抛物线的焦点弦性质及其证明过程

1、有关抛物线焦点弦问题的探讨AB82过抛物线y2px(p>o)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(xi,y。、B(x2,y?)两点结论1：ABx1x2pABAF结论2:若直线BF(xi)(x2)22L的倾斜角为，则弦长ABxix22P.2sin证：(1)若-时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径AB2p结论得证(2)若一时,设直线L的方程为：y2P、一(x)tan即xycot-代入抛物线方程得2p2,yiy22pcot由弦长公式得ABVicot2yiy22p(icot2)2P.2sin结论3:过焦点的弦中通径长最小sin2i2p2pAB的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短

2、sin23i-一 OF AF sin2结论4:谓力为定值)S OAB S OBFci.Soaf一OFBFsin2i-,OFAFBFsin2S2p3SOABpi-OOFABsin2工卫2P22sin2sin2P2sin结论5：(i)y1y2(2)2Y-PXiX242证Xi”2P,X22y2而X1X2(yiy2)24P2P2结论6:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AAi,过B点作准线的垂线BBi,结论结论结论过M点作准线的垂线MMi,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MMi7：连接AiF、AAi同理8：(i)(4)(5)AAiBBiAFBFAB故结论得证B

3、iF则AiFAF,AAiFBiFAFAiAAi/OFAAiFAiFOAiFOAiFABiFOBiFBAiFBi90AiFBiFAMiBMi(2)MiFAB|MiFAFBF设AMi与AiF相交于H,MiB与FBi相交于Q则Mi,Q,FAMiMiB24MiM证：由Z论（6）知Mi在以AB为直径的圆上AMiBMiAiFBi为直角三角形，Mi是斜边AiBi的中点H四点共圆9:证:AiMiAAiFMiFMiFAiFBiAFMiFFAiMiABAFBF90BF(i)A、O、Bi(3)(4)设直线AO因为MiFAiAAiMi所以AAiM1AlFAFAFAi90AFAiAiFMi90AMiBMi三点共线AMi

4、B90又AiFBiFMi,Q,F,H四点共圆,BBi2MMi(2)B,O与抛物线的准线的交点为设直线BO与抛物线的准线的交点为koAyiXiyi2yi2p2Pyi,koBiy2p2AMi4MMiAi三点共线Bi,则BBi平行于Ai,则AAi平行于所以koA2P2PV2MiB2%81所以三点共线。同理可征（2）（3）AB(4)_i_FAFBi 2结论i0：证：过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为则EREFFRPAFcos同理可得1cosBF结论11：(1)线段EF平分角AFAF1cos112FA-FB-pAFPEQBF(4)当一时AE

5、BE,当2证：BB"/EFAAB1EBFEAFAAA1EBB1E9011cosAF|PAE(3)KaeKbe0BE一时AE不垂直于BE2BFB1B,FAA1AB1EEAB1BA1aA1EA相似于B1EBA1EA=B1EBAEF+A1EA=BEF+B1EB=90AEF=BEF即EF平分角PEQAFBFAEBE直线AE和直线BE关于X轴对称Kae+Kbe=0(4)当一时，AF=EF=FBAEB=902时，设直线邙方程为ykx-p2将其代入方程y2px彳#k2x2-p(k22)x,22T0设A(X1，y1)，B(X2，y2)则x1X2Pk22PXiX2二一4假设AEBE则KaeKbe=TX

6、iy1卫2X2y2_p2即y1y2X1-2X2X2XiX2k21x1x22x1x2kk22k212k220不可能假设错误结论得证结论12:过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,|CD|12p推广与深化:深化1:性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E(a,0),则有y1y22Pa.22证：设AB方程为my=x-a,代入N. |AB|Px.得：y2Pmy2ap0,.丫422Pa.深化2:性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于|FR|1x轴，AB的中垂线交x轴于点R,则1ABi2证明：设ABy的倾斜角为a,直线AB的方程为：tga(xp)2,2,22Px得：tga(xPxx即：2 、

7、x(p 2pctg a)由性质|AB|xx2P2p2pctg2P2sina,又设AB的中点为M,则|FM|xx2pI2Icosa,2Pctgacosa|FE|P.2- sin a,2深化3:过抛物线的焦点F作n条弦AiBA2B2、AnBn,且它们等分周角2兀，则有(1)i1|AiFI|FBi1为定值;(2)n1i1|AiBi|为定值.证明：(1)设抛物线方程为1PcosA1Fx由题意A2FX一，A3FXnAnFxa1cosa所以IA1FIIFB1Icos(Pa)21cosa2.2sina2P，.2,sin (a.2/n1sin(a)同理IA2FIIFB2I'|AnF|FBn|2P易知2_sina22sin(a-)sin(an2一)n.2sin(a2sin2(a-)1sinani|AiF|FBi|-PP22n1sin2(a)n2P2p2|AiBi|(2)P1cosaP2P2P1cos(a)1cos2asin2a21 s