第13章静电场中的导体和电介质

1、思考题13-1尖端放电的物理实质是什么？答：尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端 所带的电荷直接释放到空间去。13-2将一个带电+q半径为Rb的大导体球B移近一个半径为 Ra而不带电的小导体球A，试判断下列说法是否正确？并说明理由。图13-37 均匀带电球体的电场能(1) B球电势高于A球。答：正确。不带电的导体球 A在带电+ q的导体球B的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线 自导体球B指向导体球 A，故B球电

2、势高于 A球。(2) 以无限远为电势零点，A球的电势：Va < 0答：不正确。若以无穷远处为电势零点V"= 0,从图可知A球的电力线伸向无穷远处。所以，Va > 0。13-3怎样能使导体净电荷为零，而其电势不为零？答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有 q 0而导体的电势V丸。13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？答： 必须注意以下两点：（ 1） 这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体 中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零；（ 2 ） 静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电

3、荷除静电场力以外不受其他力（如 “化学力”）的情况下才能成立。13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？答： 不应产生这样的误解： 导体表面附近一点的场强， 只是由该点的一个面电荷元 S产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体， 则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？答： 所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的 增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子

4、和离子，这些游离的电子和离 子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断 产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附 近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到 带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？答： 当施感电荷 Q接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷土q '。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷 Q 有关，导体靠近 Q 的一端，将出现与Q异号的感应电荷 q '。

5、而一般情况下q'并不等于Q, q '的大小及其在导体上的分布情况由静电平衡条件决定，最终总是使得土 q '与施感电荷Q在导体内任一点产生的合电场强度为零， 只有在一些特殊情视下，q '的大小才会与Q相等。13-8 怎样理解导体壳外电荷对壳内的影响？答： 封闭导体壳不论接地与否，其内部的电场均不受壳外电荷的影响，对此不能产生 误解，以为由于壳的存在，壳外电荷不在壳内产生电场。实际上，壳外电荷也要在壳内激发 电场，只是由于这个场与壳外表面的感应电荷在壳内激发的场的合场强为零，才造成壳内电 场不受壳外电荷影响这一结果。13-9 怎样理解导体壳内电荷对壳外的影响？答：

6、对一个不接地的中性导体壳，壳外无带电体，但壳外空间仍然可能有场，这个场是壳内电荷间接引起的。例如壳内有一正电荷q，则壳内、外壁的感应电荷将分别为-q和+ q。外壁电荷将发出电场线，所以壳外空间有场。但是不要以为由于壳的存在，壳内电荷q不在壳外空间激发场。实际上壳内电荷 q 和内壁感应电荷 -q 都要在壳外空间激发场，只不 过其合场强为零，才使得壳外空间的场只是由外壁感应电荷 +q 所决定。而且应当注意，无 论壳内电荷分布如何，它和内壁感应电荷在壳外空间激发的合场强始终为零。壳外空间的场 只与壳内电荷的总电量有关，而与它们的分布无关。13-10 在静电场中的电介质、导体表现出有何不同的特征？答：

7、 静电场中的导体的主要特征是表面有感应电荷，内部场强处处为零，表面为等势 面，导体为等势体。而电介质的主要特征是在电场中被极化产生极化电荷，介质内部场强不 为零，方向与外加电场方向一致，一般说介质表面不是等势面。13-11 电介质的极化现象与导体的静电感应现象有什么区别？答：导体的静电感应现象从微观上看，是金属中有大量自由电子，它们在电场的作用 下可以在导体内作宏观移动，电子的移动使导体中的电荷重新分布，结果在导体表面出现感 应电荷。感应电荷产生的电场与外电场的方向相反，因此随着感应电荷的堆积，导体中的合 场强逐渐减小，达到静电平衡时，感应电荷产生的电场与外加电场相互抵消，导体中的合场 强为零

