第2章解析函数

1、1例例 .0021)(时的极限不存在在证明zzzzzzizf 故极限不存在时：沿第一象限的角平分线时：从而当沿正实轴证明：令1lim40lim02sinsin2cos2212121sincos002222zfzfririrrzzzzizzzzizfirzzz2例例 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。上上不不连连续续。在在负负实实轴轴在在负负实实轴轴上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义， arg)()1(zzf 证明证明x y (z) ozz)0 ,(xP 3开

2、集：如果G内的每个点都是它的内点，那末称G为开集。区域： 平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1) D是一个开集； 2) D是连通的，4简单曲线： 没有重点的连续曲线C，称为简单曲线。简单闭曲线： 如果简单曲线C的起点与终点重合，即z(a)z(b) ，那末曲线C称为简单闭曲线。5单连域：复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B，就称为单连域。 多连域：一个区域如果不是单连域，就称为多连域。Retur61. 函数的极限 72. 函数的连续性 8第二章 解析函数 9主要内容2.1 解析函数的概念2.2 函数解析的充要条件2.3 初等函数102.1 解析

3、函数的概念111. 复变函数的导数与微分 i）导数的定义 00, )()() 1 . 2(lim)()(lim,)0(,)(0000000000zzzzzzwdzdfzfzzfzfzzfzzfyixzzziyxzzfw或记为可导，其导数在存在（有限），则称若在邻域内取一点邻域内有意义的在点设定义12定义中z0+zz0（即z0）的方式是任意的；定义中极限值存在的要求与z0+zz0的方式无关。注：如果f(z)在区域D内处处可导，我们就说f(z)在D内可导。例：求f(z)=z2的导数。 解：因为 zzzzzzfzzfzz2200)(lim)()(limzzzz2)2(lim0所以zzf2)(13例：

4、问f(z)=x+2yi是否可导？ 解：这里 zzfzzfz)()(lim0zyixiyyxxz2)(2)(lim0yixyixz2lim0设 沿着平行于x轴的方向趋向于z。（如图）zz1lim2lim00 xxyixyixzz设 沿着平行于y轴的方向趋向于z。因而 。这时极限 zz0 x22lim2lim00yiyiyixyixzz所以 的导数不存在。yixzf2)(xyzO0y，因而 。这时极限14ii）可导与连续 连续不一定可导，但可导一定连续。15(1)(2)(3)(4)(5)(6)iii）求导法则 0)(c1)(nnnzz)()( )()(zgzfzgzf)()()()( )()(zg

5、zfzgzfzgzf0)(),()()()()(1)()(2zgzgzfzfzgzgzgzf)(1)(wzf(7)，其中c为复常数。 ，其中n为正整数 )()()()(zgwzgwfzgf，其中，其中f(z)与(z)是两个互为反函数的单值函数，且(z) 0。16iv）微分的概念 设函数f(z)在z0可导，则称f (z)z为函数f(z)在点z0的微分，记作：zzfdw)(0如果函数在z0的微分存在，则称函数f(z)在z0可微。特别，当f(z)=z时，可得dz=z。于是有：dzzfdw)(00)(0zzdzdwzf即：所以，函数w=f(z) 在z0可导与在z0可微是等价的。如果f(z)在区域D内处

6、处可微，则称f(z)在D内可微。172. 解析函数的概念 如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，那末称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点解析，那末称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数。 定义：如果f(z)在z0不解析，那末称z0为f(z)的奇点。 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念。就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析。 注：18例：研究函数 和 的解析性。 yixzgzzf2)(,)(22)(zzh解：由解析函数的定义与上面的例子可知， 在复平面内是解析的，而 却处处不解析，下面研究

7、的解析性。 2)(zzfyixzg2)(2)(zzh由于zzzzzzhzzhzz20200000lim)()(limzzzzzzzz00000)(limzzzzzz000lim19当 时，这个极限是零；当 时，令 沿直线 00z00zzz0)(00 xxkyy趋于 ，由于k的任意性，0zkikiixyixyyixyixzz1111不趋于一个确定的值，所以，极限zzhzzhz)()(lim000不存在。 因此， 在 处可导，而在其他点都不可导，根据解析性定义，它在复平面内处处不解析。 2)(zzh0z20例：研究函数 的解析性。 zw1解：因为 在复平面内除点 外处处可导： w0z21zdzdw

