2020年中考一模考试《数学试卷》含答案解析

1、中考数学模拟测试卷.选择题（每题2分，满分20分）1. 2的相反数是（）A. 2B. 21C.一2D.2.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，从左面看到的该几何体的形状为（正面B. 0.77X 10 6 mC. 7.7X 10 5 m4.下列计算中正确的是()A. b3?S=b6B. x3+x3=x6D. 7.7 X 10 6 mC. a2 %2 = 0D. ( a3) 2= a63.人体中红细胞的直径约为0.0000077 m,用科学记数法表示数的结果是（A. 0.77 X 10 5 m5 .已知关于x的一元二次方程x2-m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. m&g

2、t; 0B. m> - 1C. m< 0D. m< - 16 .已知一组数据2, 3, 4, x, 1, 4, 3有唯一的众数4,则这组数据的中位数是 （）A. 2B. 3C. 4D. 57 .从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“ K”的概率相同的是（）A抽到“大王”B.抽到“ 2"C.抽到“小王”D.抽到“红桃”8 .正六边形的周长为 12,则它的面积为（）A ,.3B. 3.3C. 43D. 6,39 .如图，AC=AD,BC = BD ,则有(A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分/ ACB10.二

3、次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图象如图所示，c< - 1,其对称轴为直线x= - 1,与x轴的交点为（xi,0）、（x2, 0）,其中 0vxi<1,有下列结论：abc>0；3vx2< 2；4a 2b+cv 1；a b>am2+bm（mw- 1）；其中，正确的结论个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二.填空题（满分18分，每小题3分）11 .分解因式 6xy2 9x2y- y3 =.m 4 .12 .已知反比例函数y=在每个象限内y随x增大而减小，则 m的取值范围是 .xx a 113若不等式组的解集是一1vxW1,则a=, b=.bx 3

4、 014 .如图，四边形 ABCD 内接于。O, OC/AD, /DAB=60； /ADC=106° ,则/ OCB= 122515 .一男生推铅球，铅球行进高度 y与水平距离x之间的关系是y x -x -，则铅球推出的距离1233是:此时铅球行进高度是 16 .如图，矩形 ABCD中，AD = 4, AB=2.点E是AB 中点，点F是BC边上的任意一点(不与 B、C重合)， EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为 1 (5)°解答题17 .计算：|1 2cos30 | <12 (-)18 .如图，YABCD中，点E是BC

5、边的一点，延长 AD至点F,求证：四边形 DECF是平行四边形.B ED19.中雅培粹学校举办运动会,抽取了部分同学进行统计：全校有3000名同学报名参加校运会完整的统计图(1)这次统计共抽取了 位同学，扇形统计图中的 mA.田径类，B.球类，C.团体类，D.其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不的度数是(2)请将条形统计图补充完整;(3)估计全校共多少学生参加了球类运动 20.一个不透明的袋子中装有 3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球.(1)采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果;(2)求摸出 两个小球号码之和等于 4的概

6、率.21 .吉祥超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋.甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表.已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同.甲乙进价(元/袋)mm- 2售价(元/袋)2013(1)求m的值；(2)假如购进 甲、乙两种绿色袋装食品全部卖出，所获总利润不少于5200元，且不超过5280元，问该超市有几种进货方案？(利润=售价-进价)22 .如图，O。是那BC的外接圆，AB为直径，/ BAC的平分线交。于点D,过点D作DELAC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点 F.(1)求证：EF是。的切线(2)若 AC = 8, CE = 4

7、A23.在平面直角坐标系中,(1)求点A、B的坐标;(2)若 OP=PA,求 k的(3)在(2)的条件下,白y=-.x+：4 I式线段BP上一点，别于A、D,若B两点，交直线y=kx于P.CD=2ED,求C点的坐标.24 .如图将正方形 ABCD绕点A顺时针旋转角度 a (0。V “V 90。)得到正方形 AB ' C' D'(1)如图1, B，U与AC交于点M, C' D，与AD所在直线交于点 N,若MN /B' D',求%(2)如图2, C' B'与CD交于点Q,延长C' B'与BC交于点P,当 口 30。时.

