各部 分均为线段，那么以下结论：AD=BE=5当Ovt < 5时,当t=亍-秒时， AB0A QBP当 BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是i 或一； 其中正确的结论是.519.20.21.5 分7 分1化简A;2当x满足不等式组：_；£，且x为整数时，求A的值.三、解答题本大题共10小题，共76.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 5 分计算：冗-0 ° + 二?+丁 二9tan30J22. 7分如图， ABC按如下步骤作图: 以A为圆心，AB长为半径画弧； 以

7、C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点 D; 连接BD与AC交于点E,连接AD CD(1) 求证： ABCA ADC(2) 假设/ BAC=30，/ BCA=45 , AC=4 求 BE 的长.23. (8分)某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级局部学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如下列图的两 幅不完整的统计图，B、E两组发言人数的比为5: 2,请结合图中相关数据 答复以下问题：(1) 那么样本容量是，并补全直方图；(2) 该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12的次数;(3) A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生

8、中有2位男生，现 从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽 的两位学生恰好是一男一女的概率.发言次数nA0< nv 3B3< nv 6C6<nv9D9< nv 12E12< nv 15F15< nv 1824. (8分)如图，在 Rt ABC中，/ A=90 , O是BC边上一点，以 0为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC BC边分别交于点E、F、G,连接0DBD=2 AE=3 tan / BOD=.3(1) 求OO的半径OD(2) 求证：AE是。0的切线;(3)求图中两局部阴影面积的和.共点设Q点的纵坐标为n,求 4n1 2

9、 - 2n+9 的值.26. 8分如图1,图2,是一款家用的垃圾桶，踏板 AB 与地面平行或绕定 点P 固定在垃圾桶底部的某一位置上下转动转动过程中始终保持AP=A P, BP=B P.通过向下踩踏点A到A 与地面接触点使点 B上升到点B',与 此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转DH为旋转半径至 点H'，从而使桶盖翻开一个角/ HDH .如图3，桶盖翻开后，传动杆H' B'所 在的直线分别与水平直线 ABDH垂直，垂足为点MC,设H' C=B M测得AP=6cm PB=12cm DH =8cm要使桶盖开的角度/ HD

10、H不小于60°,那么踏板 AB离地 面的高度至少等于多少cm?结果保存两位有效数字参考数据：1.41 ,.* 1.73 27. 10分如图，在矩形 ABCD中, AB=3 BC=4动点P从点A出发沿AC向终 点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的 速度沿AB返回.点P, Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停 止运动，点Q也同时停止连结PQ设运动时间为t t >0秒.1求线段AC的长度；2当点Q从B点向A点运动时未到达A点,求厶APQ的面积S关于t的函 数关系式，并写出t的取值围；3伴随着P, Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为I

11、: 当I经过点A时，射线QP交AD于点E,求AE的长； 当I经过点B时，求t的值.28. (10分)在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点，线段AB的两个端点 A (0，2)，B( 1, 0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点现 将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD抛物线y=ax2+bx+c(a0) 经过点D.(1) 如图1，假设该抛物线经过原点 O,且a=-.j 求点D的坐标与该抛物线的解析式； 连结CD问：在抛物线上是否存在点 P,使得/ POB与/ BCD互余？假设存在， 请求出所有满足条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；(2) 如图2,假设该

12、抛物线y=ax2+bx+c (a0)经过点E (1,1),点Q在抛物线 上，且满足/ QOBfZ BCD互余假设符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出 a的取值围.2021年省市高新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分，在每题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上.)1. (2分)如果x=2021,那么|x - 4|的值是()A. 土 2021 B. 2021 C.- 2021 D. 2021解答解x=2021,|x - 4|=|2021 - 4|=|2021|=2021 .应选：B.2. 2分以下计算正确

13、的选项是八/3、25632/.、22.2f /.、22.2A、a =aB.a 宁 a =aC. ab=a bD. a+b=a +b解答解：A、底数不变指数相乘，故A错误；B、底数不变指数相减，故B错误；C、 积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，故C正确；D和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；应选：C.3. 2分支付宝与“快的打车联合推出优惠，“快的打车一夜之间红遍大江南北.据统计，2021年“快的打车账户流水总金额到达47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为8910iiA. 4.73 X 10 B. 4.73 X 10 C. 4.73 X 10 D. 4.73 X 10解答解