8、，导体中自由电子的宏观移动也停止。电介质的极化现象从微观上看，分子中的电子与原子核的结合相当紧密，电子处于束缚状态。把电介质引入静电场时，电子与原子核之间，只能作一微观的相对位移，或者它们之间的连线稍微改变方向（有时两种情况都发生），结果在沿场强方向的两个表面出现极化电荷。极化电荷所产生的电场只是部分地抵消外加电场，达到稳定时，电介质内部的电场强度 不为零。13-12 怎样理解电势能与电场能答：电势能是带电体之间或带电体与电场之间的相互作用能，随电势能零点的选取而改变，其正负取决于相互作用性质。由于电势能在所求点A处的值等于将电荷从无限远（电势能零点处）移至 A处外力反抗电场力作的功，外力作的

9、功的正负与电势能正负一致。也可 由相互作用判断，如是排斥作用，则是正值，如是吸引作用，则是负值。电场能是电场物质 所包含的固有能量，与势能零点的选取无关。电势能是电场能的一部分，也表示电场能随位 置改变的变化。在有一些情况，如电容器中，由于电场只存在于电容器内部，电容储能21 Q12 1WCU 2-QU 既是电场能，又是电势能。2 C2213-13 怎样使导体有过剩的正（或负）电荷，而其电势为零？答： 将不带电的导体置于负电荷 （或正电荷 ）的电场中，再将该导体接地，然后撤除接地线。则该导体有正电荷 （或负电荷 ），并且电势为零。13-14 怎样使导体有过剩的负电荷，而其电势为正？答：将一带少

10、量负电荷-q的导体置于另一正电荷 Q（Q>> q）的电场中，由于 Q>> q ,带负电荷的导体并未明显改变原电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正。13-15 电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，若把它截成两半后分开， 再撤去外电场，问这两个半截的电介质上是否带电?为什么 ?答 : 不带电因为从电介质极化的微观机制看有两类： 非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩； 极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用下沿着外电场方向取向。其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的表面上出现的电荷是束缚电荷，这 种电荷不象导体中的自由电荷那样能用传导

11、的方法引走。当电介质被裁成两段后撤去电场， 极化的电介质又恢复原状，仍各保持中性。13 章习题13-1 半径分别为1.0cm 与2.0cm的两个球形导体，各带电量1.0 X1O-8C，两球心间相距很远，若用导线将两球相连，求：（1 ）每个球所带电量；（2）每球的电势。解: 两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷均匀分布。设两球半径分别为1和2，导线连接后的带电量分别为q1和q2,而q1+q2= 2 q，则两球电势分别是V1-q1，V2q2401402两球相连后电势相等，V1 = V2，则有q1q25q22q121212即2q19q1-6.67 10 C1 22q29q2-13.33

12、10 C12两球电势V1V2q16.0 103V4 ori13-2 A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm 2, A、B相距4.0mm , A、C相距2.0mm , B、C两板都接地，如图13-38所示。设 A板带正电3.0 xi0"7C，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及 A板的电势。图 13-38解：A板带正电，B、C两板接地，且两板在A板附近，所以A板上的正电荷电量为 q，分布在左右两表面，设B板感应电荷为-q1， C板感应电荷为-q2 ,则qi+q2=q由于AB间和AC间均可视为匀强电场所以qiq2根据题意由解得E ABE ACE ABE ACqioSq2T

13、SVaVbVa Vcd AB Eabd AC E acE AB 1Eacq1=1.0 xio-7c, q2=2.0 X10-7CB板上感应电荷为-1.0 X1O-7CC板上感应电荷为 -q2=- 2.0 X10-7CVAEAB dABq17sdAB1.0 1034.0 108.85 10124200 1032.3 10 V13-3两块无限大均匀带电导体平板相互平行放置，设四个表面的电荷面密度分别为图 13-391、2、3、4，如图13-39所示。求证当静电平衡时,证明 垂直于板作柱状高斯面，如图所示，因为导体内场强为零，两板间场强垂直于板平面，所以有E dS 23 S. 00S所以4 /2 0

