一元函数积分学讲座

1、一一 元元 函函 数数 积积 分分 学学-理论与实际应用的桥梁理论与实际应用的桥梁学好本章要点学好本章要点1. 重视概念和积分本质的思考重视概念和积分本质的思考2.敏锐的思维敏锐的思维+必要练习必要练习(坚实的基础坚实的基础)=积分计算能力积分计算能力3.博观而约取博观而约取, ,厚积而薄发厚积而薄发, , 是创新之路是创新之路. .一元函数积分学知识总结定积分定积分的概念的概念不定积不定积分概念分概念牛顿牛顿- -莱布莱布尼兹公式尼兹公式 计算定积分计算定积分定积分的定积分的应用应用积积分分中中值值定定理理定定积积分分的的性性质质原原函函数数积积分分上上限限的的函函数数求不定积分求不定积分不

2、定积分不定积分基本公式基本公式三三角角代代换换倒倒代代换换根根式式代代换换凑凑微微分分法法第第二二换换元元法法分分部部积积分分法法有有理理函函数数化化为为四四种种最最简简分分式式万万能能代代换换换换元元法法分分部部积积分分法法反常积分反常积分求求平平面面图图形形面面积积求求旋旋转转体体体体积积等等几何几何应用应用求求质质量量求求力力作作功功物理物理应用应用求求引引力力求求水水压压力力微积微积分基分基本定本定理理( )baf x dx ( )f x dx微元法：微元法：一一.概念概念 变上限积分变上限积分: ()xafu du 则则: (1)定积分定积分: ()();bafx dxFb ()Fx

3、 (2)不不定积分定积分: ()();fx dxFxC (3)(),()(,);fxC a bFxD a b (4)(),fxD a b 则则若若( )( )( );f x dxxf xxfx dx特别特别: :(),fxD a b 则则若若2211( )( )( )( )22f x dxxf xx fxx fx dx0( )( ),xF xf t dt 故故0()( )xFxf t dt 解解:令令而而0( )xf t dt 例例1 设设f(x)是奇函数是奇函数,除除x=0外处处连续外处处连续,x=0是其是其第一类间断点，则第一类间断点，则 是是（A）连续的奇函数）连续的奇函数.（B）连续的

4、偶函数）连续的偶函数（C）在）在x=0间断的奇函数间断的奇函数（D）在）在x=0间断的偶函数间断的偶函数. 000( ),Fx 且且000lim()lim( )xxxxF xxf t dt 故故F(x)是连续的偶函数是连续的偶函数.0-()xutfu du 令令0( )xf u du 00( )lim( )xxxxxf t dtf t dt ( )F x ( )F x 分析分析: : 例例2 设设F(x)是连续函数是连续函数f(x)的一个原函数，的一个原函数，“MN”表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有( ) (A) F(x)是偶函数是偶函数 f(x)是奇函数是奇函

5、数. (B) F(x)是奇函数是奇函数 f(x)是偶函数是偶函数. (C) F(x)是周期函数是周期函数 f(x)是周期函数是周期函数. (D) F(x)是单调函数是单调函数 f(x)是单调函数是单调函数.(教材教材P256) (1) ( )( ),xaF xf u du A( ),()()() FFxf xxfx ()()( 1)()()d FxFxfxdxFx ()( ).xaFxf u du ( )( )( )xaxaaaf u duf u duf u du 310(),( ),( )_.xxfexeff x 例例 已已知知且且1,( )ln ,xeufuuu 解解 令 令 得 得 (

6、)f u1100,( ),.ufC令令由由得得221122( )(ln ) ,( )(ln ) .f uuf xx故故即即1lnduuu lndlnuu 212(ln)uC 23010200400sin,(,)( ),xt dtxf xxxax 例例4 4一一 若若在在00lim( )( ),xf xfa 22032000133sin()sin()lim( )limlimxxxxtdtxf xxx 13.a 故故处连续处连续,则则_.a 解解:若若f(x)在在x=0处连续处连续, 则则由于由于分析分析: : 例例5 如图，连续函数如图，连续函数y=f(x)在区间在区间3，2，2，3上上的图形分