14、：47.3 亿=47 3000 0000=4.73 X 109，应选：B.4. 2分实数a在数轴上的位置如下列图，那么一I “T1 "化简后为05a 10A. 7 B.- 7 C . 2a- 15 D.无法确定解答解：从实数a在数轴上的位置可得,5v av 10，所以a-4>0，a- 11v 0，那么I=a- 4+11 - a，=7.应选A.5. 2分如图，直线a/ b,直角三角形如图放置，/ DCB=90 .假设/ 1 + Z B=70 , 那么/2的度数为 A. 20° B. 40°C. 30°D. 25°解答解：由三角形的外角性质，

15、/3=Z 1+Z B=70o , a / b,Z DCB=90 ,Z 2=180°-Z 3 -90° =180°- 70°- 90° =20°.应选：A.6. 2分以下说法中正确的选项是A. 掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为B“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形这一事件是必然事件C“同位角相等这一事件是不可能事件D. “钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部这一事件是随机事件解答解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上这一事件发 生的概率为当，故A错误；B、“对角线相等且相互垂直平

16、分的四边形是正方形这一事件是必然事件，故B正确；C、同位角相等是随机事件，故 C错误；D“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部这一事件是必然事件, 故D错误；应选：B.7. 2分如图是某几何体的三视图与相关数据， 那么该几何体的侧面积是主视图A. acn B. benC.7-acTTD兀2解答解：由题意得底面直径为e,母线长为b,几何体的侧面积为护c?b专n be，应选D.8. 2分图1为一三角形ABC纸片，点P在BC上,将A折至P时，出现折痕BD,其中点D在AC上，如图2所示，假设 ABC的面积为80，ABD的面积为30， 那么AB与PC的长度之比为A. 3: 2B. 5: 3C. 8

17、: 5D. 13: 8解答解：如图，过点D作DEL BC于点E;由题意得：Smb=S pbl=30 ,Sadp=80- 30- 30=20,9. 2分如图，直线I : y=-x -二与坐标轴交于A, C两点，过A, O, C三点 作。O,点E为劣弧AO上一点，连接EC, EA EO当点E在劣弧AO上运动时不解答解：对于直线I : y=-x-：, 令x=0,得到y=厂；令y=0,得到x= - OA=OC 又/ AOC=90 , OAC为圆接等腰直角三角形，AC为直径， 在CE上截取CM=AE连接OM在 OAEm OCM中 ,ZOAE=ZOakAE=CM OAEA OC( SAS ,/ AOEM

18、COM OM=O,EvZ AOCM AOM乂 MOC=90，/ MOE/ AOE# AOM/ MOE=9° , OM为等腰直角三角形， ME= EQ又 v ME=EC CM=ECAE, EC- AE= 'EO 即、-1 =EO10. 2分如图，抛物线y= - 2x2+8x- 6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴 与其上方的局部记作C,将G向右平移得C2, C2与x轴交于点B, D.假设直线y=x+m 与G、C2共有3个不同的交点，贝U m的取值围是rv1OABD xA.- 2v m<丄B.-3v m<-C.- 3 v nx- 2D.- 3v mv- 呂解答解：令

19、y=- 2x +8x- 6=0, 即 x2 - 4x+3=0,解得x=1或3,那么点 A (1, 0), B (3, 0),由于将C向右平移2个长度单位得C2,那么 G解析式为 y=-2 (x - 4) +2(3<x<5), 当y=x+m与C2相切时，令 y=x+m=y= 2 (x- 4) 2+2,即 2x2 - 15x+30+m=0, = - 8m- 15=0,解得 m=-!iL,当y=x+m过点B时，即 0=3+m,mi= - 3,当-3v rk-H时直线y=x+m与 G、G共有3个不同的交点,应选：D.二、填空题本大题共8题，每题3分，共24分，不需要写出解答过程，请 把最后

20、结果填在答题卷相应的位置上11. 3分函数y= ： 丫的自变量x取值围是 x W 3.解答解：根据题意得：3-x> 0,解得：x<3.故答案为：x < 3.12. 3分分解因式:22b - 8b+8= 2 (b- 2)解答解：原式=2 b2-4b+4=2 (b-2) 2.故答案为：2 (b-2) 2.13. 3分一组数据-1, 3, 1, 2, b的唯一众数为-1,那么这组数据的中位数解答解：这组数据-1, 5, 1, 2, b的唯一众数为- b=- 1,这组数据按照从小到大的顺序排列为：-1，- 1, 1, 2, 那么中位数为：1.故答案为：114. 3分x、y是二兀一次方

