平面向量与代数、几何的综合应用

1、平面向量与代数、几何的综合应用、知识导学1余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦 的积的2倍，即a1 -+c2 - %c cosj4b2 = a2 +F - 2accoBF =a2 +b2 - 2abcC2正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径, 即丄亠亠=2Rsm A stn B stn C、疑难知识导析1 初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当7T-=_ 时，一1.1- =0,此时2 2 2有.；2 由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥 曲线等知识非常熟悉方可。

2、三经典例题导讲例1在ABC中，已知a2= b2 + bc+ c2,则角A为（）2真 2ttA.B. I C.1D.或？错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的减”记作 加”。正解：T a2= b2 + bc + c2= b2 + c2 2bc( - )= b2 + c2 2bc cos -选 C.例2在厶ABC中，已知一：二一，试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由一.：二,八_?得， 二一二丄 二】1二二，即二一一 二山，则_ J 二。接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由: 得，一讥，二一一.一 ，即一二 一则一二或一-_.，故三角形为直角

3、三角形或等腰三角形。周长的最大值。并判断此时三角例3在赵/C中上C = 30： f =羸+屈，试求AA5C形的形状。错解：由于题目中出现了角和对边， 故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最 值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理，得 a=2()si nA,)sinB.A+B A-Ba+b=2()(s in A+si nB)=4(A + B 、区+ 扛sin ? =sin 75o=A-Ba+b=(76 + 72)2 cosw(-.6 - . 2当a=b时，三角形周长最大，最大值为8+4.此时三角形为等腰三角形T T例4在中，川

4、 刃门_ ：-,其内切圆面积为 ，求面积。分析：题中涉及到内切圆， 而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。解：由已知，得内切圆半径为2人.由余弦定理，得三角形三边分别为 16,10,14.例5已知定点A(2,1)与定直线:3x-y+5=0,点B在上移动，点M在线段AB上，且分AB的比 为2,求点M的轨迹方程.分析：向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，形成了代数与几何联系的新纽带.解:设 B(xO,yO),M(x,y)丄,J =(x-2,y-1),丄，上=(xO-x,yO-y),由题知丄-=2片_ 2 二 2(可-x)J-1二2仇-刃3-13

5、z- 2 3-1由于 3x0-y0+5=0, 3X -+5=0化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0例6过抛物线：y2=2px(p0)顶点0作两条互相垂直的弦OA、0B(如图)，求证:直线AB过一定点，并求出这一定点分析：对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有ab x1y2-x2y仁0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明：由题意知可设 A点坐标为(上，,B点坐标为(-：，t2) =(门，一匚=（二,t2）, / OA 丄 OB, _？圧=0 ；訂 ?-： +t1?t2=0t1?t2=-4p2 设直线 AB 过点 M（a,b）,则口二=（a-：，b-t2）, _

6、=（-匚-匚,t1-t2）,由于向量二亠 与一一是共线向量，( a-)(t1-t2)= (b-t2)(-；) 化简得 2p(a-2p)=b(t1+t2)显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立直线AB过定点，且定点坐标为 M(2p,0)四典型习题导练1已知锐角三角形的边长分别为2, 3, x,则第三边x的取值范围是()C.v xv 52. 三顶点 -J则 的面积为_。3. A ABC 中，若边 a： b: c= ：(1 + -: ): 2，则内角 A =。104. 某人在C点测得塔顶A在南偏西80,仰角为45，此人沿南偏东 40方向前进 米到0,测得塔顶 A仰角为30,则塔高=。5 .在 AB

7、C 中，已知 B = 30 , b = 50，一 , c= 150，解三角形并判断三角形的形 状。6.在 ABC中，已知- - -,判定 ABC是什么三角形。探 8.3空间向量及其运算一、知识导学1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为一，这个基底叫单位正交基底，用 1J幻 表示；（2）在空间选定一点 0和一个单位正交基底 .，以 点_为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴： ：轴、轴、匚轴，它们都叫坐 标轴我们称建立了一个空间直角坐标系- 汀厂，点J叫原点，向量都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面， yOz平面， zOi 平面；2. 空