14、0又左边导体板内场强考虑到230于是有 1413-4如图13-40所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无限远处为电势零点，试求:(1) 球壳内外表面上的电荷。(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。球心O点处的总电势。图13-40 习题13-4图解：(1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q + Q。O点的(2)不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离距离都是a，所以由这些电荷在 0点产生的电势为dq4 oaq4 oaq在O点产生的电势(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的

15、电荷和点电荷的代数和Vo Vq Vq VQqq q Q q q 1 11 Q( )4 or 4 oa 4 ob 4 o r a b 4°b13-5有一"无限大”的接地导体板，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷。如图13-41 所示，试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布。(2) 面上感生电荷的总电荷。图13-41 习题13-5图解：(1)选点电荷所在点到平面的垂足O为原点，取平面上任意点 P, P点距离原点为r，设P点的感生电荷面密度为在P点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理,所以Epqcos4n 0 r2 b22qb/2冗 r2 3/

16、 2b2(2)以O点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为dQ2 2 3/2dS qbrdr / r b总电荷为dSSrdrqb。O相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为qA和qB的点电荷，达到静电平衡后,13-6如图13-42所示，中性金属球 A，半径为R,它离地球很远.在与球心(1)金属球A内及其表面有电荷分布吗?(2)金属球A中的P点处电势为多大?(选无穷远处为电势零点)图13-42 习题13-6图解：(1)静电平衡后，金属球 A内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零。(2)金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为因为VpVo_dSsa4 0RqA qBa b

17、SA dS 0所以13-7半径为Ri的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电q，球壳带电Q，试求：(1)电势分布的表示式；(2 )用导线连接球和球壳后的电势分布;(3) 外壳接地后的电势分布。解：(1)根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内表面感应电荷为-q，且均匀分布；导体球所带电量 q均匀分布在导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q),所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠加。均匀带电球面电势为所以当rq"ORq4 or(r(rR)R)R1 r R2，V2R2rR3，rR3，qR2q q QR2q

18、Q4 0R3V4q Q4or(2)导体连接后，导体球带电量 q与球壳内表面感应电荷-q中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为q Q，所以rR3,r R3,V4' 口4 or（3）外壳接地后，外表面电荷q+Q被中和，则为两均匀带电球面电势叠加rRi，iqVi- qq4 °r RR2RirR2，V “ i qqV24 or rR2r R2，V3'' V4'' 013-8 已知导体球半径为 Ri，带电量为q。一导体球壳与球同心，内外半径分别为R2和R3，带电量为 Q,如图13-44所示。求：（1）场强的分布；（2 ）球和球壳的电势

19、Vi和V2以及它们的电势差；（3）若球壳接地，Vi和V2以及电势差；（4）用导线连接球与球壳后 Vi和V2的值。Q图13-44 习题13-8图-q ；F面用解：（1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为q，则球壳内表面的感应电荷为又因球壳所带的电量为 Q,根据电荷守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+Q。两种方法求此带电系统的场强分布。方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用高斯定理求场强。取以半径为r的同心球面为高斯面。当r<Ri时：E dS 0，Si，所以24 r E 0 ,即 E 0 ；当 RivrvR 2 时：q:E dS -S20所以4 r2E ，即 E J ；o4

20、 or当 R2<R<R 3 时:所以当r>R3时:所以94 r E 0,即卩 E 0;'sE dSq Q。4 or方法二：利用场强叠加原理求 E分布。空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q、-q和q+Q的带电球面在该点产El、E2和E3，利用均匀带电球生的场强的矢量和。设三个带电球面产生的场强大小分别为 面的场强公式可得Ei20r &rR10rR2E2q40r2r R20rR3q Q40r2根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强所以，场强大小分布为0rRiqRirR2420r0R2rR3qQ2rR340rE(2) 求球体和球壳的电势及它们的电势差。方

