八年级同步第2讲：最简二次根式与同类二次根式-教师版

1、Cxj最简二次根式与同类二次根式1 / 17知识精讲内容分析最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础.重点是最简二次根式、同类二次根式的判 断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简.知识结构最简二次根式最简二次根式与同类二次根式同类二次根式模块一：最简二次根式1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为 1; （2）被开方数不含分母被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式Is）例题解析【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）742a；（2）24x3；（3）ar'b；（4）tf'

2、;V.【难度】【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是.【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1; （2）被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以（1） （3） （4）是最简二次根式.【总结】本题考查了最简二次根式的概念.八年级暑假班【例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式:(1)(2)(3) . 1.5(a b).7 / 17(1)不是；(2)不是；(3)不是.(1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式, 所以这三个二次根式均不是最简二次根式.【总结】本题考查了最简二次根式的概念.

3、【例3】判断下列二次根式是不是最简二次根式：(1) - 2a 1)(a1);(2)(X y2)(x y)(x y 0)；(3)J9a2 6a 1 .【难度】【答案】(1)不是；(2)不是；(3)不是.【解析】(1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因为已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为2的因式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式.【总结】本题考查了最简二次根式的概念.【例4】将下列二次根式化成最简二次根式：(1) 位； J4x3y2(y 0); (3) J27a3b2c5 (a 0, b 0, c 0).【

4、难度】【答案】(1) 2点；(2) 2xy6;(3) 3abcW3ac .【解析】(1) 712 2点；(2) "x3y2 2xyVX;(3) J27a3b2c5 3abc273ac .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【例5】将下列二次根式化成最简二次根式：(1)14xy2 8y2 (V 0);(2) J(a2 b2)(a b)(a b 0)；(3) 辰2x2x(x 1).【难度】【答案】(1) 2y4xl. -(2) (a b)qTT;(3) (x 1)Vx .解析(1) J4xy2 8y2 J4y2(x 2) 2y Jx 2 ; 1y(a2b2)(ab) 7(ab

5、)2(ab) (a b)Ja b ;(3) 尿2x2x >/x(x1)2 (x 1X/x .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【例6】将下列二次根式化成最简二次根式:(4)(a 0, b 0, c 0). J1.5a3 ；0)【难度】2,6；3(3)b 3a；3a(4)b2 3abc9a2c【答案】（1）(2) J1.5a3(3)b2, b2b 3a3 a v3a3a(4)b5 _ 、b5 _ b2 b _ b2 3abc 27a3c27a3c 3a 3ac9a2c【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【例7】将下列二次根式化成最简二次根式:(3)(1)a b)；

6、(2)m n / (m nm n0)；(a 2)5 (a(a 2)3(a(3)(a 2)2 , a 4(a 2)2【答案】（1） 7a b ； b a【解析】（1）m n _ . m n _ . m1 【例8】如果aR是最简二次根式，求* a的值.nv27I，m n m n m ne (a 2)5 (a 2)5 (a 2)2 a 2 (a 2)2 . a-4 3= (a 2) (a 2)3(a 2). a 2 (a 2)【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【难度】【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念.八年级暑假班# / 170【例9】将

7、下列式子化成最简二次根式:的符1(1) aab?(0 a b);(2)(1)(2)xy(1) a本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简,y xF22b a2.2 a b22y xa. b2a abF 2.y x x y.b2_a2b ；【例10】将下列式子化成最简二次根式:(1) 宝;(2)a2K(y x 0).注意被开方数的各因式(3)(1a)1 a 1(1)(2) aG a ;(3)J1 a .(1)(2)2 a2 12 .7a2 a(3)(1 a)(1a) 1.1 a(1 a) 1 a1 a本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符班假暑级年

8、八模块二：同类二次根式I知识精讲1、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式.例题解析【例11】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?(2)【难度】【答案】（1）是；（2）不是.【解析】（1）叵叵.强逅坦Y27b9b ' Y bJi00b5b【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断.【例12】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?0),2国(y 0).（1）不是；（2）不是.（1）724=276； 屈=4百；(2) >/XV=x2Vy； 3Tx3y3xTXy； 2 Jxy3 2y7xy .【总结

9、】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断.八年级暑假班【例13】合并下列各式中的同类二次根式:(1) 2夜1我142 石; 23(3) 3/8 *50 5/72 ; 3Txy ajxy b/xy ;(4) (3b Jb a7b) W4ababjb).【难度】【答案】(1)子 与；(2)(3 a bR'Xy； (3)34及；【解析】(1) 2夜16 1夜石逋妇 2332(4) (3b a ab)而 2b/ab .(2) 3xy a'xy bjXy (3 a b)技;(3) 3718 回 5猴 9也 5& 3072 34中;(4) (3b .b a ,b) ( . 4

10、ab3 ab b) (3b aab)Vb 2b/ab .【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【例14】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?15 / 17L23a2a2b 4b,和岛【答案】(1)不是;(2)不是.ab bab b【例15】若最简二次根式a% 2b与Ja b 3是同类二次根式，求a、b的值.【解析】(1) aja3 a2 a2Ja 1 ； bj313ab3 b3 /3a 2 b J3a2b. 1 a,3a2 2 ab寸 9a212ab4b2 3a2b V 3a 2b 3a 2b【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断.【难度】【答案】a 5