8、求/ DAQ的度数；若AB=6,求PQ的长度.25.如图，抛物线y=ax2+bx (a>0)过点E (8, 0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧)，点C、D在抛物线上，/ BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点，已知 OA = 2,且OA ：AD = 1 ： 3.(1)求抛物线的解析式；(2) F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接 M、N、G、F构成四边形 MNGF ,求四边形 MNGF周长 的最小值；(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使 ODP中OD边上的高为6叵?若存在，求出点 P的坐5标；若不存在，请说明理由；K、L,且直线KL(4)矩形A

9、BCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离答案与解析.选择题（每题2分，满分20分）1. 2的相反数是（）A. 2B. 21C.一21D.2【解析】 【分析】 根据相反数的性质可得结果 【详解】因为-2+2=0,所以-2的相反数是2, 故选B.【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键2.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，从左面看到的该几何体的形状为（根据题意，从左面看到的该几何体的形状实际就是该几何体的左视图，进而观察几何体得出左视图即可【详解】从左面看，看到的是两列，第一列是三层，第二列是一层,【点睛】本题主

10、要考查了三视图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键B. 0.77 X 10 6 m3.人体中红细胞的直径约为0.0000077 m,用科学记数法表示数的结果是（）A. 0.77 X 10 5 mC. 7.7 X 10 5 m【答案】 D【解析】解：0.0000077 m= 7.7 M0 6m,故选 D.4. 下列计算中正确的是( )A. b3?=b6B. x3+x3=x6【答案】 D【解析】【分析】分别根据同底数幂乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可D. 7.7 X 10 6 mC. a2%2 = 0D. (- a3)2=a6同底数哥的除法法则以及积的乘

11、方运算法则逐一判断【详解】解：b3?b2=b5,故选项A不合题意;x3+x3=2x3,故选项B不合题意； a2%2 = 1,故选项C不合题意；故选： D 6 乙乙解题的关键【点睛】本题考查同底数哥的乘,哥的乘方乘方夕合并同类项的法熟记相关运算法则是5.已知关于x的一元二次方程IILjxljB扁的昂则m 又值范围是(B. .> - 1. C. m< D. m< - 1A. m>0I根据一元二次方程的根的判别式即可得x2 2x m 0.方程有两个不相等的实数根2( 2)2 4( m) 0m1【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式是解题关键.6 .已知一组

12、数据2, 3, 4, x, 1, 4, 3有唯一的众数4,则这组数据的中位数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据题意由有唯一的众数 4,可知x=4,然后根据中位数的定义求解即可.【详解】这组数据有唯一的众数4,/.x=4,;将数据从小到大排列为：1, 2, 3, 3, 4, 4, 4,，中位数为：3.故选B.【点睛】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键.众数是一组数据中出现次数最多的那个数.当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数7 .从一副完整的扑克

13、牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“ K”的概率相同的是（）A.抽到“大王”B.抽到“ 2"C.抽到“小王”D.抽到“红桃”【答案】B利用概率公式分别求出抽到“ K”的概率以及四个选项中每个事件的概率，再比较即可.4,，一， . 41【详解】解：从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“ K”的概率为 54 27A.从一副完整的扑克牌中任意抽取B.从一副完整的扑克牌中任意抽取C.从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到1张，抽到1张，抽到1“大王”的概率为 一;54“ 2”的概率为;54 271“小王"的概率为 ；54D.从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“红桃”的概率为13

14、54【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.8.正六边形的周长为12,则它的面积为（）A. 3B. 3 3C. 4.3D. 6 3首先根据题意画出图形，即可得OBC是等边三角形，又由正六边形 ABCDEF 周长为12,即可求得BC的长，继而求得 OBC的面积，则可求得该六边形的面积.【详解】解：如图，连接 OB, OC,过O作OM，BC于M,1BOC= - X 360 ° =60 , . OB=OC ,OBC是等边三角形， 正六边形 ABCDEF的周长为12,.BC=12 +6=2,.OB=BC=2 , BM= 1BC=1 2， OM=

15、032BM2 =73,.Saobc= 1X BCx 0M= 1 X2X 73=73 22'该六边形的面积为：73 x 6=6 73 .【点睛】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.9.如图，AC=AD,BC = BD ,则有(A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分AB【分析】D. CD 平分/ ACBC. AB与CD互相垂直平分【解析】【分析】由AC = AD , BC = BD,可得点A在CD的垂直平分线上，点 B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条 直线，可得AB是CD的垂直平分线.【详解】解：= AC=AD, BC=

