矩形中的折叠问题详案

1、矩形中的折叠问题师：在最近几年的中考题中折叠问题频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。图形经过折叠其翻折的部分与折叠前的图形组合成新的图形，新的图形有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这节课我们以矩形的折叠为例，共同来研究平面图形的折叠问题师：将矩形按不同的要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题。常见的有：沿矩形的一条对角线折叠，沿平行一边的直线折叠，沿指定的折线折叠，使两顶点重合的折叠，等等。师：我们以沿对角线折叠为例，同学们从图形中能得到哪些相等的线段和相等的角？题组一：如图，已知矩形ABCD，将ABC沿对角线

2、AC折叠，点B落在点E处，CE交AD于点，（1）你能得到哪些结论？生：AB=DC=AE, EF=DF,AF=CF，BC=EC=AD;E=B=90，EAD=DCF,FAC=FCA=ACB，BAC=EAC; （相等的线段和角）师：图中有哪些全等三角形和特殊性质的三角形？生：EACCADABC且都是直角三角形，AEFCDF;FAC是等腰三角形；EAC与BAC关于直线AC对称，（全等三角形和特殊性质的三角形）师：若连接BE，则AC与BE有怎样的位置关系？生：AC垂直平分BE（对称轴垂直平分对应点之间的连线）师：图形折叠问题的实质是图形的轴对称变化，在处理折叠问题中，关键是抓住两点，（1）图形的全等形，

3、折叠前后的两个图形全等。（2）点的对称性，折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分。师：在这个图形中，如果BC，AB3，能否求出线段CF的长呢？（2）BC，AB3，求线段CF的长？师：（提示）要求CF的长可设CF=X，因为AF=FC，所以 AF为X，所以DF，又因为AB=3，在直角三角形DCF中，根据勾股定理可得3 +（4-X） =X 可求X=25/8生：（学生自己完成，后口答）师：FAC的面积是多少呢？(3)求FAC的面积?生:面积为75/16师：求线段长时把已知元素集中到一个含未知元素的直角三角形中，再借助勾股定理构造方程求解。师:连接DE,DE与AC的位置关系如何？生：平行 师：如何证明

4、呢？(4)求证DEAC生:ACF与EDF都是等腰三角形，且对顶角相等，所以这两个等腰三角形相似，得到内错角相等，进而平行。师：DE的长度可求吗？生：利用相似可求。 DE=7/25（机动）师：实际上这个三角形中所有的线段长和所有的三角形的面积都可求。师：如果矩形的边长不变，折点落在对角线上,同学们能求出BE的长吗？题组二折叠矩形ABCD，使AB落在对角线AC上，折痕为AE，已知BC=4，AB=3，求BE的长。师：同学们讨论一下有多少种不同的求法。生：（四种方法）师：以上几种方法都是用未知数表示线段长，建立方程进而求解，这体现了数学中的方程思想。 方法总结： 方程思想 （一） 勾股定理 （二） 面

5、积法 （三） 相似 （四） 三角函数师：如果将矩形按下面的方式折叠，又会产生哪些新的问题呢？同学们注意观察（师先演示一遍）下面用你们手中的矩形纸片和我一起操作，把矩形ABCD对折，折痕为MN，再把点A叠在折痕MN上，折痕为BE，点在上的对应点为点，得到直角GBE，再沿着EG线折叠，得折痕EF，展开后得到BEF。同学们猜想BEF是什么三角形？证明你的结论。题组三：把矩形ABCD对折，折痕为MN，再把点A叠在折痕MN上，折痕为BE，点在上的对应点为点，得到直角GBE，再沿着EG线折叠，得折痕EF，利用展开图探究（1）BEF是什么三角形？证明你的结论。（2）建立如图所示的平面直角坐标系，使点B为坐标

6、原点，BC所在直线为X轴，若CD=3，求EF所在的直线与Y轴的交点坐标（3）动点P从点H开始在线段HB上以每秒一个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点F开始在线段FH上以每秒两个单位长度的速度向点H运动，设点P、Q的运动时间为t秒，当t=2时，在坐标平面内是否存在点R，使以点、P、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由。当t为何值时HPQ与HBF相似，并直接写出点P、Q的坐标。师：坐标平面内已知三点，求做第四个点构成平行四边形的时候，把已知三点连成一个三角形，分别以这个三角形的三条边作为所求做的平行四边形的对角线，构造平行线，两平行线的交点即为第四个点的位置。师：我们知道人的认知能力的提升得益于不断的进行深刻的反思，同学们通过这节课的学习有什么收获和体会吗？生：师：下面我来谈一谈我的收获和体会，这节课我们师生共同学习了矩形中的折叠问题，折叠问题题型多样，变化灵活，但万变不离其中，其中折是过程，叠是结果。数形结合是解决这类问题的突破口，折叠问题的实质是图形的轴对称变换，有了折就有了形轴对称图形，全等形。有了折就有了数线段之间，角与角之间的数量关系折就为数与形之间的转化搭起了桥梁，所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的本质