上海市虹口区2020年高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、上海市虹口区2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）、填空题（本大题满分 56分）本大题共14小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得4分，否则一律不得分.1 .设集合 M=x|x2=x, N= x| log2xw 0,则 M U N= 2,已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0 （a, be R）的一个根，则 a+b=3.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4 .已知复数z在复平面内对应的点在曲线ye上运动，则| z|的最小值为5 .已知函数f （x）的对应关系如表:f (x)若函

2、数f （x）不存在反函数，则实数m的取值集合为6.在正项等比数列an中，aa3=1,a2+a4=，则点服(ai+a2+-+3n)=7,已知 f (x) =2sin wx ( w>0)在0,兀F-单调递增，则实数 3的最大值为8.若行列式中的元素4的代数余子式的值等于,则实数x的取值集合9.二项式（2x-n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和10.已知A, B是球。的球面上两点，/ AOB=90 °, C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC体积的最大值为323,则球O的表面积为L+12.若经过抛物线 y2=4x焦点的直线l与圆（x- 4） 2+y2=4相切，

3、则直线l的方程线，与其交于点 C,若AB / OC （O为坐标原点），则直线 AB的斜率为11 .如图，A, B为椭圆（a>b>0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F作x轴的垂为.13 .假设某10张奖券中有一等奖1张奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值 50 元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取 2张，获得奖品的总价值 E不少于其数 学期望E E的概率为.14 .已知对任意的 xe （- 8, 0） U （0,+8）,ye - 1, 1,不等式 X2号-2xy 却_-a>0恒成立，则实数a的取值范围为 .、选择题（本大题满分 20分）本大题共4小题，每小题有且

4、只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得 5分，否则一律得0分.15, a=3 是直线（a2 - 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知抛物线 C1： y2=4x的焦点F恰好是椭圆（a>b>0）的右焦点，且两条曲线C1与C2交点的连线过点F,则椭圆C2的长轴长等于（）A. 2 + 1 B. 2 C, 2/2+2D. 4a. + h -J17.在4ABC中，a, b, c分别是内角 A, B, C的对边，若 Saabc=二 （其中S/ABC

5、表示ABC的面积），且（竺 +TT）BC=0,则 ABC的形状是（） -A.有一个角是30。的等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形18.已知点列An(an,bn)(nCN*)均为函数y=ax(a>0,aw1)的图象上，点列Bn (n,0)满足| AnBn| =| AnBn+1| ,若数列 bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为(A.C.(,+°°) B.(,+°°)D.(联一12斤1-21) U 11,-)1) u(1,丹匕三、解答题(本大题共5小题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤

6、19.在锐角 ABC中,sinA=sin 2B+sin (+B) sin (-(1)求角A的值;(2)若配，短二12,求 ABC的面积.20.如图，在四棱锥P - ABCD中，已知PA，平面ABCD ,且四边形 ABCD为直角梯形,/ ABC= / BAD=90AB=AD=AP=2 , BC=1 .(1)求点A到平面PCD的距离;BP的中点，求直线 CQ与平面ADQ所成角的大小.(2)若点Q为线段21.已知函数f (x) =logL1)满足f ( - 2) =1,其中a为实常数.(1)求a的值，并判定函数f (x)的奇偶性;(2)若不等式f (x) > () x+t在xC 2, 3上恒成

7、立，求实数t的取值范围.22.已知直线y=2x是双曲线C： =1的一条渐近线，点A (1, 0) , M (m, n)(nw0)都在双曲线 C上，直线AM与y轴相交于点P,设坐标原点为 O.(1)求双曲线C的方程，并求出点 P的坐标(用 m, n表示)；(2)设点M关于y轴的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问：在x轴上是否存在 定点T,使得TPXTQ?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若过点D (0, 2)的直线l与双曲线C交于R, S两点，且|而丽|二|运| ,试求直 线l的方程.23.设数列an的前 n 项和为 Sn,且(Sn-1) 2=anSn (nC N*).

