九年级春季班第8讲：等腰三角形的存在性问题-教师版

1、中考我DQ等腰三角形的存在性问题内容分析2 / 14根据等腰三角形的定义，若ABC为等腰三角形，则有三种可能情况：(1)AB=BC； (2) BC = CA; (3) CA = AB .但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存 在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤 其注意.1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种:(1)(2)勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边(3)两点间距离公式：设 A(x1, y1) > B(x2,y2),则A、B两

2、点间的距离为:AB yj(x X2)2 (V1 y2)2 .2、解题思路：(1) 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；(2) 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程(多为分 式或根式方程)(3) 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之.例题解析【例1】如图，已知 ABC中,AB = AC = 6, BC = 8,点D是BC边上的一个动点，点在AC边上，/ ADE =/ B.设BD的长为 (1)当D为BC的中点时，求CE的长； (2)求y关于x的函数关系式，并写出x,

3、 CE的长为y.x的取值范围;(3)如果 ADE为等腰三角形，求【答案】(1) 8； (2)3【解析】解：:EDC28x-2L(°X 8); (3)180ADEADB 1802或1.2B ADBEBAD , B C ,ABDs DCE .CE BDDC ABBDABxDC 6_ 28x x6(1)当D为BC中点时,x 4, CE(2)28x xy 丁'x的取值范围为0(3)分情况讨论，当AD = AE时： AED C ADE当AD = DE时： ADAE ,此情况不存在;CE DEBD解得：xAD0 (舍)或x当AE = DE时:DAEDA DC一 DE 8 CD2；又二 一

4、 一，AD AB28x x66 6综上：x的值为2或7.2【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用.4 / 1420 / 14【例2】 已知，一条抛物线的顶点为E ( 1,4),且过点A ( 3, 0),与y轴交于点C,3 m 1,过点D作DK x轴，垂点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m,且足为K, DK分别交线段AE、AC于点G、H.(1)求这条抛物线的解析式；(2)求证：GH = HK；(3)当 CGH是等腰三角形时，求 m的值.2【解析】(1) y x 14 ； (2)略；(3) m的值为3或3 3& .2E ( 1,4), 2 a x 14 ( a

5、0)0) . 4a 4 0, a 12 y x 14 ；1 , 4), C (0, 3) 2x 6;直线AC的解析式为y x 3【解析】(1)二.抛物线的顶点为 ，设抛物线的解析式为 y又抛物线过点A ( 3,(1) 这条抛物线的解析式为(2) .A ( 3, 0), E (直线AE的解析式为yD的横坐标为m, DK x轴，1. G (m, 2m + 6), H (m, m + 3) K (m, 0), GH = m + 3, HK = m + 3, . GH = HK;(3) C (0, 3), G (m, 2m + 6), H (m, m + 3)1。若 CG = CH,则 而2 2m丁

6、Tm2m2解得：m 1 , m23都是原方程的解，但不合题意舍去;所以这种情况不存在.2。若 GC = GH,则 Jm2m 3 2 m 3,3解得：匹0, m2 鼻都是原方程的解，但 m, 0不合题意，舍去.3m 一；23° 若 HC = HG,则 >/m""m2 m 3,解得： m 3 3我.综上所述：当 CGH是等腰三角形时，m的值为 0或3 3、历.2【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择.模块二：与圆有关的等腰三角形问题知识精讲1、与圆有关知识内容：在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：(1)同

7、圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件;(2)切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形 2、解题思路：与模块一类似；(1)利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；(2)根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程(多为分式 或根式方程)；(3)解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.【例3】 如图，在Rt ABC中，/ ACB = 90° , AC = 8, tan B =4 ,点P是线段AB上的一 3个动点，以点P为圆心，PA为半径的。P与射线AC的另一个交点为 D,射线PD交射线BC于点E,点Q是线段BE的中点.(1) 出定义域;(

8、2)(3) 的长.以点射线E在BC的延长线上时，设 PA=x, CE = y,求y关于x的函数关系式，并写Q为圆心，QB为半径的。Q和。P相切时，求。P的半径；【答案】(1)(3) AP的长为6-x, (0 x 5); (2)。P 的半径为 5生或80或5或8.1313【解析】解:(1) AP = PD, PAD PDAPBE PEB, PE = PB =10 x, 33DCEs ACB , CE -DE - 10 2x55PQ与OP相交于点M,联结PC、MC,当 PMC是等腰三角形时，求 APx 5); 43(2)可以求出， PQ 8 -x , PA = x, BQ 6 -x . 5543.