8、所以在除 外的复平面内，函数 处处解析，而 是它的奇点。0zzw10z21（1）在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析；（2）设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析，函数 w=f(h)在h平面上的区域G内解析。如果对D内的 每一个点z，函数f(z)的对应值h都属于G，那末 复合函数w=fg(z)在D内解析。所有多项式在复平面内是处处解析的，任何一个有理分式函数在不含分母为零的点的区域内是解析函数。 定理：推论：222.2 函数解析的充要条件 23xyxivyxuyxxivyxxuzfxzyxyxvyxuzfz),(),(),(),(lim

9、)( ,) 1 . 2(.),(),(),(,)( 0000000000000令中这是因为在处的一阶偏导数存在在和立即可推知的存在从xyxvyxxvixyxuyxxuxx),(),(lim),(),(lim0000000000),(),()( 00000yxivyxuzfxxyiyxivyxuyyxivyyxuzfxyizz),(),(),(),(lim)( 0,0000000000令),(),()( 00000yxvyxiuzfyy)3 . 2(),(),(),(),(00000000yxvyxuyxvyxuxyyx24xvyuyvxu,柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：25)

10、()1 . 2(,)(.,可可微微的的必必要要条条件件定定理理可可以以得得到到我我们们可可微微的的意意义义可可导导的的定定义义与与由由不不能能配配成成可可导导的的二二元元实实函函数数存存在在的的随随便便取取两两个个一一阶阶偏偏导导数数由由此此可可见见vuzfivufvu 条条件件满满足足在在点点存存在在在在点点偏偏导导数数必必有有则则可可微微内内任任一一点点且且在在内内有有定定义义在在区区域域设设函函数数.),(),(),()2(.),(,)1(,),(),()(RCyxyxvyxuyxvvuuiyxzDDyxivyxuzfyxyx 26 条条件件满满足足在在点点可可微微在在点点要要条条件件是

11、是可可微微的的充充内内一一点点在在则则有有定定义义内内在在区区域域设设函函数数可可微微的的充充要要条条件件定定理理.),(),(),()2(.),(),(),()1()(,),(),()(2 . 2RCyxyxvyxuyxyxvyxuiyxzDzfDyxivyxuzf 27证：条件的必要性前面已证。 28而且由于u(x, y)和v(x, y)在(x, y)可微，可知 由于下面来证明充分性这里 ),(),()()(yxuyyxxuzfzzf),(),(yxvyyxxviviuyxyyuxxuu21yxyyvxxvv43)4 , 3 , 2 , 1( 0lim00kkyx因此yixiyyviyux

12、xvixuzfzzf)()()()(423129根据柯西-黎曼方程 xvixvyu2xuyv所以 )()()(yixxvixuzfzzfyixi)()(3231或 zyizxixvixuzzfzzf)()()(4231因为1, 1zyzx，故当 趋于零时，上式右端的最后两项都趋于零。因此zxvixuzzfzzfzfz)()(lim)(0这就是说，函数 在区域D内处处可导，因而它在D内解析。证毕！),(),()(yxivyxuzf30注：根据这个定理，如果函数f(z)=u+iv在区域D内不满足柯西-黎曼方程，那末， f(z)在D内不解析；如果在D内满足柯西-黎曼方程，而且u和v具有一阶连续偏导数

13、（因而u和v在D内可微），那末， f(z)在D内解析。在上述定理中，只要把“D内任一点为”改为“D内某一点”，那末定理中的条件也是函数f(z)在D内某一点可导的充要条件，因而它也可以用来判断一个函数在某一点是否可导。(1)(2)上述定理不但提供了判断函数f(z)在区域内是否解析（或在某点是否可导）的常用方法，而且给出一个简洁的导数公式，即yvyiuxvixuzf1)(3)31.),(,)2(;),(,) 1 ()(,)()(条件满足在处连续在点可微的充分条件是内一点在则内有定义在区域设函数可微的充分条件推论RCyxvuyxvvuuiyxzDzfDivuzfyxyx32例例2 讨论讨论 的可导性

14、和解析性。的可导性和解析性。iyxzf 2)(21, 1201, 0, 0,2,:2 xvuxvuvvuxuyvxuyxxyyxyx得得令令故故解解 偏导数都在偏导数都在Z面处处连续，但面处处连续，但u,v仅在仅在直线直线x=-1/2上满足上满足c.-R.条件。从而条件。从而f(z)仅在仅在直线直线 x= -1/2上可微。但在上可微。但在Z面上面上f(z)却处却处处不解析。处不解析。33例例1 讨论讨论 的解析性。的解析性。 2)(zzf故解：, 0,22vyxu0,2,2yxyxvvyuxu 它们在它们在z 面上处处连续，但只在面上处处连续，但只在z=0一一点满足点满足C.-R.条件。故条件