8、(1)求出&, S2, S3的值，并求出Sn及数列an的通项公式； 设 bn= (- 1) n+1 (an+an+1)(nCN*),求数列bn的前 n 项和 Tn；(3)设cn= (n+1) an (nC N*),在数列Cn中取出m (mC N*且m> 3)项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列 dn,若对任意的数列dn,均有d1+d2+dnWM,试求M 的最小值.2020年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分 56分)本大题共14小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得4分，否则一律不得分.1 .设集合 M=

9、x|x2=x, N=x| log2xw 0,则 M U N= 0,1.【分析】求出M中方程的解确定出 M,求出N中不等式的解集确定出N,找出两集合的并集即可.【解答】 解：由M中方程变形得：x (x-1) =0,解得：x=0 或 x=1 ,即 M=0, 1,由N中不等式变形得：10g2xW0=log21,即0<x< 1 ,N= (0, 1,则 M UN=0, 1,故答案为：0, 1【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.2,已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0 (a, be R)的一个根，则 a+b= 3 .【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+

10、b=0的两个虚数根互为共轲复数，再利用根与系数的关系，即可求出 a、b的值.【解答】 解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，.共轲虚数1-2i也是此方程的一个根，1. a= - (x1+x2) = (1+2i+1 2i) = 2;b=x1x2= (1+2i) (1-2i) =5； a+b= - 2+5=3.故答案为：3.【点评】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轲复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题.3 .在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125 (结果用数值表示)【分析】根据题意，运用排除法分析，先在

11、9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案.【解答】解：根据题意，报名的 5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有 C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126- 1=125种；故答案为：125.【点评】 本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法(间接法)，可以避免分类讨论，简化计算.24 .已知复数z在复平面内对应的点在曲线 y=二上运动，则|z|的最小值为 2 .【分析】设z=xi (xe R, XW0),利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出. ¥

12、;【解答】解：设z=x+i (xCR, xw0),则|z| =Ji£ +-y >J2X L2 -y=2,当且仅当x=±，2时取等号，故答案为：2.【点评】本题考查了复数的模的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5 .已知函数f (x)的对应关系如表：x-2-1012f (x)3- 215m若函数f (x)不存在反函数，则实数 m的取值集合为 2, 1, 3, 5.【分析】由已知可得：f (- 2)=3, f (-1)=- 2, f(0)=1 , f (1)=5,f(2)=m,利用反函数的定义及其性质即可得出.【解答】解：由已知可得：f (

13、 2) =3, f ( 1) = 2, f (0) =1, f (1) =5, f (2) =m,函数f (x)不存在反函数，则m的值只可以为：-2, 1, 3, 5,否则存在反函数.实数m的取值集合为-2, 1, 3, 5.故答案为：-2, 1, 3, 5.【点评】 本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.在正项等比数列an中，aia3=1,【分析】由题中的条件求出q=Y3,3m+如瑞，则黑 (ai+a2+-+an)ai=/3,利用等比数列的前 n项和公式求出ai+a2+-+an的值，再利用数列极限的运算法则求出结果.4八 4【解答】解：由aia3=1即a2=1 ,

14、耳之十社4招得(1十口 )不解得q=#k a1=V3,(数列是正项数列)(a1+a2+-+an)故答案为:limL 8【点评】本题考查数列极限的运算法则，等比数列的前n项和公式求出出是解题的关键，是中档题.兀37.已知f (x) =2sin cox(3>0)在0,一丁单调递增，则实数 的最大值为7C 冗I【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得or,由此求得实数3的最大值.JU I兀兀|【解答】 解：f (x) =2sin wx ( w> 0)在0, y单调递增，or<,JJ占33|求得«<,则实数3的最大值为'，3故答案为：三.【点评】本题主要考查正弦

15、函数的增区间，属于基础题.8.若行列式2 4,则实数x的取值集合2 0中的元素4的代数余子式的值等于1 6为& | 工二±qT2k冗* k E Zi_.【解答】解：由题意得，f (x)=cos(+x)【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利 用余弦函数的性质求出实数 X的取值集合.3=cos ( Ti+x) x 1 2 X ( 1) = - cosx+2=解得cosx=JT,则炉土2k兀，kEZ,所以实数X的取值集合是 仅k二士？冗，k£3 故答案为：x I工二±f"+2kn,k E Z.9.二项式(2x

16、-【点评】 本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题.n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为4Tl64 2n 4xn 6,令n-6=0,解得n.再利用展开式中各项的二项式系数之和为 2n,即可得出.【解答】解：T5=：2n 4xn 6,令 n- 6=0 ,解得 n=6 .展开式中各项的二项式系数之和为26=64.故答案为：64.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10 .已知A, B是球。的球面上两点，/ AOB=90 °, C为该球面上的动点，若三棱锥O-32ABC体积的最大值为 x ,则球O的表面

17、积为 64 n L【分析】当点C位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O-ABC的体积最大，利用三32棱车B O-ABC体积的最大值为食,求出半径，即可求出球 。的表面积.【解答】 解：如图所示，当点 C位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O-ABC的体I 15积最大，设球。的半径为R,此时Vo abc=Vc - aob=XXR XR故R=4,则球O的表面积为4 tiR2=64 为故答案为：64兀.CC位于垂直于面AOB的直【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点径端点时，三棱锥 O-ABC的体积最大是关键.11 .如图，A,B为椭圆秀"0）的点，过椭圆的右

