第12初等变换与初等矩阵

1、2022-2-5(共28页)1第第1.2节节: 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵1.2.1 初等变换初等变换1.2.2 初等矩阵初等矩阵1.2.3 初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵 2022-2-5(共28页)2线性方程组的同解变换线性方程组的同解变换对于对于(1.1)式所示的线性方程组式所示的线性方程组,可做如下的三种变换可做如下的三种变换: (1) 互换两个方程的位置互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程两边同乘以一个非零常数把某一个方程两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的将某一个方程加上另一个方程的k倍倍.称为线性方程组的称为线性方程组的初等变换初等变

2、换.以上初等变换是可逆的以上初等变换是可逆的.这个定理在矩阵中如何体现呢？这个定理在矩阵中如何体现呢？mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111 (1.1)1.2.1:初等变换初等变换初等行变换初等行变换 row初等列变换初等列变换 column交换i, j两行数乘第 i 行数乘第 i行加到第 j 行ijrrikrjirkr交换i, j两列数乘第 i 列数乘第 i 列加到第 j 列ijccikcjickc2022-2-5(共28页)4矩阵矩阵A经过初等变换后化为矩阵经过初等变换后化为矩阵B,表示为表示为:习惯上习惯上,在箭头上面写出

3、在箭头上面写出行变换行变换,在箭头的下面写在箭头的下面写出出列变换列变换.例如：例如：AB2312312321022xxxxxxxx 123021111102112xxx 021111102112例例1.7 (P11) 02111110211212rr111002112112312rr11100211033232rr11100211012323rr111001230211322rr111001230037初等变换把矩阵变成初等变换把矩阵变成行阶梯形行阶梯形，得到它代表的同解方程组得到它代表的同解方程组12323302337xxxxxx 2022-2-5(共28页)61.2.2:定义定义 1.9

4、 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩经过一次初等变换得到的矩阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵. 初等矩阵有三种类型初等矩阵有三种类型: (1) 对调对调E中第中第i, j行行,得到的矩阵记为得到的矩阵记为: Rij; 对调对调E中中的第的第i, j列列, 得到的矩阵记为得到的矩阵记为: Cij. 故故:10 10111ijijRijCij=初等矩阵初等矩阵2022-2-5(共28页)7(2)用不为零的数用不为零的数乘以乘以E中的第中的第i行行,得到的矩阵记得到的矩阵记为为Ri(); 用不为零的数用不为零的数乘以乘以E中的第中的第i列列,得到的矩阵得到的矩阵记为记为Ci().1 111R

5、i()Ci()=ii2022-2-5(共28页)8(3)以数以数乘以乘以E中的中的第第i行加到第行加到第j行行上去上去,得到得到的矩阵，记为的矩阵，记为Rij(); 以数以数乘以乘以E中的中的第第j列加到列加到第第i列列上去上去,得到的矩阵得到的矩阵,记为记为Cji(),则有则有:1111Rij()Cji()=ijij2022-2-5(共28页)9初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的,并且其逆矩阵也是同一类型的并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵初等矩阵,易验证易验证:1) Rij-1=Rij；2) (Ri()-1=Ri(1/ )；3) (Rij()-1= Rij(-).定理定理 1.2 有限个初等

6、矩阵的乘积必可逆有限个初等矩阵的乘积必可逆.用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换。的初等行变换。用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换的初等列变换.(初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵与初等变换的关系,左行右列左行右列)Example2022-2-5(共28页)10不难证明下面的一般结论:Ri(c)A 表示A的第i行乘c;Rij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行与第j行对换位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第i列

7、乘c加至第j列;BCij表示B的第i列与第j列对换位置.2022-2-5(共28页)11定理定理 1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然是可逆阵阵仍然是可逆阵. (证明证明)定理定理 1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等可逆矩阵可以经过有限次初等行行变换化变换化为单位阵为单位阵.(P13) (证明证明)定理定理 1.5 方阵方阵P为可逆阵的充分必要条件是为可逆阵的充分必要条件是P可以可以表示为有限个初等矩阵的乘积表示为有限个初等矩阵的乘积.（证明证明）一般地一般地,矩阵矩阵A经过有限次初等变换后得到经过有限次初等变换后得到B,可以可以记为记为B=PAQ

8、, 其中其中P是有限次初等行变换所对应的是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积, Q是有限次初等列变换所对应的是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积.2022-2-5(共28页)121.2.3: 由定理由定理1.5可知可知,可逆矩阵可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵可以分解成若干初等矩阵的乘积的乘积,设设: A=P1P2 .Pt 则有: 上两式表明上两式表明,对矩阵对矩阵A与与E施行同样的行变换施行同样的行变换,在把在把A化化成单位矩阵时成单位矩阵时,E同时就化成同时就化成A-1,因此因此,通常将通常将A与与E按照按照行的方向组合成一个大矩阵行的方向组合成一个大矩

9、阵,对大矩阵施行同样的行变对大矩阵施行同样的行变换换,即得即得:Pt-1 P2-1 P1-1 A=E, 且 Pt-1 P2-1 P1-1 E=A-1初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵Pt-1 P2-1 P1-1 (A E)=(E A-1 ) 设 A = ，解解 1431312511001430101310012511521000211100115301 152 1 0 0152 1 0 0021 1 1 00102 5 10102 5 1021 1 1 0 求A.r2+r1r3-3r1r3+5r223rr例例1.8所以所以 A1=1521001521000102510102510015 11 2