9、一5，外切时，8 -xx 6-x ,解得：x一 ,553内切时，8 -x x 6 - x ,解得：x竺，556综上所述，O P的半径为5或竺; 36222(3) PMX，PC 5 5x 8 gx，MC J Ix分情况讨论：PM = PC时，解得：x 5 （此时E与C重合）；PM = MC时，解得：x 8或x 40 ;13PC = MC时，解得：x 80或x 0 （舍）.13综上所述，AP的长为丝或80或5或8.1313【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论, 注意方法的归纳总结.【例4】 如图，已知在 Rt ABC中,4ACB 90 , AB = 5,

10、sin A 5点，PE AB ,垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线段CQ与边AB交于点D .(1)求AD的长；(2)设CP = x, PCQ的面积为y,求y关于x(3)过点C作CF AB ,垂足为F,联结PF、三角形，求CP的长.【答案】(1) AD 3 ； (2) y2 2 (5x(3) CP的长为2或丝.11【解析】(1)在RtAABC中，/ACB=90°BCin A 4 , ACPC PQ ,PCQQED90°,QDEPQC90°.PCQACD =90° ,QDEQDEADC ACD , AD(2)作 QHBC ,垂足为点H.PEBACB

11、 =90° ,BPEABC =90° ,QPHA ， sinQPH PQPCx, QH4-x, 53定义域为32(3)解法一:在 RtAPBE 中,PEB90°, BP16x 一54-x , PE 534512x 一5一EFEQ 8x5125PF2212 34-x-x2 72144x - x 2525QF212524一 x516 2-x5如果PF PQ ,那么2 72x 一 x2514425,P是BC边上的一PE相交于点Q ,线的函数解析式，并写出定义域;PQF是以PF为腰的等腰QF,如果x 4 );AC 3 .ABCA =90。，sin BPE3 -x51921

12、44x2525x,解得：x如果 PF QF，那么：x2 72 x 1442525解得：“ 0 （不合题意，舍去）156242 192144x x ,252511综上所述，如果 APQF是以PF为腰的等腰三角形,CP的长为2或411解法二:在 RtAPBE 中,PEB90°,BPsinBPEBE16x 54-x 5PE125EF45x'EQ 8x5125如果PF PQ ,那么PFPC ，PCF PFC ,PFB PF如果PFPB, CPFQ ,那么PBPEEQ ，125解得:38-x - x5524x ,1112524CP -11综上所述，如果 hQF是以PF为腰的等腰三角形,

13、CP的长为2或马.11【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可.模块三：与角有关的等腰三角形问题知识精讲有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形例题解析【例5】 如图1 ,在 ABC中，/ ABC = 90 °, AB = 5, / C = 30 ；点D是AC边上一动点(不与A、C重合)，过点D分另1J作DEXAB于点E, DFLBC于点F,联结EF ,设AE=x, EF = y.(1)求y关

14、于x的函数解析式，并写出定义域；(2)以F为圆心、FC为半径的。F交直线AC于点G,当点G为AD中点时，求x的 值；(3)如图2,联结BD,将4EBD沿直线BD翻折，点E落在点E处，直线BE与直线 AC相交于点M,当 BDM为等腰三角形时，求/ ABD的度数.20° 或 40° 或 80°AE ,x5石石x.【答案】（1） y d4x 10x 25 （0 x 5）； x的值为刍； 2（3） / ABD的度数为【解析】解：（1） DE.DE/BC,DE AElBC AB'y JBE_Bf7 5 x 2V3x 2 14x2 10x 25 （定义域为 0 x 5

15、）;(2)作 GH，BC 于 H易得：FH_2x x,2GHGFFC 3解得：Xi(3)分情况讨论，设1-X2X210ABD(舍去).E'DBEDB90BD=BM时,当点M在AC边上时,E'DM1803090BMDBDM 9030又 BMDMBC9030120601202 ,解得:20当点M在CA的延长线上时，同理可得BD=DM时,又. DE BM ,MDE' BDE' BDE .又 MDE ' BDE' BDE ADEBDE 50 , ABD 40 ;DM=BM时,BDM A ABD ABD MBD ,DM BM ,不可能.注意等腰三角形的分【