16、BD,点A在CD的垂直平分线上，点 B在CD的垂直平分线上，.AB是CD的垂直平分线.即AB垂直平分CD .故选A .【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.10.二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象如图所示，c< - 1,其对称轴为直线 x= - 1,与x轴的交点为(xi, 0）、（x2, 0）,其中 0vxi1,有下列结论：abc>0;3vx2< 2;4a 2b+cv 1;a b>am2+bmA. 1个(mw- 1)；其中，正确的结论个数是(B. 2个C. 3个D. 4个根据二次函数的图象与性质逐个判断即可.【详解

17、】Q抛物线开口向上a 0Q对称轴为x 12aa、b同号，则b 0Qc 1abc 0,则错误Q对称轴为x 1 ,与x轴的交点为(为,0),( x2,0)x1 x2-21 ,即 x12 x22Q 0 xi 1 ,即 02 x213 x22 ,则正确由对称性可知，当 x2与x 0时，y的值是相等的即 4a 2b c cQc 14a 2b c 1 ,则正确当x 1时，y取得最小值，最小值为 abc当 x m(m D时，y am2 bm c贝U a b c am2 bm c即a b am2 bm,则错误综上，正确的结论有 2个故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解

18、题关键.二.填空题(满分18分，每小题3分)11.分解因式 6xy2 9x2y- y3 =.【答案】-y(3x-y)2【解析】先提公因式-y,然后再利用完全平方公式进行分解即可得【详解】6xy2 9x2y y3=-y(9x2-6xy+y 2)=-y(3x-y) 2,故答案为：-y(3x-y)2【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键式分解的一般步骤：一提(公因式)，二套(套用公式)，注意一定要分解到不能再分解为止.因m 4 .12.已知反比例函数y=在每个象限内y随x增大而减小，则 m的取值范围是 .x【答案】m>4.【解析】【分析】根据

19、反比例的性质，当系数 k>0时，图像在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当系数时，图像在二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，依次计算解决即可.m 4【详解】在反比例函数 y= m图象的每个象限内，y随x的增大而减小，xm - 4>0,解得m>4.故答案为：m>4.【点睛】本题考查了反比例函数的应用，禾I用反比例函数的性质解决系数问题，解决本题的关键是熟练掌的解集是一1vxw1,则a=, b=.0(2). -3,再求出不等式组的解集，即可得出关于a、b的方程，求出即可.x a 1bx 3 0?D握反比例函数的性质.x a13.若不等式组bx ；k<

20、0(1).-2先求出每个不等式的解集【详解】解：由题意得:解不等式得：x>1+a ,解不等式得：xw-b_ 3Q不等式组白解集为：1+avxw _ bQ不等式组的解集是-1vx«,.1+a=-1,- =1,b解得:a=-2,b=-3故答案为：-2,-3.【点睛】本题主要考查解含参数的不等式组14.如图，四边形 ABCD 内接于。O, OC/AD, /DAB=60； /ADC=106° ,则/ OCB=【答案】46【解析】【分析】根据平行线的性质求出/ OCD,根据圆内接四边形的性质求出/BCD,计算即可详解】解：= OC / AD , ./ OCD=180 -/ADC

21、=74 , 四边形ABCD内接于。O, ./ BCD=180 -/ DAB=120 ,/ OCB= / BCD- / OCD=46 ,故答案为：46.I15 .男生推铅球，铅球行平距离x之间的关系是y - x2 - x -,则铅球推出的距离1233.此时铅球行进Bl_(1) . 10 I铅球落地时，高度 y 0,把实际问题理解为当 y 0时，求x的值即可.【详解】铅球推出的距离就是当高度y 0时x的值1c25当 y0时，x22X501233解得：Xi 10, X22 （不合题意，舍去）则铅球推出的距离是 10.此时铅球行进高度是 0y 0时x的值是解题关键.故答案为：10; 0.【点睛】本题考

22、查了二次函数的应用，理解铅球推出的距离就是当高度16 .如图，矩形 ABCD中，AD = 4, AB=2.点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与 B、C重合）， EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为 .【解析】【分析】根据题意可知当FB'DE时，DB'的长度最小，则根据勾股定理求出DE= 再，设BF=x ,根据折叠的性质可得B' E=1, B' F=x,则DB'=，7-1, FC=4-x,再根据DF是两个直角三角形的斜边，可根据勾股定理列出 方程即可求解.【详解】如图，当 FBUDE时，DB