21、程组i-2y=32x+4y=5的解,1,5,那么代数式x2 - 4y2的值为亠.-2y=3解答解:X 2-得-8y=1,1 云，代入得8y=-把y=-2x-|=5, x-X4 ,x2- 4y2=普故答案为:150, 4, OAB沿 x 轴y=?x上一点，那么点B15. 3分如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 向右平移后得到厶O' A B',点A的对应点A是直线 与其对应点B'间的距离为 5.j*4*> V0 0'解答解：如图，连接AA、BB .点A的坐标为0, 4, OABft x轴向右平移后得到 O A B , 点A的纵坐标是4.又点A的对应点在直

22、线y=lx上一点，5 4x，解得 x=5.5点A'的坐标是5, 4, AA =5.根据平移的性质知BB =AA =5.故答案为：5.SaAfA/ “00r厂16. 3分如图，四边形ABCD是菱形，/ DAB=50 ,对角线AC, BD相交于点0,度.v DHL AB, OH=BD=OB2/ OHBM OBH又 AB/ CD/ OBHM ODC在 Rt COD中 , / ODC乂 DCO=9°, 在 Rt DHB中, Z DHO£OHB=90 ,:丄 DHOZ故答案为：25.17. 3 分在O O的接四边形 ABCD中, AB=6 AD=10 Z BAD=60，点 C

23、为弧 BD的中点，贝U AC的长是 .C解答解法一、：A B C D四点共圆，Z BAD=60 ,Z BCD=180 - 60° =120°,vZ BAD=60 , AC平分Z BAD Z CADZ CAB=30 ,如图1中,将厶ACD绕点C逆时针旋转120°得厶CBE贝UZ E=Z CAD=30 , BE=AD=10 AC=CE Z ABC-Z EBC=( 180°- CAB-Z ACB + (180°-Z E-Z BCE =180° , A B E三点共线，过C作CML AE于M, AC=CE AM=eM=x( 6+10) =8,

24、27在 Rt AMC中,解法二、如图2中，过C作CE! AB于E, CF丄AD于F,那么/ E=Z CFDM CFA=90 ,点C为弧BD的中点，- -* <' = I,/ BACK DAC BC=CDv CEL AB, CF! AD, CE=CFv A B C D四点共圆，/ D=Z CBE在厶 CBE?3 CDF中rZCBE=ZB* ZEZCFD,口二 CF CBEA CDF BE=DF在厶AECffiA AFC中,rZE=ZAFC* ZEAC=ZFAC,t AC=AC AECA AFC AE=AF设 BE=DF=xvAB=6 AD=10AE=AF=x+3'IO -

25、x=6+x ,18 / 37即 AE=8图丄图118. 3分如图1所示，E为矩形ABCD勺边AD上一点，动点P、Q同时从点 B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE- ED- DC运动到点C时停止，点Q以2cm/ 秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时， BPC的面积为ycnf 已 知y与t的函数关系图象如图2其中曲线0G为抛物线的一局部，其余各部 分均为线段，那么以下结论：AD=BE=5当Ovt <5时，y=t2;cos/ABE=;当tf秒时， AB0A QBP当 BPQ的面积为4cni时，时间t的值是 或一；其中正确的结论是.5当点P到达点E时点Q到达点C,点P、Q的

26、运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒 BC=BE=10 AD=BC=1.0错误；又从M到N的变化是4, ED=4 AE=AD- ED=10- 4=6. AD/ BC, Z EBQM AEBAE 3| cos Z EBQ=coZ AEB=一,故错误；如图1,过点P作PF丄BC于点F,DB AD/ BC,/ EBQM AEB sin / EBQ=sinZ AEB=, BE 5 PF=PBsin/ EBQ=t ,5当 Ov t < 5 时,y丄BQ< PF二 X 2t 心t= t2 ,2255故正确，如图4 ,当t=时，点P在CD上 ,' PD今-Bi ED醫-10 -4卷,v

27、Z A=Z Q=90 ,故正确.由知，y当y=4时，=4,从而 -,故错误综上所述，正确的结论是.三、解答题本大题共10小题，共76.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19. 5 分计算：n T °+2+- 9ta n30 ° .5解答解：原式=1+9+听- 3=1+9+3 3 :=10.张2R-l 1-U120. 5分解方程:解答解：方程两边都乘以x - 1,得3x+2=x - 1，解得:检验：当x= 时，x- 1工0,，一是原方程的根.2仁7分A亠亠y +2 x+l解答解：1 2 A.(2)Y -x-3<0. .1 w xv 3, x为整数，.x=1 或