18、焦点F作x轴的垂 线，与其交于点 C,若AB / OC （O为坐标原点），则直线 AB的斜率为_出一.【分析】由已知得C （C,),A ( - a, 0) , B (0, b),从而得到 bb2,即 b=c,由此能求出直线AB的斜率.【解答】解：: A, B为椭圆丹+a=1 （a>b>0）的两个顶点,过椭圆的右焦点(a, 0) , B (0, b),2, b=c,b故答案为:直线AB的斜率k= aF作x轴的垂线，与其交于点 C, AB / OC （O为坐标原点），【点评】本题考查直线方程的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意椭圆性质的 合理运用.12 .若经过抛物线 y2

19、=4x焦点的直线l与圆（x- 4） 2+y2=4相切，则直线l的方程为 y=i（x- 1）_.【分析】 求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k.【解答】解：抛物线的焦点为F (1, 0),设直线 l 的方程为 y=k (x-1),即 kx y k=0 ,直线l与圆（x-4） 2+y2=4相切,|4k - k|，而解得k=±，直线l的方程为：y=±JE故答案为:y= 土 (x 1)【点评】 本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题.13.假设某10张奖券中有一等奖1张奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值 50元；其余6张没有

20、奖.现从这10张奖券中任意抽取 2张，获得奖品的总价值E不少于其数学期望EE的概率为23-【分析】根据题意可得：E的所有可能值为：0, 50, 100, 150,（元），再根据古典概型的概率公式分别求出其概率，进而列出E的分布列与其期望，即可求出获得奖品的总价值不少于其数学期望 E E的概率.【解答】解：根据题意可得:E的所有可能值为:50, 100, 150,(元)所以P ( =0)=（=5。）(=100)=，P ( =150)115所以E的分布列为:所以E的数学期望为:50100150IEe=0Xy+50X+ 100X+150 X15115=50,获得奖品的总价值E不少于其数学期望 EE的

21、为1-故答案为:【点评】本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望,及利用概率知识解决问题的能力.214.已知对任意的 xC ( 8, 0)u (0,+8) ,yC 1, 1,不等式 x22xy 一162-a>0恒成立，则实数a的取值范围为_（一8，8 - V21_.【分析】设y=cos。，俵。，可.可得：xy产2 16cos（ （+（），可得 aw 冥 +亍,令t二,即可得出.【解答】 解：设y=cos 0,0,兀. xy=xcost>2V2, ' a w t2 2t= （t-1） 21, .aW8 - 4.J .实数a的取值范围为（-8, 8-4&

22、.故答案为：|（-8, *-46.【点评】本题考查了三角函数换元方法、三角函数的单调性、基本不等式的性质、二次函数 的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、选择题（本大题满分 20分）本大题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得 5分，否则一律得0分.15. a=3 是直线（a- 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断看=3"?直线（a2 -

23、2a） x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断 直线（a2 - 2a） x+y=0 和直线3x+y+1=0互相平行"？ a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论.【解答】 解：当a=3”时，直线（a2 - 2a） x+y=0的方程可化为3x+y=0,此时直线（a2 - a） x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即a=3"? 直线（a2-2a） x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当 直线（a2 - 2a） x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a22a 3=0,即a=3或a= - 1,此时a=3"不一定成立

24、，即直线（a2-2a） x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行"？看二3”为假命题；故a=3”是 直线（a2 - 2a） x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件【点评】判断充要条件的方法是：若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题 p是命题q的充分不必要条件； 若p? q为假命题且q? p为真命题，则命题 p是命题q的必要不 充分条件；若p? q为真命题且q? p为真命题，则命题 p是命题q的充要条件；若p ? q为假命题且q? p为假命题，则命题 p是命题q的即不充分也不必要条件. 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据 谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命

25、题 p与命题q 的关系2216.已知抛物线Ci: y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： ±了 +=1 (a> b>0)的右焦点，且8两条曲线Ci与C2交点的连线过点F,则椭圆C2的长轴长等于()出椭圆C2的长轴长.A.血 + 1 B. 2C. 2y1+2 D. 4(a>b>0)的右焦点F (1, 0),9一二2 ,由此能求 a【解答】解：二.抛物线Ci：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2：+ +彳=1(a>b>0)的右焦八、522，椭圆 C2： + 彳=1(a>b>°)的右焦点 F(1, 0),.两条曲线C1与C2交点的连线过点

