专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

1、第三讲含绝对值不等式与一元二次不等式、知识点回顾 1、绝对值的意义：(其几何意义是数轴的点 A (a)离开原点的距离OA a)a, a 0a 0, a 0a, a 02、含有绝对值不等式的解法：(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号)(1)定义法；(2)零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式;(3)平方法：通常适用于两端均为非负实数时(比如 f x g x );(4)图象法或数形结合法；(5)不等式同解变形原理：即x a a 0 a xax b c c 0 c f x g x g xa f x b b a 0a x a a 0ax b c ax bf xg x f x

2、a f x b 或 bx a或 xac c 0 ax b cm£ ax g x f x g x 或 f x f x a3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。(见P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。6、解一元二次不等式的步骤：(1)将不等式化为标准形式ax2 bx c 0 0或ax2 bx c 0 0解方程ax2 bx c 0据二次函数y ax2 bx c的图象写出二次不等式的解集。基本解法与思想解含绝对值的不等式的基

3、本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为 不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。(一)、公式法：即利用a的解集求解主要知识：是指数轴上X1 ,X21、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离;两点间的距离.02、x a与x a型的不等式的解法。当a 0时，不等式x 的解集是xx a,或x a 不等式x a的解集是x a x a ；当a 0时，不等式x a的解集是xx R不等式|x a的解集是 ；3. ax b c与ax b c型的不等式的解法。把ax b看作一个整体时，可化为x a与x a型的不等式来求解。当c 0时，不等式ax b c的解集是xax

4、b c,或ax b c不等式ax b c的解集是x c ax b c ；当c 0时，不等式ax b c的解集是xx R不等式a bx c的解集是；例1解不等式x 2 3分析：这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x 2看着一个整体。答案为 x 1 x 5。(解略)(3)2x35(2) x2 9 x 3解：原不等式等价于2 3x 0,所以不等式解集为 xx -3,一x2 9 0x2 9 0解：(1)法一：原不等式2x 9 0或 x 2 9 0x 9 x 39 x x 3由解得x 3或3 x 4 ,由解得2x3原不等式的解集是 x2 x 4或x3法二：原等式等价于(x

5、3) x2 9 x 3x 城x 23x4x M 2 x 4原不等式的解集是 x2 x 4或x3法三：设yi x2 9 ,y2 x 3( x3),由x2 9 x 3解得非曲直yiy的x的范围是xi4,x23,x3 2 ,在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使评析：数形结合策略运用要解出两函数图象的交点(二)、定义法：即利用忖例2。解不等式a(a 0),0(a 0),去掉绝对值再解。a(a 0).分析：由绝对值的意义知，a aa> 0, a a a00。解：原不等式等价于 上0 x 2x(x+2) <0-2 <x< Qo练习：2 3x 2 3x解：原不等式等价于2 3x0,

6、所以不等式解集为 xx(三)、平方法：解f(x) |g(x)型不等式。例3、解不等式|x 1 2x 3。解：原不等式(x 1)2 (2x 3)2(2x 3)2 (x 1)2 04 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<04x2。说明：求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例4解不等式|x 1 x 2 5。分析：由x 11 0"x 2 0,得x 1和x 2。2和1把实数集合分成三个区间,即x 2,2 x 1, x 1,按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解：当x<-2时，得

7、x 2(x 1)(x 2) 5解得：3x2当-20x01时，得2x1, (x 1) (x 2) 5解得：2 x 1,一 x 1一一当x 1时，得x I,解得：1 x 2(x 1) (x 2) 5.综上，原不等式的解集为 x 3 x 2说明：(1)原不等式的解集应为各种情况的并集(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意 边界值。k恒成立，则实数k的取值范围为()三、几何法：即转化为几何知识求解。例5对任何实数x ,若不等式|x 1 |x(A)k<3(B)k<-3(C)k <3(D) k<-3分析：设y x 1 x 2 ,则原式对任意

8、实数x包成立的充要条件是kymin ,于是题转化为求y的最小值解：|x 1、x 2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离|x 1-x 2的几何意义 为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3,故选(B)。(3)分析：关键是去掉绝对值方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)当 x1时，x30,x1 0(x3) (x 1)1.4<1x当1 x 3时1 ，1、 (x 3) (x 1) 1 x x|- x 3 22当x 3时(x 3) (x 1) 1-4<1 x R .,.x|x 31综上，原不等式的解集为x|x -2也可以这样写:_ x1_D x1或(x 3) (

