参数函数的单调区间

1、第16炼 含参数函数的单调区间 在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域求出导函数令解不等式得到递增区间后取定义域的补集（减区间）单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关

2、于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和

3、结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论。（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。 例如：解不等式：，可得：此时扮演两个角色，一个是的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定的大小，进而要和来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如

4、以系数的正负，进行分类。当时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于，以此为前提，故小大根不存在问题，解集为当时，不等式变为当时，不等式解集为小大根之外，而，的大小由的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视的对比）时，不等式解集为时，不等式化为时，不等式解集为希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。二、典型例题：例1：已知函数，求的单调区间解：定义域令，所解不等式为当时，即解不等式的单调区间为：当时， 恒成立为增函数:例2：已知函数（1）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值（2）求函数的单调区间解：（1）由切线与垂直

5、可得：（2）思路：导函数，令解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根解： 令即 （将的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用的条件使得大小能够确定下来，避免了进一步的分类）的单调区间为： 的单调区间为：例3：已知函数，求的单调区间解：定义域：，令，可得：即当时，的单调区间为：当时，为增函数当时，恒成立 为增函数例4：讨论函数的单调区间解： 令即 （注意定义域为，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式） 时 （求解需要除以后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手） 恒成立，在单调递增 函数 为增函数

6、 时 （下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）当即时，恒成立，在单调递减当即时，解得：的单调区间为：小炼有话说：本题定义域为，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在时，表格中自变量的区间是从处开始分析的例5：已知函数，讨论的单调性解：定义域为 令即考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点） 时 恒成立，故在单调递增 时 的解 的解集为的单调区间为： 时 在单调递增小炼有话说：本题亮点在于的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定

7、单调性。除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。，说明两根同号，而，说明的符号决定的正负，从而在的情况下进行再次分类讨论例6：已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间解：（1） 切线方程为：，即（2），令，即解不等式： 当时，解得：，故的单调区间为： 当时 ，所以解得：故的单调区间为： ，则，常值函数不具备单调性 时，解得：或 故的单调区间为：例7：已知函数.求函数的单调区间.解： 令，即， （参数角色： 的大小， 是否在定义域内，以为目标分类） 即 （此时一定在定义域中，故不再分类）不等式的解集为或 的单调区间为： 在单调递增 ，要根据是否在进

8、行进一步分类当时， 不等式的解集为或 的单调区间为：当时，则，不等式的解集为 ，的单调区间为：小炼有话说：（1）在求单调区间时面临一个的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。例8：已知函数，求的单调区间解：定义域令，即解不等式（1）当时，可得，则不等式的解为的单调区间为：（2）当时， 时，即，解得或的单调区间为： ，代入到恒成立 为增函数 ，解得：或的单调区间为：例9：设函数，求的单调区间；解：，令即（1） 则恒成立 在上单调递增（2）或 当时，解得 ，