21、法一用电势定义式Vp pEdl计算。球的电势:V1dlR22 drorq Q4 o&R30drR>q QR34 0r2dr球壳的电势:V2R3EdlQdrR3 4 orq Q40R3球与球壳的电势差:方法二：用电势叠加原理计算。利用均匀空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生的电势的代数和 带电球面产生电势的公式4 oRq4 or同样可以得到旦(丄丄)24 o RiR24 0R3V2q Q40 R3所以（3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求得场强分布oEq4 or2or RR r &rR2所以得R2& 4orOdrR21)R2，V2所以

22、V21R2（4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和,导体球壳外表面带电量为q+Q。这时场强的分布为2 orrR3rR3因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即Vi V2Xdr 丄2R34 or 40R3球与球壳的电势差为U Vi V2 013-9 一半径为R的带电介质球体，相对介电常量为r，电荷体密度分布=k / r。（k为已知常量），试求球体内、外的电位移和场强分布。解:取半径为r t r +d r的薄壳层，其中包含电荷dq dV2k /r 4冗 r d r 4nkrdr应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面球内:4nr 2Di4nkrr dr 2 冗 kr0Di = k/2,Di

23、D1er（er为径向单位矢量）Ei =Di / (0r)=k / (2r),EiEie2球外：4 n r D2Rr dr02nkR2D2kR22r2D2D2erE2d2/kR202 or2，E2E2eri3-i0半径为R的介质球，相对介电常量为r、其体电荷密度o(i - r / R)，式中 o为常量，r是球心到球内某点的距离。试求:（i）介质球内的电位移和场强分布。(2)在半径r多大处场强最大?解：(1)取半径为r t r + d r的薄壳层，其中包含电荷rdq dV 0 1 4R3r"Rdr应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面.则:4 r2Ddr4r4R2r4RDerE D/

24、0 rr3 4REe，er为径向单位矢量d e(2)对E(r)求极值00 r 3 2R2R3d 2e且因晋0,所以rdr2R处E最大.313-11 一平行板电容器，极板间距离为10 cm，其间有一半充以相对介电常量的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图13-45所示当两极间电势差为试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。(真空介电常量0 =r= 10100 V 时,8.85 X10"12图13-45习题13-11图C2 N-1 m-2)D1、D2和已、E2，则解:设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为(1)U = Eid = E2d联立解得Di =D2 =Ei

25、E20E10rE21000 V/mD10E18.85 10 9 C/m2D20 rE28.85 10 8 C/m2方向均相同，由正极板垂直指向负极板.13-12 一平行板空气电容器充电后， 极板上的自由电荷面密度=1.77 X10-6 C/m 2 .极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为r= 8的各向同性均匀电介质板。计算电介质中的电位移 D 场强E和电极化强度 P的大小。（真空介电常量 0= 8.85 X10 C2 / N m2）解:由D的高斯定理求得电位移的大小为D = 1.77 X10-6 C/m 2r E的关系式得到场强 E的大小为E = 2.5 X104 v/m0 r介质

26、中的电极化强度 P的大小为P =0 eE =0 ( r 1 )E= 1.55 X10-6 C/m 213-13 一导体球带电荷 Q = 1.0 C，放在相对介电常量为r= 5的无限大各向同性均匀电介质中。求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q'。解:导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上.在球表面外附近，以球半径R作一同心高斯球面.按D的高斯定理有 4R2D = Q。得到电位移的大小为D = Q / (4该处的电场强度大小为r)=Q / (4电极化强度的大小为0 ( r 1)E4 rR极化电荷面密度为=Pcos1801 r Q4 rR2分界面上的束缚电荷为R2Q =- 0.8 C极