26、F (1, 0),1 2.工二2, c=1， a又 a2=b2+c2,，a=/+l,，椭圆C2的长轴长2a=2近+ 2.故选：C.【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆 的性质的合理运用.17.在4ABC中，a, b, c分别是内角A, B, C的对边，若Saabc +b - （其中 4 II.SzABC表示AABC的面积），且（ 竺+处）花=0,则4ABC的形状是（）IAB | |AC!A.有一个角是30。的等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形一同 - AC【分析】可作AD二行叶，AE二-7二一，从而可作出平行四边形 ADFE ,

27、并且该四边形为菱|AB| |AC|-a?形，且有AF二胃叶:丁三一，根据条件即可得出 AFXBC,进而便可得出 AB=AC ,即b=c, |ab| ac|【解答】解：如图，在边AB, AC上分别取点DAE为邻边作平行四边形 ADFE ,则：四边形ADFE为菱形，连接 AF, DE, AF ± DE|AB | |AC|.哥=d；.-.AFXBC；又 DE±AF；DE / BC,且 AD=AE ;AB=AC ,即 b=c；延长AF交BC的中点于O,则：SAAEC=J*AiR-AjP),E,使 AD 二不，AE-T，以 AD, |AB|AC|，且心昌Tt； |ab| 1 AC 1

28、1 2 a2 ”十1 h卡、4，b=c；工/-亘二:型，进一步即可得到 a2=2c2=b2+c2,这样便可得出 ABC的形状.2 V 44这样即可求得S皿=1/心2-9，而根据条件可得从而有4c2- a2=a2；a2=2c2=b2+c2；BAC=90 °,且 b=c；.ABC的形状为等腰直角三角形.故选：D.【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线互相垂直，以及向量垂直的充要条件，等腰三角形的高线也是中线，以及三角形的面积公式， 直角三角形边的关系.18.已知点列An (an, bn) (nCN*)均为函数y=ax (a>0, aw 1)的图象上，

29、点列 Bn (n,0)满足| AnBn| =| AnBn+l| ,若数列 bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为(A. ( 0)All)2 ),+°°) B.(1) U (1,友+12C. ( 0【分析】根据题意，得出an、bn的解析式，讨论a> 1和0vav 1时，满足的条件，从而求出a的取值范围.【解答】解：由题意得，点 Bn (n, 0) , An (an, bn)满足| AnBn| =| AnBn+1| ,一 1由中点坐标公式，可得 BnBn+1的中点为(n+-即 an=n+'y, bn=当a> 1时，以bn-1, bn, bn+

30、1为边长能构成一个三角形,即bn只需 bn 1 + bn+1 >bn,即有 1+a2va,解得1vav上詈;同理,0 V a< 1时，解得近一-2综上,a的取值范围是1vav故选:B.【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题, 考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目.三、解答题（本大题共 5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤+B) sin (-19.在锐角 ABC 中，sinA=sin 2B+sin (（1）求角A的值;（2）若标立二12,求 ABC的面积.【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出,

31、n 、 兀 二二 L 2si 门在)，从而可由 sinA=si n2B+ sin) sin (-尸*廿*1“ 一 B）得出KnA二亍，这样即可得到A二兀（2）可由函+京=12及便可得出11屈11M I的值,这样根据三角形的面积公式即可求出 ABC的面积.2, it 、，,/【解答】解：（1）在 ABC 中，sink-si n B+sin t一-B)sin2%-sin年)=-i -： r ，:一 ：r -1=- T又A为锐角;(2)可 一二讦 | 二COS-二二 12;0. m；%x4-|AB|AC|sin=y X 加-【点评】考查两角和差的正弦公式，sin2x+cos2x=1 ,已知三角函数值

32、求角，以及向量数量积 的计算公式，三角形的面积公式：S=yabsinC20.如图，在四棱锥 P-ABCD中，已知PA，平面ABCD ,且四边形 ABCD为直角梯形, / ABC= / BAD=90 °, AB=AD=AP=2 , BC=1 .(1)求点A到平面PCD的距离；(2)若点Q为线段BP的中点，求直线 CQ与平面ADQ所成角的大小.【分析】(1)以A为原点，以AB , AD , AP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量三，计AP与平面PCD所成的角的正弦值，即可得出 A到平面PCD的距离；(2)证明BPL平面ADQ,则而为平面ADQ的一个法向量，计算| cos遂