9、x 1) 1解：原不等式等价于1 x 3或；x3) (x 1) 1，解的解集为小，的解集为(x 3) (x 1) 1x| - <x<3,的解集为x|x 3, 2.原不等式的解集为x|x> -2方法2:数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的占八、.原不等式的解集为x|x> -2变式：(1)若x 1 a包成立，求实数a的取值范围解：由几何意义可知,x 1的最小值为1,所以实数a的取值范围为,1M,使它到A B、C(2)数轴上有三个点A、B、C,坐标分别为-1 , 2, 5,在数轴上找一点 三点的距离之和最小

10、 解：设 M (x, 0) 则它到A、B、C三点的距离之和f x x 1 x 2 x 53x 6, x 5x 4, 2 x 5x 8, 1 x 23x 6, x 1由图象可得：当x2日f x min 6四、典型题型-2- 一1、解关于x的不等式x 3x 8 10解：原不等式等价于 10 x2 3x 8 10,即 x2 3x 810 x1或x2x2 3x 8 106 x3原不等式的解集为(6, 2) (1,3) 一一 12、解关于x的不等式一1一 23x257一x 一442x 32x 3 0解：原不等式等价于 。0 12x 3 -23、解关于x的不等式2x 1 x 2解：原不等式可化为(2x 1

11、)2 (x 2)2. (2x 1)2 (x 2)2 0即(x 3)(3x 1) 01解得：-x 331原不等式的解集为(1,3)34、解关于x的不等式2x 1 2m 1 (m R)1解： 当2m 1 0时，即m 二 因2x 1 0,故原不等式的解集是空 2集。1 当2m 1 0时，即m二原不等式等价于2(2m 1) 2x 1 2m 1解得：1 m x m综上，当m 1时，原不等式解集为空集；当m 1时，不等式解集为 22x1mxm5、解关于x的不等式2x1 x x 3 13)1,无解解：当x 3时，得x 3,1 一当3 x鼻，得'(2x 1) x (x，解得：3 x -2(2x 1)

12、x x 3 11v .一 1当x 一时，得 2，角牛华：x 2222x 1 x x 3 12综上所述，原不等式的解集为（3,1）426、解关于x的不等式x 1 x 2 5（答案：（，3 2,）解：五、巩固练习1、设函数 f（x） |2x 1 x 3,则£（ 2）=; 若 f （x）是.2、已知a R ,若关于x的方程x2 x a 1 |a 0有实根，则 4是.x 13、不等式J- 1的实数解为.x 214、解下列不等式 4x 3 2x 1； |x 21 | x 1|； |2x 1| 4 |2x 3| 7 ； |x 1 4 2; x25、若不等式ax 2 6的解集为 1,2 ,则实数a

13、等于（A. 8 B. 2 C. 4 D. 82 ,则x的取值范围a的取值范围|x 2| 4；a a (a R)6、若x R,则1 x 1 x 0的解集是（）A. x0 x 1 B.xx 0 且 x 1 C. x1 D.xx 1且 x 17、 1对任意实数x, |x 1| |x 2| a恒成立，则a的取值范围2对任意实数x, |x 1| |x 3| a恒成立，则a的取值范围3若关于x的不等式|x 4| |x 3| a的解集不是空集，则a的取值范围8、不等式x2103x的解集为（A. x|2 x,10B.x| 2 x 5C. x| 2 x 5 D. x|/10x 59、解不等式:10、方程x2 3

14、x23x的解集为的解集12、不等式x （12x)0的解集是A（,2）11、不等式3 51B.(,0) (0,-)c.(2,D. (0,g)2x9的解集是A. , 2 U 7,12、已知不等式x 2B. 1,4a (a 0)的解集为C.13、解关于x的不等式：解关于x的不等式14、1| 3的解集为（15、A. (0,2)设集合AB. ( 2,0) U (2,4)2,1 U 4,7R| 1mx 1C.(yyD. 2,1 U 4,72c的值A. R16、不等式2xB.1 xx x R, x 01的解集是_C.17、设全集UR,解关于x的不等式:3；2x 31 a (a R)4,0) x2, 1D. ( 4, x 2 ,2) U (0,2)则CR AI B等于D.（参考答案）1、_62、0,43、(, 2) ( 2, 3)2,、1(2) XX -21一 一4、(1) xx -或x 2313, XX 一或X 1 21,、7 X 2 X 一或一X 52 2 X 5 X1或3 X 7当a 0时，x V2ax V2a ；当a 0时，不等式的解集为5、C6、D8、C9、 XXXX 减 X 011、D1213、当m 0时，x7、a