7、别是直径为的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为的图形分别是直径为2的下、上半圆周，的下、上半圆周，设设 则下列结论正确的是则下列结论正确的是 0( )( ),xF xf t dt 3324()( )();A FF 5324()( )( );B FF 3324()()( );C FF 5324()()();D FF 0( )( )xF xf t dt 20132328( )(),( ),Ff x dtF 2002132328()()(),().Ff x dtf x dtF 01,0,6.,0,xxxfxFxft dtex 例例若若求求解

8、解 分段函数的定积分分段函数的定积分, 分段求出分段求出. 0 xF x当时，当时，0,xdtx 0 xF x当时，当时，01,xtxe dte 00,F 由有由有 ,01,0 xxxFxex ( )f x( )F x例例7把把x0+时的无穷小量时的无穷小量xxt dttdt2200cos,tan,ABCD() , ;( ) , ,;() , ;() , ,. xt dt30sin 排列起来使后面的是前一个的高阶无穷排列起来使后面的是前一个的高阶无穷小小, 则正确的排列次序是则正确的排列次序是: 220100coscoslimlimxkkxxt dtxxkx 解解2010tantan2limx

9、kkxtdtxxxkx 33000sinsin()limlim2xkkxxt dtxxxx ( ).B故故选选2(3),3k1(2)2k1(1)k解解(1):2arcsinarcsin()xxxxxeedxdeee 21arcsinarcsin( )xtetdttdtt 令令21arcsintdtttt 221arcsinttdtttt 2212121arcsin()()tudututuu 令令21arcsintdutu 1231arcsin1(1);(2);xxxedxe dxex 二二. .计算计算例例1.1.计算下列积分计算下列积分: :1222200(3); (4).(1)(2) 1x

10、dxxdxxxx 22111211()arcsinln()xxxxeeCee 解解(2):111213213211211()txttxe dxt edtte dtxt 111121112221.2ttttdetee dte解解(3):1222200sin cossin(2sin)cos(2) 1xdxttxtdtttxx 220cosarctan(cos ) 241cos0dttt 解解(4):222220011121()lim()()bbxdxdxxx 02111102122lim()bbx 三三.综合综合例例1.如图，曲线如图，曲线C的方程为的方程为y=f(x)，点点(3,2)是它的一个拐

11、点，直线是它的一个拐点，直线l1与与l2分别是曲线分别是曲线C在点在点(0,0)与与(3,2)处处的切线，其交点为的切线，其交点为(2,4). 设函数设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分具有三阶连续导数，计算定积分 320()( ).xx fx dx 解解: :由题设图形知由题设图形知 (0)0,(0)2,(3)2,(3)2,(3)0.fffff 由分部积分，知由分部积分，知 320()( )xx fx dx 123 41234xy1l2l( )yf x 320()( )xx dfx 3203210()( )( )()xx fxfxxdx 3021()( )xdfx 1623020 (

12、)( ).ff 1xyxlyl1C0( , )M x y2C3C例例2.如图，曲线如图，曲线C1和和C2方程为方程为1(1)2xxyeye和和过点过点(0,1)的曲线的曲线C3是一单调增函是一单调增函数的图象数的图象. 过过C2上任一点上任一点M(x,y)分分别作垂直于别作垂直于x轴和轴和y轴的直线轴的直线lx和和ly. 记记C1 ,C2与与lx所围图形的面积为所围图形的面积为S1(x)； C2 ,C3与与ly所围图形的面积所围图形的面积为为S2(y),如果总有如果总有S1(x) = S2(y) ，求，求曲线曲线C3 的方程的方程( ).xy 3032120()( )( )xfxfx dx 解

13、解: :由题设图形知由题设图形知 1011( )(1)(1),22xttxSxeedtex 由题设，得由题设，得11(1)ln( )2yxextt dt 21( )ln( )ySytt dt 而而,xye 故上式变为故上式变为11(ln1)ln( )2yyytt dt 两边对两边对y求导得求导得11(1)ln( )2yyy 即即11( )ln(1)2yyy 1xyxlyl1C0( , )M x y2C3C例例3.设设f(x),g(x)在在0,1上的导数连续，上的导数连续， (0)0,( )0,( )0,0,1.ffxgxx 100( )( )( )( )( ) (1).ag x fx dxf

