命题及其关系充分条件与必要条件理含解析

1、考点 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点分类】热点一 命题及其关系1. 【2014陕西高考理第8题】原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假2.【2014高考辽宁(理)5】.设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D3.【2014重庆理 6】已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）【答案】D.【解析】由指数函数的性质知，是真命题，取=1.5满足1，但满足2，故不是的充分不必要条件，故是假命

2、题，是真命题，故选D.4. 【2013高考天津（理）】已知下列三个命题: 若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是: （ ）(A) (B) (C) (D) 【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的

3、命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若p，则q”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定.4.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假【解题技巧】1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面

4、.【易错点睛】1.区分否命题与命题：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.例 写出命题“若，则，全为0”的否命题.【错解】若，则，全不为0.【错因分析】将命题否定与否命题混淆；命题结论否定错误, “，全为0”的否定应为“，不全为0”，而不是“，全为0”.【预防措施】要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，条件和结论的否定就是分

5、别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可以避免类似的错误.【正解】若，则，不全为0.热点二 充分条件与必要条件1.【2014高考福建卷理第6题】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件2. 【2014高考湖北卷理第3题】设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 【2014高考安徽卷理第2题】“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 【2014北

6、京理5】设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）充分且不必要条件 必要且不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件【答案】D.【解析】当a1<0，q>1时，数列an递减；当a1<0，数列an递增时，0<q<1.故选D.5. 【2014天津高考理第7题】设，则|“”是“”的（） （A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件6. 【2014高考上海理科第15题】设,则“”是“”的（ ）（A） 充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若，则，但当时也有，故本题就选B7.【

7、2014浙江理 2】已知是虚数单位，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. 【2013高考上海（理）】钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件9. 【2013高考北京（理）】“=”是“曲线y=sin(2x)过坐标原点的” （ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10. 【2013高考福建（理）】已知集合，则是的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要

8、条件 D. 既不充分也不必要条件 答案A解析当时显然是B的子集，但时，故为充分不必要条件.11. 【2013高考山东（理）】给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的 A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【方法规律】1. 在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，再从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p，结合定义即可做出判断.2. 常用充分条件、必要条件的判断方法有三种：（1）直接法：若，且，则 是的充分不必要条件；若，且，则是的必要不充分条件；若，且，则是的充分必要条件；若，且，则

9、是的既不充分也不必要条件.（2）利用集合件包含关系判断何件包含关系判断设满足条件的元素构成的集合为M，满足条件的元素构成的集合为N，则有下面结论：若MN，则是的充分不必要条件；若NM，则是的必要不充分条件；若M=N，则是的充要条件；若MN且NM，则是的既不充分也不必要条件利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而刮题易于求解对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断（3）利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若则”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则是的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则是的必要不充分条件；（3）

10、若原命题与逆命题都为真，则是的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则是的既不充分也不必要条件.【解题技巧】1.在进行充要条件判断时，在明确条件、结论的基础上，将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键2.在利用集合法进行充要条件判断时，常借助数轴直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解.3.在利用命题法判定充要条件时，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题【易错点睛】在判断充要条件时，因条件与结论分不清或因考虑不全面导致致错误.例 已知：“向量与向

11、量的夹角为钝角”是：“0”的 条件.【错解】若向量与向量的夹角为钝角，则0，即0，故是的充要条件.【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，而上面之判定了一个方向就下结论，忽视了对“0”成立时能否导出“向量与向量的夹角为钝角”的判断.【防范措施】判断充要条件时要注意两点：首项要分清哪个是条件，哪个是条件；其次要从两个方向进行判断，即条件能否导出结论与结论能否导出条件.【正解】若向量与向量的夹角为钝角，则0，即0，即；当0，即0，因为，所以，故向量与向量的夹角为钝角或平角，即，故是的充分不必要条件.【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与

12、逆否命题这四种命题的相互关系（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现（3）本节知识常与集合、函数、不等式、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数等知识结合，在复习是要加强对集合、函数、不等式性质等基础知识理解与掌握.3.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系四种命题及其关系四种命题的真假关系逆命题与否命题互为