16、总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用, 类讨论.随堂检测【习题 1】 已知：如图 1,在梯形 ABCD 中，AD/BC, / BCD=90o, BC= 11, CD= 6, tan /ABC=2,点E在AD边上，且 AE=3ED, EF/AB交BC于点F,点M、N分别在射 线FE和线段CD上.(1)求线段CF的长；(2)如图2,当点M在线段FE上，且 AMLMN,设FMcos/ EFC=x, CN=y,求y关 于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)如果那MN为等腰直角三角形，求线段 FM的长.(图1)【答案】(1) CF的长为5;(3)线段FM的长为V5或V5或 55

17、 33【解析】(1)作AGLBC于点G,BGA = 90°,/ BCD = 90 °, AD / BC, . AG = DC = 6,. tan/ABC = AG = 2 . . BG = 3BG BC = 11 GC = 8, AD = GC = 8, . AE = 3EDAE = 6, ED = 2. AD/BC, AB/EF, . BF = AE = 6, . CF = BC-BF = 5.(2)过点M作PQXCD,分别交 AB、CD、AG于点P、Q、H,作 MRBC 于点 R,易得 GH = CQ = MR. MF，cos/EFC = x,FR = x, tan/A

18、BC = 2, . GH = MR = CQ = 2x.BG = 3,由 BF = 6,得：GF = 3,HM=3 + x, MQ = CF-FR = 5-x, AH = AG-GH = 6-2x. / AMQ= Z AHM+Z MAH ,且/ AMN = ZAHM=90° ,. . / MAH = ZNMQ,AHM s mqn ,AHMQ y_ 2, 一5x2 14x 152x 6定义域:HM 目 6 2x 3 x,即NQ 5 x y 2x0x1;(3)/ AMN = 90°1)当点M在线段EF上时， AHM s MQN ,且 AM = MN . AH=MQ6- 2x =

19、 5-x,FM = 52）当点M在FE的延长线上时同上可得AH = MQ2x-6 = 5-x11 x 3/ ANM = 90°过点N作PQCD,分别交 AB、AG于点P、作MR ± BC于交BC延长线于交直线 PN于点. AN = MN,易得 AHN NQMAH = NQ, HN = MQ = 8令 PH = a,贝U AH = 2a, DN = 2a, CN = 6-2aFR = 5 + 2a, MR = 8 + (6-2a) = 14-2a由 MR = 2FR 得 a = 2 ,3FR= 19 , MR= 38综上所述，线段FM的长为 娓 或11J5或1975 .【总结

20、】本题综合性较强,考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用.【习题2】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB=5, BC = 8, cosB= 4 ,点P是边BC5上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F (点F在点E的右侧)，射线CE与射线BA交于点G.EF的长；C的半径长.；G(1)当圆C经过点A时，求CP的长;(2)联结AP,当APCG时，求弦(3)当 AGE是等腰三角形时，求圆【答案】(1) CP的长为5; (2) ef 74(3)圆C的半径长为J10 .【解析】解：(1)作AHLBC于H.BH

21、 = 4, AH = 3, CH = 4.ac Jah2ch 2 5, cp = ac = 5；(2) AP/CG,APCE 为平行四边形，又 CE = CP,.APCE 为菱形.设 CP = x,则 AP = CP,TAP_PH 2 CP .即 794 x 2 x,解得：x 竺，. EF 7； 84(3)设 AE t ,贝U CE 794 t 2 . AEGs DEC , AG 5, GE 4 t 2 8 t8 t ,分情况讨论 AE = AG,解得：t 3; AE = GE,解得：t 39 ,此时e在F点右边，舍去; 8 AG = GE,解得：t 0或t 8,均不可能，舍去.当 AE =

22、3 时，CE J10.主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用,注意第(3)【总结】本题综合性较强, 小问中对求出的值的取舍.课后作业【作业1】如图，在 ABC中，/ C = 90 ° , BC = 3 , AB = 5 .点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿 B-C-A-B的方向运动；点 Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C-A-B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止，设运动时间为t秒.(1)当t =秒时，点P与点Q相遇；(2)在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，PCQ为等腰三角形?_ . . 、_39【答案】(1) 7; (2) t 3917【解析】解：(1) Q到B点需要 U 4.5s,2此时P点行了 4.5个单位,两点相距3 4 5 4.5 7.5个单位，再过匹 2 5s,即一共过7秒后，P与Q相遇. 2 1(2) P在B到C的过程中，Q从CA边到了 AB边,需要分情况讨论Q在AC边上，即t 2s时,C 90 , ,只可能 CP = CQ. 3 t 2t ,解得：t 1 ；Q在AB边且未到B点时，即3s t 2s 时,2t 439 .17a) CQ = PQ,作1QH PC,2b)