27、化强度P与盘面平行,13-14半径为R,厚度为h (<< R)的薄电介质圆盘被均匀极化,如图13-46所示.求极化电荷在盘中心产生的电场强度解:建坐标如右图.=Pcos圆盘均匀极化，只有极化面电荷，盘边缘处极化电荷面密度为d q = Rdh = RhPcos dOR图13-46 习题13-14图d Ex = d Ecos(由极化电荷分布的对称性可知EExdExdEEydq4 oR2cosdq40R2),d Ey = d Esin(d Ey = 0RhP 20R2 02coshP4 oRr,13-15如图13-47所示，一各向同性均匀电介质球，半径为R,其相对介电常量为图13-47

28、习题13-15图和球表面上的球内均匀分布有自由电荷，其体密度为o 求球内的束缚电荷体密度 束缚电荷面密度解：因为介质是球对称的， 且 0均匀分布，所以'也必为球对称分布. 因而电场必为球对称分布.用D的高斯定理可求得0 eEPr drPr 4 r2-P dSSVdr 3r 4 r23 r4 r2 d r略去dr的高次项，则（ 与 0异号）其间各充满一半相对介电常数分别13-16有两个半径分别为 Ri和R2的同心金属球壳,为ri, r2的各向同性的均匀介质，如图13-48所示。当内球壳带电量为-Q，外球壳带电量为+Q时，忽略边缘效应。试求：（1）空间中D、E的分布;（2）两球壳的电势差。

29、图13-48习题13-16图解：（1 ）作半径为r的同心球形高斯面，根据导体静电平衡后等势R2R1E1R2dlE2& 2dl即E1E2E又D0 rE ； D10r1 E ； D20 r2 E忽略边缘效应，电荷分别在上、下半球和球壳均匀分布，根据高斯定理一 D dS qs当rR1,qo 0，D 0, E 0当 R1rR2Di2 r2D2 2ri 02r2 02DiD2Qri r2)0rriQ2( ri r2)rQr2)ririrR2， qo0,方向D/E/-r(2)由定义R2EdlR2Ri 2( riQ 2drr2 ) or2(Qri r2) 0R2Rii3-i7平行板电容器极板面积为S

30、,间距为d，中间有两层厚度各为di 和 d2 (d=d i +d2)、介电常数各为 i和2的电介质,计算其电容。解:设两极板各带电荷+q和-q，两极板电势差:U Vi V2EidiE2d2did2 i2S i生)21 21 2S di 2 d2 i13-18 三个电容器如图如图13-49联接，其中C1 = 10 X10"6 F, C2 = 5 X10"6 F,4 X10"6 F,当A、B间电压U =100 V 时，试求:(1) A、B之间的电容; 当C3被击穿时，在电容 C1上的电荷和电压各变为多少?图13-49 习题13-18图解：(1)(GC2 )C3C1C2

31、C33.16 X10-6 FC1上电压升到 U = 100 V，电荷增加到 Q1C1U1 X10-3 C13-19如图13-50所示，一空气平行板电容器，极板面积为S,两极板之间距离为其中平行地放有一层厚度为t (t<d)、相对介电常量为r的各向同性均匀电介质.略去边缘效应，试求其电容值。解:设极板上的自由电荷面密度为应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移为由D E关系知，空气中的电场强度为Eo =介质中的电场强度为E=1(0 r)两极板之间的电势差为U = Eo(d - t) + Et d tot rd 1 r t0 r0 r电容器的电容为0 rSrd 1 r tC10Sd tC2C1

32、C2C1C20 rSrd 1 r t作法二：看成二个电容串联,13-20如图13-51所示，一平行板电容器，极板面积为S,两极板之间距离为 d,中间图13-51 习题13-20图x充满介电常量按=0 (1+)规律变化的电介质.在忽略边缘效应的情况下，试计算该d电容器的电容。解:设两极板上分别带自由电荷面密度土，则介质中的电场强度分布为Eo dxdd d d xd两极板之间的电势差为UEdxIn 2oo o d x0该电容器的电容值为CsoSUd l n 213-21半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多。今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q,求:(1)每个球上分配到的