10、0015112 1001310102510015112 2115152131322rr3( 1 )r131225rrrr例例求矩阵的逆。123221343A解解212rr313rr12310022101034300112310002521002630112rr32r r102110025210001111132rr235rr1001320203650011111001323501032200111121()2r 3( 1)r 113235322111A 2022-2-5(共28页)16同理同理,可以用初等列变换来求逆矩阵可以用初等列变换来求逆矩阵,在这样做时在这样做时,应应是对形为是对形为:

11、A E 的矩阵作初等列变换的矩阵作初等列变换,在将在将A化为化为E的同时的同时,E就变就变成了所要求的逆矩阵成了所要求的逆矩阵A-1.(求逆矩阵的过程中求逆矩阵的过程中,初等行与列变换不能混用初等行与列变换不能混用.)练习练习1.1.利用初等行变换求矩阵利用初等行变换求矩阵A A的逆矩阵的逆矩阵, ,其中其中 121342541A解解: 213135121 1 0 01211 0 0:342 01 002131 0541 0 0101465 01rrrrA E 321 32371 2110 01 2 01571021 31 002 01361001 167 1001 1671rrr rr r

12、21231()2( 1)1 0 02 1010021 0131020 136 10 1 0322001 167 10 0 116 71rr rr 2:设设A是是n阶可逆方阵，将阶可逆方阵，将A的第的第i行和第行和第j行对换后得行对换后得 到的矩阵记为到的矩阵记为B. (1)证明证明B可逆可逆. (2)求求AB-1. (97，一，一)证明证明:(1):B=RijA (其中其中Rij 为对调单位矩阵为对调单位矩阵E中的中的第第i,j行所得到的矩阵行所得到的矩阵)又因为又因为A可逆，可逆， Rij 也可逆。也可逆。所以，所以， RijA 可逆，即矩阵可逆，即矩阵B可逆，可逆，且等于且等于B-1=A-

13、1 Rij-1(2): AB-1=AA-1 Rij-1= Rij.2022-2-5(共28页)19初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵小结线性方程组的同解变换线性方程组的同解变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换初等矩阵初等矩阵初等行（列）变换求逆矩阵初等行（列）变换求逆矩阵ijrrikrjirkrRij = CijRi()= Ci()Rij()=Cij()(1): AE( 2):AE作业作业P34: 1.7 (4) (6);31213232( 1)( 1)13( 3)( 2)1213121 2 31 2 3()1 3 50 1 21 5 91 5 91 2 31 211 210 1 20 100

14、100 3 60 300 00( 1)( 1)( 1)rrrrrrccP ABARARRA 例其过程可看成13122323131223( 1)( 1)( 2)( 3)( 1)( 1)( 2)RRACRRRACB BACK2022-2-5(共28页)22行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于底部；2 2）各非零行的首个非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首个非零元位于前一行首非零元之右. . 40000310002320010010123100140

15、00200000121000500002121011100120005如如BACKBACK证明：证明： 定理定理1.3 设设A可逆，可逆，B=PAQ， P、Q分别为有限个分别为有限个初等矩阵的乘积，因而可逆，由逆方阵的性质初等矩阵的乘积，因而可逆，由逆方阵的性质可知可知B可逆，且有：可逆，且有： B-1=Q-1A-1P-1BACK定理定理1.5 方阵方阵P为可逆阵的充分必要条件是为可逆阵的充分必要条件是P可以表示可以表示为有限个初等矩阵的乘积为有限个初等矩阵的乘积12211111112121,tttF FFF F PEPFFFFFFt使得F从而有其中都是初等矩阵.必要性，必要性，由定理由定理1

16、.4可知，可逆方阵可知，可逆方阵P可以经过有可以经过有限次行的初等变换化成单位矩阵限次行的初等变换化成单位矩阵E,则由定理则由定理1.2知：知：存在初等矩阵存在初等矩阵证明：证明：充分性，充分性，如果方阵如果方阵P可以表示为有限个初等可以表示为有限个初等矩阵的乘积，则由定理矩阵的乘积，则由定理1.2的结论，的结论，P为可逆。为可逆。BACK定理定理1.41.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。证明证明 设设A A为为n n阶可逆矩阵。阶可逆矩阵。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa因为因为A A是可逆矩阵，所以是可逆矩

17、阵，所以A A第一列不能全为零。这样就可以通第一列不能全为零。这样就可以通过初等行变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第过初等行变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变为为1 1。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩阵：是零，得到如下形式的矩阵：1212222100nnnnnbbbbBbb由可逆性知由可逆性知b b2222,b,bn2n2中至少有一个不为零。（如果不是这样，中至少有一个不为零。（如果

18、不是这样，则将则将B B的第一列乘以（的第一列乘以（-b-b1212）加到第二列中，则第二列全为零，）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可以通过初等变换将这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行。再将第二行乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：BACK类似地可以证明，类似地可以证明， C33,Cn3中至少有一个不为零。并通过中至少有一个不为零。并通过适当的行变换将第三行第三列的元素变为适当的行变换将第三行第三列的元素变为1，气候各行的元，气候各行的元素全部变为零。素全