23、9;的长度最小， 点E是AB的中点， .AE=BE= 1AB=1 2 -DE= .42 12.17设 BF=x,1-,折叠,.B' E=1, B' F=x,故 DB'=&7-1, FC=4-x,在 RtADCF 和 RtAB' DF中,DF2=CF2 CD2 B'F2 B'D2即(4 x)2 22 X2 ( .17 1)2解得x= 17 4故填:1 、J74【点睛】此题主要考查矩形内的线段求解，解题的关键熟知折叠的性质及勾股定理的应用.三.解答题17.计算：1 2cos30 | /(1) 1 (5)02【答案】3 【3【解析】【分析】先计

24、算三角函数值、化简二次根式、负整数指数哥、零指数哥，再计算绝对值运算，然后计算实数的加减 运算即可.【详解】原式 1 22 J3 ( 2) 123 1 2、3 2 13 3 .【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数骞、零指数骞等知识点，熟记各 运算法则是解题关键.18.如图，YABCD中，点E是BC边的一点，延长 AD至点F,使/ DFC=/ DEC.求证：四边形 DECF是平行四边形.ADFV373 EC【答案】见解析.【解析】【分析】由平行四边形的性质可得 AD/BC,可得/ ADE = Z DEC,可证DE / CF ,可得结论.【详解】四边形 ABCD是平行四

25、边形 .AD / BC . / ADE = / DEC ,且/ DFC = / DEC ./ ADE = Z DFC .DE / CF,且 DF / BC 四边形DECF是平行四边形.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键.19.中雅培粹学校举办运动会，全校有3000名同学报名参加校运会，为了解各类运动赛事的分布情况，从中完整的统计图(1)这次统计共抽取了 位同学，扇形统计图中的 m抽取了部分同学进行统计：A.田径类，B.球类，C.团体类，D.其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不的度数是(2)请将条形统计图补充完整;(3)估计全校共多少学生参加了球类运

26、动【答案】(1) 200, 40, 36。；(2)见详解；(3) 900 人.【分析】(1)根据A组的人数为40,占20%即可求得抽取的总人数，根据百分比的意义求得m的值，利用360。乘以对应的百分比求得 “；(2)利用总数减去其它组的人数求得B组的人数，即可补全直方图；(3)利用总人数乘以对应的比例求解.【详解】(1)A组的人数为40,占20%,，总人数为：40+20%=200 (人) C组的人数为80,. m=8& 200X100=40 D组的人数为20, ./ a =20- 200X 360° =36°故答案是：200, 40, 36。；(2) B 组的人数=

27、200-40-80-20=60 (人)200答：估计全校共 900学生报名参加了球类运动.【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到要的信息是解 决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.20.一个不透明的袋子中装有 3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球.(1)采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；(2)求摸出的两个小球号码之和等于4的概率.【答案】 见解析；(2)-. 3【解析】【分析】(1)画树状图列举出所有情况;(2)让摸出的两个球号码之和等于 4的情况数除以总情况数即为

28、所求的概率.【详解】解：(1)根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种.(2)由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，9 111摸出的两个小球号码之和等于4的概率为 告哈.o 3【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键21.吉祥超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋.甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表.已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同.甲乙进价(元/袋)mm - 2售价(元/袋)2013(1)求m的值；(2)假如购进的甲、乙两种绿色袋装食品全部

29、卖出，所获总利润不少于5200元，且不超过5280元，问该超市有几种进货方案？(利润=售价-进价)【答案】(1) 10; (2)超市有17种进货方案【解析】【分析】(1)根据数量=总价 加价结合用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同，即可得出关于 m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购进甲种袋装食品 x袋，则购进乙种袋装食品(800-x)袋，根据总利润=每袋的利润改勾进数量结合所获总利润不少于 5200元且不超过5280元，即可得出关于 x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合 x为正整数即可得出该超市有 17种进货方案.【详解】(1

30、)依题意，得：2000 侬-,m m 2解得：m=10,经检验，m = 10是原方程的解，且符合题意.答：m的值为10.（2）设购进甲种袋装食品x袋，则购进乙种袋装食品（800-x）袋,依题意，得:20 10 x20 10 x13 8 800 x 520013 8 800 x 5280解得：240WxW25.6.x为正整数,.x=240, 241 , 242, 243244,245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252,253, 254, 255, 256.答：该超市有17种进货方案.【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题关键是:（1）找