8、间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系-.-中，对空间任一点 ，存在唯一 的有序实数组 二二，使 门，有序实数组 二：叫作向量在空间 直角坐标系匸中的坐标，记作-H 八二，丄叫横坐标，叫纵坐标，匚叫竖坐标.B,B,3. 空间向量的直角坐标运算律：（1）若 - - : , 一,则二（珂+召曲 +為角 +幼 占=（a-虬旳-虬無一幼Jia =（加,屜2池陽）（丄& a=右+勺玄+金幺a坷久%a?久鸟jdj 久 E R） a 丄 b s?妇 + 33 = 0（2） 若 4 -，. ?/1 ，贝则亠工 _，二壬_ 二壬 .一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐

9、标+5.夹角公式:6.两点间的距离公式:若虫(兀”忆j ,盹加密,则|型二伍二辰-灯+仞-涉+-可丫、疑难知识导学1对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，哪 些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；2空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题 的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法. 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向 量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

10、3向量运算的主要应用在于如下几个方面：(1) 判断空间两条直线平行(共线)或垂直；(2) 求空间两点间的距离；(3) 求两条异面直线所成的角4本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。三、经典例题导讲例1下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是(错解：B、C、D中任选一个错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符 合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选 (C).例2已知点A( 3, - 1, 1)，点B( 2, 2, 3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点 L、M、 N，使它们与A、B两点等

11、距离.错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x, 0, 0)，由题意可得关于 x的一元方程，从而解得x的值类似可求得点 M、N的坐标.解：设 L、M、N 的坐标分别为(x, 0, 0)、(0, y, 0)、(0, 0, z).由题意，得(x + 3)2+ 1 + 1 = (x + 2)2+ 4+ 9, 9+ (y + 1)2 + 1 = 4+ (y 2)2 + 9, 9+ 1 + (z 1)2 = 4+ 4+ (z 3)2 .x = 3y = lrz =-分别解得_,评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标

12、分别为(x1 ,y1, z1)、(x2，y2, z2)，则 P、Q 的距离为PQ 二 - 可尸 +2 P1F +(可一軻尸必须熟练掌握这个公式.例 3设“二 I；-；”；： ，：，且门 ，记-，求与丄轴正方向 的夹角的余弦值+.Mb错解：取丄轴上的任一向量 2(讥0)，设所求夹角为二,Mfa: : :： ：. : .:.j ；CZ二J-如注 I “albl即余弦值为:错因：审题不清。没有看清“：轴正方向”，并不是轴正解：取丄轴正方向的任一向量设所求夹角为二，=A./ ”二- - - 11 | =-srii-sit-sACOS Cl =(a-b) c(盘i一歼)J，即为所求a-b c mxmco

13、s 二BA BC _ 2-12心|厂 丁厂=例 4在厶 ABC 中，已知-二 =(2,4,0),丄=(1,3,0)，则/ ABC =解:刼 *2 厂 4 西二(-130),/ ABC = 135 例 5已知空间三点 A(0,2,3),B( 2,1,6),C(1, 1,5),求以向量 ABfAC 为一组邻边的平行四边形的面积s；若向量丿分别与向量 ABfAC 垂直，且i=，求向量a的坐标*TAB = (-2厂 13AC = (1-3,2), cosBAC =兰竺=-分析： I-/ BAC = 60,设 一;=(x,y,z)，则仃一 -a 丄= x-3ty+2z = 0a |=2 +y2 +z2

14、= 3解得 x= y= z= 1 或 x= y = z=- 1 ,二丿=(1,1,1)或丿=(-1, 1，- 1).例6已知正方体：1的棱长为，二是 1的中点，一是对角线丄的中点，求异面直线1和 二7的距离+解：以_为原点， ： - 1所在的直线分别为.L轴，轴、匚轴建立空间直角坐标系,g(a,aQ詢仲,M,D(Q,Q0)，设/，匸在平面二上,即:二二丨I川工X-a-Aaz = a-fa-/la!（3-2m）（pQf） = 0.帝丄巫，帝丄西，2（-。厂鸽0） = 0 ,o_ 111斥2 二月二一 CE（-a-a-a） CE=a 解得：1 ,.，二二另外，此题也可直接求 与上 间的距离,设二7与二的公垂线为1,且1 -一 -二 设-if，设3，k二-加 y-Aa则（xj二瓜-仏-仇0） ,. Q,.0（-血-仏0）同理、. 001 = （“+働卫+航两）处丽二0西恥二02 二二卫二 QQ （-焉匕匕）OOi=-a解得:,匚四、典型习题导练1已知向量_川 _ . L - 口 r 1的夹角为（ ）A . 0 B. 45 C. 90D. 180 2.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足八：-二L二 = - ： = 1则厶BCD