33、电荷数。（2）按电容定义式计算此系统的电容。解：（1）Qa Qb QQaQbVa； Vb -74 oa4 obVa Vb VQaQb4 oa 4 ob即Qa QbQQa(2 )系统电容QaVa4 o(a b)13-22如图13-52所示，一平行板电容器的极板面积S=200cm 2,两板间距 d=5.0mm极板间充以两层均匀电介质。电介质其一厚度d=2.0mm ，相对介电常数 $1=5.0 ;其二厚度d2=3.0mm ，相对介电常数 $2=2.0。若以3800V的电势差(Va-Vb)加在此电容器的两极板上，求:(1) 板上的电荷面密度；(2) 介质内的场强、电位移及电极化强度;(3 )介质表面上

34、的极化电荷密度。图13-52 习题13-22图C1C2r1 0Sr2 0Sd1r1 0Sd2_r2 0Sr10Sd2r23T2.0 103.0 109.3210 11F5.02.0QC(Va Vb)S9.32115c m10380021.77 102.0 10(2)如图作闭合圆柱形高斯面S,根据高斯定理- D1 dSsq。(自由)所以有Di SiSi得D1用同样的方法作高斯面S',D1dSD1S2D2 S2D2D1介质内电位移D1.77105c所以介质1内场强E1r1 010 5125.0 8.85 101.774.0105V介质2内场强E251.77 10r2 02.08.85 10

35、121.0106V介质内1电极化强度1.7710 5r15.0介质内2电极化强度1.7710 5r22.010 6c m介质2表面束缚电荷面密度P268.85 10 C m13-23有两个半径分别为R1和R2的同心金属球壳，内球壳带电量为Qo,紧靠其外面包一层半径为 R、相对介电常数为 &的介质。外球壳接地，如图13-53所示。求：(1 )两球壳间的场强分布；(2) 两球壳的电势差；(3) 两球壳构成的电容器的电容值;(4 )两球壳间的电场能量。图13-53习题13-23图解：(1 )因为电荷分布是球对称的，介质分布又是与带电球同心的球对称分布，因而不会破坏电场分布的球对称性，所以可用

36、介质中的高斯定理求场强的分布。设介质内(即 R1<r<R范围内)，电位移矢量为 D1，电场强度为E1，由介质中高斯定理D1 dS QoS所以D1Qo4 r2E1D1Qo0 r 40 r r设介质外，即 R<r<R 2范围内，电位移矢量为 D2，电场强度为巳，由介质中的高斯定所以E2D2Qo2or因此，在两金属球壳之间，场强的分布为Qo4 o rr2Qo4 or2RirR2(2)两球壳间的电势差ViV2R2ER1dlQo(3)(4)dr rr-dr4 orQo4 oR1RR2两球壳构成的电容器的电容值QoV1V2R2(R4R1)1111()4OrR1Ro r RR1 R2

37、r R1 ( R2R)1 11( )o RR2两球壳间的电场能量1V12O rE；dVv2 2oE；dVR1R1 2Qo)24r 2dro(4Q)24 r2drorR18o r r 2drr2 Qo2 dr2 drQo80 r R1211 Q011( ) ( )1 R 4 0 RR2也可以用电容器能量公式计算2 21 Q0 Q0.一 0一 011W厂7(可 R)2Q011-( ) 4 0 RR2在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距增大至n倍时外力所做的功。13-24 用输出电压U作为稳压电源，给一电容为C的空气平行板电容器充电。解：因保持与电源连接，两极间电势保持不变，而电容值为C oS/dC'oS/( nd)电容器储存的电场能量由We CU彳/ 2We'22C'U /2 CU 2/2nWeWe' We 2U2/2(C/n C)J 0一 n在两极板间距增大过程中电容器上带电量由Q减至Q'，电源做功W (Q' Q)U (C'U CU )U