31、准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.22.如图，O。是那BC的外接圆，AB为直径，/ BAC的平分线交。于点D,过点D作DELAC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点 F.（1）求证：EF是。的切线;【答案】（1）见解析；（2）（结果保留好(1)连接 OD ,由 OA = OD 知 ZOAD = /ODA ,由 AD 平分 /EAF 知 /DAE = /DAO ,据此可得 /DAE = /ADO ,继而知OD/AE,根据AELEF即可得证;（2）作 OGXAE ,知 AG = CG=1AC=4,证四边形 ODEG 是矩形，得出 OA =

32、OB = OD = CG+CE = 4, 2再证 UDEs丛BD得AD 2=192,据此得出BD的长及/BAD的度数，利用弧长公式可得答案.【详解】（1）证明：连接OD,如图1所示:E DF图1 .OA = OD, . RAD = /ODA ,. AD 平分 ZEAF , . zDAE = /DAO , . zDAE = /ADO , .OD /AE, . AE ±EF,.-.ODXEF, .EF是。的切线；(2)解：作OGAE于点G,连接BD,如图2所示:AfE 仆F图2则 AG = CG= 1AC = 4, ZOGE= ZE= ZODE = 90°, 2 四边形ODEG

33、是矩形，,-.OA = OB = OD = CG+CE = 4+4 = 8, /DOG = 90 °,.AB =2OA = 16,. AC =8, CE=4, .AE =AC+CE = 12 zDAE = /BAD , ZAED = ZADB = 90 °,.小DEs当BD ,AE AD 口 12 AD ，即,AD AB AD 162 AD 192 ,在 RtAABD 中，BDTAbAD2 J162 192 8，在 RtAABD 中，.AB = 2BD , . /BAD = 30 ; . zBOD = 60 ;则弧BD的长度为608180【点睛】本题考查切线的判定与性质，解

34、题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定 理、弧长公式等知识点.23.在平面直角坐标系中，一次函数y=- 1x+2的图象交x轴、y轴分别于 A、B两点，交直线y= kx于P.2（1）求点A、B的坐标；（2）若OP=PA,求k的值；（3）在（2）的条彳下，C是线段BP上一点，CEx轴于E,交OP于D,若CD=2ED,求C点的坐标.t=Ax不【答案】（1）点A的坐标为（4, 0）,点B的坐标为（0, 2）； （2） k= 1； （3）点C的坐标为（1,3）.22【解析】（1）分别令y 0和x 0求解即可得;（2）先根据等腰三角形的性质可求出点P的横坐标，再根据 y1x 2可求出点P

35、的坐标，然后代 2入y kx即可得；1（3）设点C的坐标为C（m, m 2）,从而可得点D的坐标，再根据“ CD 2ED ”列出方程求解即可2得.1【详解】（1）对于y - x 2 2当x 0时，y 2,则点B的坐标为（0,2）1_当y 0时，一x 2 0,解得x 4,则点A的坐标为（4,0）；2（2） . OP AP zOAP是等腰三角形Q A(4,0)OA 4点P的横坐标为10A 2 2，1当 x 2时，y -221 2，点P的坐标为（2,1） ,一点P在直线y kx上 2k 1-1斛得k ；2 1(3)设点C的坐标为(m, m 2) (0 211 CD m 2 m 2 m , DE 22

36、. CD 2ED1m 2）,则点D的坐标为（m, m）,点E的坐标为（m,0）21m212 m 2 m2解得m 11 13则一m 21 2 -2 22 3故点C的坐标为(1,1) .【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识点，掌握理解一次函数的性质是解题关键.24.如图将正方形 ABCD绕点A顺时针旋转角度 & (0° V “V 900 )得到正方形 AB ' C D'.(1)如图1, B' C'与AC交于点M, C' D'与AD所在直线交于点 N,若MN /B' D',求(2)如图2, C&

37、#39; B，与CD交于点Q,延长C' B，与BC交于点P,当“=30。时.求/ DAQ的度数；若AB=6,求PQ的长度.【答案】(1) a= 22.5 ； (2) 30。； 12-4向.【解析】【分析】(1)先根据正方形的性质、旋转的性质、平行线的性质得出C MN C NM ,再根据等腰三角形的性质、线段的和差可得 MB ND ,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得B AM D AN ,最后根据正方形的性质、角的和差即可得；(2)先根据旋转的性质可得BAB 30 ,再根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得 QAB QAD ,然后根据角的和差即可得；如图2 (见解析)，设P