28、x=2, 当x=1时，/ x- 1工0,A=中 x 丰 1,当x=1时，A= 1 无意义.x-1.1 .-1 一1耳一 12-1 1当x=2时,22. (7分)如图， ABC按如下步骤作图： 以A为圆心，AB长为半径画弧； 以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点 D; 连接BD与AC交于点E,连接AD CD(1) 求证： ABCA ADC解答(1)证明：在厶ABC与 ADC中,AC=4求BE的长.AB=ATBC=CE,AC=AC ABCA ADC( SSS;2解：设 BE=xvZ BAC=30 ,/ ABE=60 , AE=tan60° ? x= ;x, ABCA ADC CB=

29、CD Z BCAZ DCAvZ BCA=45 , Z BCAZ DCA=45 , Z CBDZ CDB=45 , CE=BE=xk；: x+x=4, x=2 _ ：- 2, BE=3- 2.23. 8分某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级局部学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如下列图的两 幅不完整的统计图，B、E两组发言人数的比为5： 2,请结合图中相关数据 答复以下问题：1那么样本容量是 50 ，并补全直方图；2该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12的次数;3A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现 从

30、A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽 的两位学生恰好是一男一女的概率.发言次数nA0< nv 3B3< nv 6C6<nv9D9< nv 1212< nv 15F15< nv 18解答解：1v B E两组发言人数的比为5: 2, E占8% B组所占的百分比是20% B组的人数是10,样本容量为：10十20%=50 C组的人数是50X 30%=15人， F 组的人数是 50X 1 - 6%- 20%- 30%- 26%- 8% =5 人，补图如下：2v F 组的人数是 1-6%- 8%- 30%- 26%- 20%=10%发言次

31、数不少于12的次数所占的百分比是：8%+10%=18%全年级500人中，在这天里发言次数不少于12的次数为：500X18%=90次.3v A组发言的学生为：50X 6%=3人，有1位女生， A组发言的有2位男生， E组发言的学生：4人，有2位女生，2位男生.由题意可画树状图为：开娼ESa*金6种,共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为J 12 224. (8分)如图，在 Rt ABC中，/ A=90 , O是BC边上一点，以 O为圆心的 半圆与AB边相切于点D,与AC BC边分别交于点E、F、G,连接ODBD=2 AE=3 tan / BOD=

32、.3(1) 求OO的半径OD(2) 求证：AE是。O的切线；(3) 求图中两局部阴影面积的和.解答解：(1)v AB与圆O相切, ODL AB,Rt BDC中, BD=2 tan / BO OD=3(2)连接OE AE=OD=,3 AE/ OD四边形AEO助平行四边形, AD/ EQv DAL AE, OEL AC,又v OE为圆的半径, AE为圆O的切线；(3)v OD/ AC AC=7.5, EC=AG AE=7.5-3=4.5 ,=厂rS 阴影=SBDO+SOE S 扇形 FO S 扇形 EOG-1 x 2 X 3+ki_X 3X 4 590兀X护21360=3+红-辺4425. 8分如

33、图，：A m 4是一次函数y-kx+b与反比例函数y的公X共点1假设该一次函数分别与x轴y轴交于E、F两点，且直角 EOF的外心为点A,试求它的解析式；2在第1问的条件下，在y= 的图象上另取一点B,作BK!x轴于K,假设在y轴上存在点G使得 GFAP BOK勺面积相等，试求点G的坐标？3假设2中的点B的坐标为m 3m+6 其中m>0,在线段BK上存在一设Q点的纵坐标为n,求 4n - 2n+9 的值.解答解：(1)： A ( m 4)在反比例函数y£L上,x 4m=12解得m=3- A (3, 4).点A是直角 EOF勺外心，点A是线段EF的中点， E (6, 0), F (