14、x g x dxf a g证明证明: :解解: :设设 100( )( )( )( )( )( ) (1),xF xg t ft dtf t g t dtf x g则则F(x)在在0,1上的导数连续，并且上的导数连续，并且 ( )( )( )( ) (1)( ) ( )(1).Fxg x fxfx gfx g xg 而而0101( )(1)(1) (1)( )( )0.f t g t dtfgFg t ft dt 由于由于( )0,( )0,fxg x故故( )0,Fx 即即F(x)在在0,1上单调递减上单调递减. 0,1.a 100( )( )( )( )( ) (1).ag t ft dt

15、f t g t dtf a g在在0,1上上时，时，( )0,F x 即即0,1,( )0,aF a 从而从而解解: :在等式在等式 ( )100cossin( )sincosf xxttft dttdttt 两端先对两端先对x求导求导,得得 1cossin ( )( )sincosxxff xfxxxx 即即 cossin( ),sincosxxxfxxxx 也即也即 ( )100cossin( )sincosf xxttft dttdttt 其中其中f -1是是f 的反函数，求的反函数，求f(x). 例例4.设设f(x) 在区间在区间 上的单调、可导函数上的单调、可导函数,且满足且满足 0

16、,4 cossin( ).sincosxxfxxx 于是于是 cossin(sincos )( ).sincossincosxxdxxf xdxxxxxln(sincos ).(0,)4xxc x 由题设知由题设知, f(0)=0,于是于是c = 0,故故 ( )ln(sincos ).(0,)4f xxxx 解解: :由分部积分法由分部积分法 2220( )()( )xf xxtft dtx 2220( )()( )xf xxtft dtx 求求f(x)的表达公式的表达公式. . 例例5.设函数设函数f(x) 具有连续的一阶导数具有连续的一阶导数,且满足且满足 2220()( )xxtdf

17、tx 由题设知由题设知 f(0)=0,两边求导后有两边求导后有 2220( )()( )xf xxtdf tx 22200() ( )|2( )xxxtf tt f t dtx 201(0)2( )xxftf t dt ( )2( )2 ,fxxf xx 即即 ( )2 ,( )11fxyxf xy 两边积分得两边积分得 2ln|( )1|,f xxC于是有于是有 2( )1.xCf xe 由由f(0)=0得得 C =0，所以，所以 2( )1.xf xe例例6.设设f(x) 在在0,1具有二阶导数具有二阶导数,且且( )0.fx 101( )( ).2f x dxf 证明证明: :证明证明:

18、 : 在区间在区间0,1/2应用分部积分法应用分部积分法1111222220000111( )( )( )( )( )222f x dxxf xxfx dxffx dx同理同理, ,在区间在区间1/2 ,1应用分部积分法应用分部积分法11222200111( )( )222( )fx fxxxfdx 1111( )( ). 2282(*)ff 1111211112222111( )( )( )(1)( )( )222f x dxxf xxfx dxfffx dx11221122111(1)( )( )222( )ffx fxxdfxx 11(1)( )(1)1111( )( )228222ff

19、fff 1212111111(1)( )(1)( )2228( )22ffffxx dfx 1111( )( ). 228(* )2*ff 两式相加得两式相加得101( )( ).2f x dxf 0,9000,700/ .,( ),( ).mkgvkm htx tv t 解解 由由题题设设 飞飞机机的的质质量量着着陆陆时时的的水水平平速速度度从从飞飞机机接接触触跑跑道道开开始始计计时时 设设时时刻刻飞飞机机的的滑滑行行距距离离为为速速度度为为应用应用: :某种飞机在机场降落时某种飞机在机场降落时, 为了减少滑行距离为了减少滑行距离, 在在触地的瞬间触地的瞬间, 飞机尾部张开减速伞以增大阻力飞机尾部张开减速伞以增大阻力, 使飞机使飞机迅速减速并停下迅速减速并停下. 现有一质量为现有一质量为9000kg的飞机的飞机, 着陆时着陆时的水平速度为的水平速度为700km/h,