38、B a,先根据三角形全等的判定定理与性质得出BAP PAB 15 ,再根据直角三角形的性质、平角的定义得出CPQ 30 ,又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得出BEP 30 ,从而可得AE 2a, BE J3a ,然后根据线段的和差可求出 a的值，从而可得PC的长，最后在RtVCPQ中，利用 CPQ的余弦值即可得.【详解】(1)如图1,由旋转的性质得： BABQ四边形ABCD是正方形BAD 90 , MAN 45Q四边形AB C D是正方形ADC B D C D B 45, BADQ MN/BD C MN C B D 45 , C NM C MN C NMAB M AD N 90 , C

39、 B C D ABC D B 45C M C N . C B CD, . C B C M C D C N ,即 MB ND AB AD , AB M AD N 90 VAB M VAD N (SAS) BAMD ANB AD 90 , MAN 45 B AMD AN 22.5 BAB BAD B AM MAN 90 22.5 4522.5即 22.5 ;(2)如图2,由旋转的性质和题意得：BAB 30 AB Q ADQ 90 ,AQ AQ, AB AD RtVAQB RtVAQD(HL)QAB QADBAB 30 , BAD 90B AD 60-1QAD B AD 30 ； 2如图2,连接AP

40、,在AB上取一点E,使得 AE EP ,连接EP设PB a. ABP AB P 90 , AP AP, AB ABRtVAPB RtVAPB (HL)1BAPPAB BAB 152BPABPA 90 15 75CPQ 180 BPA B PA 30 EA EP . EAP EPA 15BEP EAP EPA 30AEEP2PB2a,BE J3a ABAEBE6 2a,3a6 a 12 6击，即 PB 12 6屈63 6PQp PC BC PB AB PB 6 3 6PC 厂 RtVCPQ 中，cos CPQ ，即 cos30PQ解得 pq 6' 6 12 473 cos30【点睛】本题

41、考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、余弦三角函数值等知识S2点，较难的是题(2)，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键.25.如图,抛物线y=ax2+bx (a>0)过点 E (8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧)，点C、D在抛物线上,BAD的平分线 AM交BC于点M ,点N是CD的中点，已知 OA = 2,且OA :AD = 1 ： 3.(1)求抛物线的解析式；(2) F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接 M、N、G、F构成四边形 MNGF ,求四边形 MNGF周长 的最小值；(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,

42、使 ODP中OD边上的高为6后 ?若存在，求出点 P的坐5标；若不存在，请说明理由；(4)矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】(1) y= -x2-4x; (2)四边形MNGF周长最小值为12J2; (3)存在点 巳P坐标为(6, -6);2(4)抛物线平移的距离为 3个单位长度.【解析】【分析】(1)由点E在x轴正半轴且点 A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以 A (2, 0)；由OA = 2,且 OA： AD = 1： 3得AD=6.由于四边形 ABCD为矩形，故有 AD ±

43、AB ,所以点D在第四象限，横坐标与 A 的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点 D、E,用待定系数法即求出其解析式；(2)画出四边形MNGF,由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点 M关于x轴的对称点点 M',作点N关于y轴 的对称点点 N',得FM = FM'、GN = GN'.易得当 M'、F、G、N'在同一直线上时 N'G+GF+FM' = M'N'最小， 故四边形MNGF周长最小值等于 MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐

44、标，即求得答案；(3)因为OD可求，且已知 ODP中OD边上的高，故可求 ODP的面积.又因为 ODP的面 积常规求法是过点 P作PQ平行y轴交直线OD于点Q,把 ODP拆分为 OPQ与 DPQ的和或差来计算， 故存在等量关系.设点P坐标为t,用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点 P在x轴下方 的条件；(4)由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可 知，点K由点。平移得到，点L由点D平移得到，故有 K (m, 0), L (2+m, -6).易证KL平分矩形面积 时，KL 一定经过矩形的中心 H且被H平分，求出H坐标为(4, -3)

45、,由中点坐标公式即求得 m的值.【详解】(1)二.点A在线段OE上，E (8, 0), OA = 2 A (2, 0) . OA : AD =1 : 3.AD =3OA = 6 四边形ABCD是矩形/.AD ±AB D (2, - 6).抛物线 y=ax2+bx经过点 D、E4a 2b 664 a 8b 01 a -解得： 2 b 4，抛物线的解析式为 y= -x2-4x 2(2)如图1,作点M关于x轴的对称点M',作点N关于y轴的对称点N',连接FM'、GN'、M'N'- y= - x2_ 4x= (x-4) 2 - 822抛物线对称轴为直线 x = 4点C、D在抛物线