15、。故 f(z) 只在只在z =0可可导导(可微可微) , 从而从而 f(z) 在在z 面上处处不解面上处处不解析。析。34例：判定下列函数是否解析。zw )sin(cos)(yiyezfx)Re(zzw (1)(2)(3)解：（1）因为 yvxu ,0, 1yuxu1, 0yvxv可知柯西-黎曼方程不满足，所以 在复平面内处处不解析。zw 35（2）因为 并且由于上面四个一阶偏导数都是连续的，所以f(z)在复平面内处处解析。而且 yevyeuxxsin,cosyeyuyexuxxsin,cosyeyvyexvxxcos,sin从而xvyuyvxu,)()sin(cos)(zfyiyezfx这个

16、函数的特点在于它的导数是其本身，今后我们将知道这个函数就是复变函数中的指数函数。 36容易看出，这四个偏导数处处连续，但是仅当x=y=0时，它们才满足柯西黎曼方程，因而函数仅在z=0可导，但在复平面内任何地方都不解析。 （3）由ixyxzzw2)Re(得 xyvxu,2所以 0,2yuxxuxyvyxv,37例：设函数 问常数a, b, c, d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？ )()(2222ydxycxibyaxyxzf解：由于 byaxyuayxxu2,2ydxyvdycxxv2,2从而要使 xvyuyvxu,只需 byaxdycxydxayx22 ,22因此，当 时，此函数在复平

17、面内处处解析。2, 1, 1, 2dcba38例：如果f (z) 在区域D处处为零，那末f(z)在D内为一常数。 证：因为 0 )(yuiyvxvixuzf故0yvxvyuxu所以u=常数，v=常数，因而 f(z)在D内为一常数。 39例：如果f (z)=u+iv 在区域D内解析，8u+9v=0,那末f(z)在D内为一常数。 证：因为 402.3 初等函数411. 指数函数 )sin(cosexpyiyezxkyzezx2)(expArg,exp其中k为任何整数。它等价于关系式：性质（加法定理）： )exp(expexp2121zzzz证明：事实上，设 222111,iyxziyxz，按定义有

18、 )sin(cos)sin(cosexpexp22112121yiyeyiyezzxx)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx)sin()cos(212121yyiyyexx)exp(21zz 42注：为了讨论的方便，我们就用符号ez 代替expz 。因 此我们就有：)sin(cosyiyeexz特别，当时x=0，有：yiyeiysincos性质：指数函数expz的周期是2ki，即zikzikzeeee22其中k为任何整数。432. 对数函数 令 的函数w=f(z)称为对数函数。所以 )0( zzew把满足方程irezivuw,那末

19、iivureeArgzlnizw注：由于ArgZ为多值函数，所以对数函数w=f(z)为多值函数，并且每两个值相差2i的整数倍，记作：ArgzzlnLnzi44如果规定上式中的ArgZ取主值argZ ，那末LnZ为一单值函数，记作lnZ ，称为LnZ的主值。这样，我们就有：zizzarglnln而其他各支可由), 2 , 1( 2lnLnzkikz表达。对于每一个固定的k，上式为一单值函数，称为LnZ的一个分支。例：求Ln2，Ln(-1)以及与他们相应的主值。 解：因为Ln2 = ln2+2ki ，所以它的主值就是ln2。而iki) 12() 1(Arg1ln) 1(Ln（k为整数），所以它的主

20、值是： i ) 1ln(45复变数对数函数的基本性质：2121LnzLnz)(Lnzz2121LnzLnzLnzz注：这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端的 某一分支。46对数函数的解析性：就主值lnz而言，其中ln|z|除原点外在其他点都是连续的，而argz在原点与负实轴上都不连续。 所以，lnz在除去原点及负实轴的平面内解析，可知Lnz的各个分支在除原点及负实轴的平面内也解析，并且有相同的导数值。47立的，在复数范围内是不成“负数无对数”的说法例), 1, 0() 12(2) 1ln() 1(1ln) 1ln(ln)ln(), 1, 0() 12(ln)(), 1, 0(2ln, 0.16. 2kikikLniiaakikaaLnkikaLnaa48例例1. 求求 ln（1+i）)2)1(arg(1ln)1(kiiiiLn), 2, 1, 0)(24(2lnkki49012iez例：解方程503. 乘幂与幂函数设a为不等于零的一个复数，b为任意一个复数，我们定义乘幂ab为ebLna ，即Lnabbea由于Lnz是多值的，因而ab也是多值的。例：求下列式子的值。 21ii（1）（2）51解：（1）（2）221221ikLnee)22sin()22cos(kik) , 2 , 1 , 0(k)22(Lniikiiiieei)