13、逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件若，则是充分条件，是的必要条件.若，且，则是充要条件4.名师二级结论：(1) 常见结论的否定形式结论是都是大于小于至少一个至多一个至少个至多有个对所有，成立或且对任何，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（）个至少有（）个存在某，不成立且或存在某，成立(2)充要条件判定方法 定义法：若，则是充分条件；若，则是必要条件；若，且，则是充要条件.集合法：若满足条件的集合为A，满足条件的集合为B，若AB，则是的充分不必要条件；若BA，则是必要不充分条件；若A=B则，是 充要条件

14、。对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.5.课本经典习题：(1)新课标A版第8 页习题1.1A组，第2题【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.(2)新课标A版第12页习题1.2A组第3题【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性.6.考点交汇展示：(1)与集合交汇例1【2015湖北武汉9月调研测试2】已知集合，则是的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】若：则有，若：则或，是充分不必要条件. (2)与不等式

15、交汇例2【2015河北“五个一名校联盟”质监（一）3】已知，如果是的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 （ ）A. B. C. D. （3）与函数交汇例3 【2015高考一轮配套特供】 “10a>10b”是“lga>lgb”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由10a>10b得a>b，由lga>lgb得a>b>0，所以“10a>10b”是“lga>lgb”的必要不充分条件，选B.（4）与平面向量结合 例4【2014北京西城区二模】设平面向量，均为非零向量，则“”是“”的（ ）（A）充

16、分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）与复数交汇例5【2014届湖南十三联校考第二次考试】已知,则“”是“复数为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（6）与立体几何交汇例6 【2014届陕西高考前30天保温训练17】已知直线a，b，平面，则a的一个充分条件是（）Aab，b Ba，Cb，ab Dab，b，a【考点特训】1. 【2013上海市闸北高三一模】 以下四个命题中，真命题的个数为 ( )集合的真子集的个数为；平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；设，若，

17、则且； 设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列(A)0 (B)1 (C)2 (D)32【2014届福建福州三中考前模拟】设为非零实数，则:是:成立的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3. 【2014届福建福州三中考前模拟】原命题 ：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（）个A0 B1 C2 D44. 【2015高考数学一轮配套特训】若“不等式<1成立”是“关于x的不等式|xm|1成立”的必要不充分条件，则m的取值范围是()Am<1或m>2 Bm<1Cm>2 Dm1或m25. 【2014届安徽

18、“江南十校”二模】“”是“直线与直线平行”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6. 【2014届山东烟台5月适应性训练一】下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若”的否命题为：“若”；B“”是“”的必要不充分条件；C命题“,使得”的否定是：“,均有”；D命题“若”的逆否命题为真命题.7. 【2014届天津南开区一模】已知下列三个命题： 棱长为2的正方体外接球的体积为4；如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；直线被圆截得的弦长为2其中真命题的序号是( )。(A) (B) (C) (D)8. 【2014届

19、湖南长沙二模】中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9. 【2014届湖南长沙二模】设A，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则是的（ ）A充分且必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D非充分且非必要条件【答案】B【解析】：由已知得，故，所以是的充分非必要条件 10.【2014届山东东营市4月质量检测】“实数”是“复数（为虚数单位）的模为”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分条件又不必要条件11. 【2014届甘肃武威铁中选择填空限时练二】设an是等比数列，则“a

20、1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件12. 【2014届山东省德州二模】下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若x1，则”B“x>2”是“”的充分不必要条件C对于命题p：R，使得，则为：R，均有D若为假命题，则p，q均为假命题是假命题，则至少有一个是假命题，不正确，故选.13. 【2014届安徽皖北协作区联考】若且，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.【2014届湖北天门四月调研考试】设在（）上单调递增；，则p是q的（ ）A充要条件

21、 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D以上都不对15. 【2014高考名师推荐数学理科】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为0,1上的增函数”是“为3,4上的减函数”的（    ）A既不充分也不必要的条件 B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件 D充要条件【答案】D16【2014届北京顺义区第一次统考（理）】已知向量， ，则是的 （ ） (A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 17.【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】有下列四个命题： p1：； p2：已知a>0，b>0，若a+b=1，则的最大值是9； p3：直线过定点(0，-l)； p4：区间是的一个单调区间 其中真命题是( ) (A) ,p4 (B) , (c) , (D) ,错误。：当时，此时函数单调递