34、0, 8).点 E (6, 0), F (0, 8)在直线 y=kx+b上, 佶，直线的解析式为y= - x+8；(2)v BK! x 轴, Sa bo=7=6,. S GF=&BO=6,GF? 3=6, GF=4 F的坐标为0,8), G的坐标为0,或0, 4;(3) v b (m, 3m+6在反比例函数的图象上, m( 3m+6 =12,解得 m= .- 1, m=冷 “ 1. m> 0,111OQ='2mn=/ Sa n 亠 Im 爸T I 4 I4n= T+1,4n - 1=p 卜;，2 16n - 8n+1=5,9 4n - 2n=1,2 4n - 2n+9=1

35、0.26. 8分如图1,图2,是一款家用的垃圾桶，踏板 AB 与地面平行或绕定 点P 固定在垃圾桶底部的某一位置上下转动转动过程中始终保持AP=A P, BP=B P.通过向下踩踏点A到A 与地面接触点使点 B上升到点B',与 此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转DH为旋转半径至 点H'，从而使桶盖翻开一个角/ HDH .如图3，桶盖翻开后，传动杆H' B'所 在的直线分别与水平直线 ABDH垂直，垂足为点MC,设H' C=B M测得AP=6cm PB=12cm DH =8cm要使桶盖开的角度/ HDH不小于60

36、76;,那么踏板 AB离地 面的高度至少等于多少cm?结果保存两位有效数字参考数据：、仟1.41 ,.81.73 圈3解答解：作A N丄AB于N点. 在 RtCD 中，假设/ HDH不小于60°,那么->sin&Oe 卑，即 H'C?H'D=4 :;.2 B'M=H'C> 4 3,又 Rt A N3 Rt B' MPV N.JV_PW PA N=卍P名Np>12=2'.3.5cm.踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm.27. (10分)如图，在矩形 ABCD中, AB=3 BC=4动点P从点A出发沿AC向终

37、点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的 速度沿AB返回.点P, Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停 止运动，点Q也同时停止.连结PQ设运动时间为t (t >0)秒.(1) 求线段AC的长度；(2) 当点Q从B点向A点运动时(未到达A点)，求厶APC的面积S关于t的函 数关系式，并写出t的取值围；(3)伴随着P, Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为I :当I经过点A时，射线QP交AD于点E,求AE的长；解答解：(1)v四边形ABCD是矩形,:丄 ABC=90 ,在Rt ABC中，由勾股定理得：，.二厂二，;过点 P 作 PHLAB于点 H,

38、 AP=t, AQ=3- t , 贝U/ AHP2 ABC=90 ,vZ PAH/ CAB AHPA ABC匸1-PHACBCv AP=t , AC=5 BC=4-PHWt ,5一s？3-t?*,即S二-員2£t , t的取值围是：Ovt v3.55(3)如图2 ,v线段PQ的垂直平分线为I经过点A, AP=AQ 3 - t=t , t=1.5 ,AP=AQ=1.5延长QP交AD于点E,过点Q作QO/ AD交AC于点O, AQ3A ABC丄& 二-AC AB BCr. PO=AOAP=1, OQ/ BC/ AD AP0A OPQ ,OQ 0POQ 二 31c图3如图，(i )

39、当点Q从B向A运动时I经过点B ,BQ=BP=AP=t / QBPM QAPvZ QBP# PBC=90 , / QAP# PCB=90 / PBCZ PCB CP=BP=AP=t CP=AP=AC=. X 5=2.5 , t=2.5 ;(ii)如图4 ,当点Q从A向B运动时I经过点B ,过点P作PGL CB于点G,那么 PG/ AB, PGSA ABCAC AB BC.PGj AB=L (5-t), CGl? BC旦(5-t), AC 5AC 5.BG=-j由勾股定理得BF2二BG+PG,即$专)2二(£t)即昶弋?,解得一二.1428. (10分)在平面直角坐标系xOy中,0为坐

40、标原点,线段AB的两个端点 A (0 , 2) , B( 1 , 0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点现 将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD抛物线y=ax2+bx+c(a0) 经过点D.(1) 如图1,假设该抛物线经过原点 O,且a=-. 求点D的坐标与该抛物线的解析式； 连结CD问：在抛物线上是否存在点 P ,使得/ POB与Z BCD互余？假设存在， 请求出所有满足条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；(2) 如图2,假设该抛物线y=ax2+bx+c (a0)经过点E (1 , 1)，点Q在抛物线 上,且满足Z QOBfZ BCD互余假设符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出 a的取值围.解答解：(1)过点D作DF丄x轴于点F ,如图1,vZ DBF+Z ABO=90，/ BAO# ABO=90 ,/ D