33、，而 |即为直线CQ与平面ADQ所成角的正弦值.【解答】 解：(1)以A为原点，以AB, AD , AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示:则 A (0, 0, 0) , P (0, 0, 2) , C (2, 1, 0) , D (0, 2, 0)回=(0, 0, 2),同=(-2, 1,0) , PI)=(0，2,2)设平面PCD的法向量为二二（x, y, z）,则门FD=0的一 2广0，令 z=1 得口=（亍，1 , 1）.APn=2, cosAP, n>=,|AP| |n|设AP与平面PCD所成角为 仇则sin。.A到平面PCD的距离为|AP| sin 9=2 X(2)PA=A

34、B , Q 是 PB 的中点,AQXPB,又AD，平面 PAB , PB?平面PAB ,AD ±PB,又 AQ?平面 ADQ , AD?平面 ADQ , AQ AAD=A , .PB,平面 ADQ ,BP=（-2, 0, 2）为平面 ADQ的一个法向量.又 Q (1, 0, 1) , C (2, 1, 0) , 奇(-1, - 1, 1)Vs直线CQ与平面ADQ所成角为arcsi吟，【点评】本题考查了空间向量的应用，空间距离与空间角的计算,多采用向量法来解决问题,属于中档题.11 - ax21.已知函数f (x) =log i 有一)满足f ( - 2) =1,其中a为实常数.(1)

35、求a的值，并判定函数f (x)的奇偶性；(2)若不等式f (x) > () x+t在xC 2, 3上恒成立，求实数t的取值范围.【分析】(1)根据f ( - 2) =1,构造方程，可得 a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f (x)的奇偶性;(2)若不等式f (x)> ()x+t在xC 2, 3上恒成立,X - 1则 tv log ,L3x在xC2, 3上恒成立，构造函数求出最值，可得答案.【解答】解：(1) .函数f (x) =log _L (31 - EK满足 f ( - 2) =1K - 1故函数f (x)为奇函数;log当( 3°°, -1) U (1,

36、 +8)关于原点对称;K - 1及+1)=-log J_ (31+k(2)若不等式f (x) > (上)x+t在xC 2, 3上恒成立,tv log _L ()-(y) x在xC 2, 3上恒成立,g (x)=log Jj (3告)X - 1g (x)在2, 3上是增函数.g (x)> t对x 2, 3恒成立,.t<g (2)=-【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，单调性的证明以及不等式恒成立问题，构造函数,利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法.22.已知直线y=2x是双曲线C： Ar-7=1 的一条渐近线，点 A (1, 0) , M (m, n)(nw0)都在双

37、曲线 C上，直线AM与y轴相交于点P,设坐标原点为 O.(1)求双曲线C的方程，并求出点 P的坐标(用 m, n表示)；(2)设点M关于y轴的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问：在x轴上是否存在定点T,使得TPXTQ?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若过点D (0, 2)的直线l与双曲线C交于R, S两点，且|际疾|二|冠| ,试求直线l的方程.【分析】(1)求得双曲线的渐近线方程，可得 b=2a,由题意可得a=1, b=2,可得双曲线的方程，求出直线 AM的方程，可令x=0,求得P的坐标;(2)求得对称点 N的坐标，直线 AN方程，令x=0,可得N的坐标，假设存在

38、 T,运用两直线垂直的条件：斜率之积为- 1,结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T;(3)设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR, OS的数量积为0,化简整理，解方程可得 k的值，检验判别式大于 0成立，进而得到直线l的方程.【解答】解：(1)双曲线c：3.于=1的渐近线为 y=±由题意可得 一=2, a=1,可得b=2 a2即有双曲线的方程为-勺二1,又AM的方程为y=T (x - 1),m 1令 x=0,可得 P (0,);1 -皿(2)点M关于y轴的对称点为 N ( - m, n),直线AN的方程为y=令x=0,可得Q （0,

39、1二），1+m假设x轴存在点T （t, 0）,使得TPXTQ.可得t2=m2二1,由（m, n）满足双曲线的方程，可得即有=4,可得t2=4,解得t=±2, 故存在点T （±2, 0）,使得TPXTQ;(3)可设过点 D (0, 2)的直线l: y=kx+2, 代入双曲线的方程可得(4- k2) x2-4kx- 8=0 , 即有 =16k2+32 (4k2) >0,即 k2<8,设 R (xi, yi) , S (x2, y2),4k8可彳导 X1+X2=” 卜?，xix2二-g - M，由|加+示|二|西|二|而-屈| ,两边平方可得OSOR=0, 即有 xix2+yiy2=0,即 xix2+ (kx1+2) ( kx2+2) = (1+k2) xix2+2k