高三几何专题

1、专题: << 平面 解析几何>>考题特征剖析:直线与圆锥曲线问题是高中数学的重点内容,它的特点是用代数的方法研究解决几何问题,重点是用数形结合的思想把几何问题目转化为代数问题,尤其是新课程改革增加了平面向量与导数之后,向量与解析几何的融合便成为高考的热点问题目之一这类问题目涉及的知识面广,综合性强,题目新颖,灵活多样,解题对能力要求较高.根据对近几年高考试题的分析,特别对2006年全国高聚物考18套34份不同数学试卷的分析,可知本专题目分什约占全卷的20-25,选择题填空题,解答题均有涉及,是高考的重热点问题,这一专题在考高中有举足轻重的地位,主要呈现在以下几个方面的特

2、点:1. 考查直线与圆的有关基本概念,基本方法多以选择题填空题的形式出现,基本属于中低档题,有时也分散于解答题中,特别近几年出现的线性规划,解析几何与平面向量的结合等是常考常新的题目.2. 考查圆锥曲线的基本概念,标准方程与几何性质等基础知识以及处理有关问题的基本技能,基本方法,也常以选择题和填空题形式出现.3. 直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线与有关知识综合问题常以压轴题目或中难题的形式出现,性质,基本概念,基础知识常以新的知识为载体,附以新情景,考查学生综合应用知识灵活解决问题的能力.因此加强本专题复习地分必要,尤其是要注意把握以下几点:1. 深化对基础知识的理解,重视知识间的内在联系,

3、特别是知识交汇点要重点把握,提高综合应用知识解决问题目的能力.2. 提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度,特别是对几种曲线各有的特征以及解法之间的相互联系,做到重通法,轻技巧,重思想方法的提炼与升华,达到优化解题思维,简化解题过程的目的.3. 突出抓好重,热点考查内容的复习,如轨迹问题,对称问题,范围问题,最值问题,直线与圆锥曲线位置关系问题,开放性及探索问题,向量,导数与解析几何综合问题等.4. 对基础知识的复习既要全面又要重点突出,对生点支撑学科知识的问题要融会贯通,学会在知识网络交汇点处思考问题,解决问题.考点知识题型分析对直线与圆,以及线性规划就不加以举例了,这里主要是针对圆锥曲线这

4、部分举例考点一 圆锥曲线的概念与性质圆锥曲线的概念与性质是解析几何问题的解题基础,高考试题中有些题目直接去考 查概念与性质,因些要注重对定义(第一,第二定义),标准方程,焦点或交点坐标,离心率,准性方程,渐近线,焦半径及焦点弦等概念的复习,熟习有关性质,掌所握基本技能和基本方法.问题1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.1（2006年福建卷）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ C ）（A）（B）（C）（D）点评：充分认识圆锥曲线中参数a,b,c,e,p的意义及相互关系，在

5、求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.问题2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例：设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，PF1PF2，PF1PF26，F1F2，若PF2F1为直角，则PF12PF22F1F22，可解得：PF1，PF2，这时.若F2PF1为直角，则PF12PF22F1F22，可解得：PF14，PF22，这时.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若PF2

6、F1为直角，则P（），这时PF1，PF2，这时.若PF2F1为直角，则由，解得：.于是PF14，PF22，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用PF1a+ex,PF2=a-ex来求解.问题3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.1（2006年四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.点评：涉及椭圆、双曲线

7、上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.考点二: 圆锥曲线与直线的关系些类问题通常是联立直线与圆锥曲线的方程消元,转化一元二次方程,”设而不求”应用韦达定理求解,但要注意判别式的应用,解题时充分利用圆锥曲线的有关性质,另一方面充分注意方程中变量的取值范围.例.2006年辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】将代入得：，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值

8、的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。例：抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为（）证明：设直线的方程为，直线的方程为点和点的坐标是

9、方程组的解将式代入式得，于是，故又点和点的坐标是方程组的解将式代入式得于是，故由已知得，则设点的坐标为，由，则将式和式代入上式得，即线段的中点在轴上（）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为由式知，代入得将代入式得，代入得因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，于是，因为钝角且、三点互不相同，故必有求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故当时，；当时，即点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.考点三 :轨迹与方程解几的思想就是用方程的思想研究曲线,用曲线的性质研究方程,轨迹问题正是休现这一思想的重要表现形式,历来都是高考的热点,求轨迹的基本

10、方法有:直接法,定义法,转移法,交轨法,参数法等.这里仅举一例,供同学们领悟例（2006年江西卷）如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1） 求点P的轨迹H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q£ ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1

11、°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x，原点距l的距离为，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0<q£）则2sin（）当q时，上式达到最大值。此时a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S|y1|y2|y1y2|设直线m的方程为xky

12、1，代入中，得（2k2）y22ky10由韦达定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk21³1，得4S2，当t1，k0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.考点四: 圆锥曲线中的定值,

13、最值,范围以及存在性问题(1)存在性问题解决的方法一般是先假设是存在的,然后根据条件去求解析式,如有解则表示存在,否则不存在(2)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 3)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值例.2006年安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行

14、四边形，。OFxyPM第22题图H（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。解：四边形是，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（）当时，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。例2如图，已知椭圆=1(2m5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值 命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥

15、曲线与代数间的科间综合 知识依托 直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值 错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2m5时，直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将|AB|CD|化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法 解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0) 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m A(m,m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得 (m1)x2

16、+m(x+1)2=m(m1)整理得 (2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC= 又A、B、C、D都在直线y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA)·,|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|·=|·= (2m5)故f(m)=，m2,5 (2)由f(m)=，可知f(m)= 又222，f(m)故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5 点评：解决有关最

17、值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.考点五:与数列,不等式,向量等综合.,这类题都是属于知识的交汇点处,综合性较强,属于偏难的题目,请同学们务必注意例.( 2006年重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是PnFn与PnCn的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（）试证：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1S1且SnSn+3 (n3).图()图证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 设 因此，由题意应满足即即,从

18、而对任意（）设点 得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.现在由题设取是增数列.又易知故由前已证，知专题小结1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.

19、4、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.5 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 6当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 7以向量,导数为载体或联系相关学科知识,构成知识交汇的问题,综合考查分析和解决问题的能力.训练能力1.（2006年上海卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 2（2006年上海卷）若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 =0,-1<<1 3. ( 2006年湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率