11、, b 3.【解析】由题意得:a b 2a 2b a b【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求 解.【例16 若最简二次根式a幅和Ja 8b是同类二次根式，求 ab的值?【难度】9【解析】由题意得:ba4-3 2-3a b8 1 93b【例17】(1)合并下列各式中的同类二次根式:2鸟需椁(2)(4 054,0.125) 2 麻;(3)2 j36xy4 12 x2 4y241x3 3xx【难度】【答案】(1)述；板史;(3)竺立.332【解析】(1)2叵邛口矩述岖述,27 3 339933(2) (4底4而西2 口痘=2四4出裂3 2/ .五包；343

12、3,414241 6y2 , x 24x2 , x 3x . x(3) 2 .36xy 12x . 3 3x.= 2- 4y. x x 4y x x24.x 3x 22【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【例18】计算:【难度】【答案】(1)x11；(2) x W7.4126 3 6 5 611n解析】(1) x - ；2424- c 77c 5755(2) 2x , 2x , x 32612【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式和方程.【例19】 合并下列各式中的同类二次根式:(1)8750m 岛;(2)2(x 1)2 3, (xx 1 gT (3x(3),7

13、5x(x y)x y 2x2)(xxy).913224x(x y【答案】（1）(5p 5q 2),2p2q(2) 6vx;(3)(53 2v6x x y)J?一xy .【解析】（i）,50(p q)5 2P 2q3x 12、2P 2qp q(5p 5q 2)、2P 2q .2(2)原式二 2(x 1)33(x 1), x 1(x1)224x 1 4Jx 16jx 1 ;(3)原式=5 3 x2 xy(2.6,2x xyy± xy) (x2xxy)=53 , x2 xy26xx2 xy(x y) , x2 xy=(5 3 2 6xx y)J?xy .【总结】本题主要考查二次根式的加减运

14、算，注意先化简后合并.【例20 若dSx8与"是同类二次根式，求 x的最小正整数？【难度】【答案】x 4.【解析】由题意得：5x 8 n2 7 （n为正整数），解得：当n 2时，x 4.【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的,因此要从多个角度考虑.【习题1】判断下列二次根式是不是最简二次根式: V727；(3) yiia3；(4) J5(a2 2a 1)(a 1).【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是； （4）不是；【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1; （2）被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式,

15、【总结】本题考查了最简二次根式的概念.【习题2将下列二次根式化成最简二次根式：（1） 屈；（2） 772-（3） 斥； （4）相.【难度】【答案】（1） 3挺；（2） 6、5；（3） 3屈；（4） 3/10.【解析】（1） 718=372; （2） 772=6" （3） 斥=36；（4） 790=3710 .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【习题3】将下列二次根式化成最简二次根式：(1) A/8xF(x 0)；(2) “5a2b ；(3) J9 a3b2(b 0)；(4) J 32a5 .【难度】3a 5b(a 0)【答案】(1)2x72; (2)0(a 0);(3)

16、 2abVa ;(4) 4a2/-2a .3a5b(a 0)3a , 5b(a 0)【解析】(1) 882xV2 ；(2) “5a2b0(a 0);3a 5b(a 0)(3) J4a3b2 2abVa ;(4) J 32a5 402yl 2a .注意被开方数的各因式的符号的讨论.【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，【习题4】下列二次根式，哪些是同类二次根式:位，V24,J/, Vab , 2Va-3b(a 0) ,Tab3 (a 0).5 是同类二次根式；2jTb(a 0)与 阿'(a 0)是同类二次根式.2。a3b 2o/ab ；【解析】死2褥；应42乔;1我,Va7ba

17、2Vb;279Jabbfab .【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，注意先化简再判断.【习题5】将下列二次根式化成最简二次根式:(1)532，；(3)27c砧(a 0，b 0)；(4)845a2b(1)10；8(3)3，4a b(4)2 10b(a 0)15ab2 1Ob(a 0) 15ab(1)54.210；(2)(3)3c2 32a2 - 2ab27 c4 8a5b3c2 6ab34a b(4)8-2 245a2b-3a 5b2 10b(a 0) 15ab2 10b/ c、-77-(a 0)15ab【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号的讨论.【习题

18、6】判断下列各组根式是否是同类根式:(1)(2)【难度】【答案】(1)【解析】(1)175,当m n 0时,是；(2)是.71755 币;7.73(n m). mnmnCT;楫手；尸【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，注意先化简再判断.【习题7】已知最简二次根式4j2m和*布"”是同类根式，求m的值.【难度】【答案】5.【解析】由题意得：2m 3 3m 2,解得：m 5.【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解.(1) (4J5 4问 2 串庇；(3)8Vx (1 /8x C2x3);22而2而历；3(4) 40 褥 J1000 5M.【难度

19、】【答案】（1） 4君4J§6哈(3) 8Vx -V2x xj2x ; (4) 40j5 5/10 .2【解析】（1） （4祁4向2 73 &24褥4向(2) 2 而 2V3 厉 632/3 3.3 6 733【习题8】合并下列各式中的同类二次根式并计算.(3)8vx (1 J18x V2x3) 8G 3l2x xv'2x ; 22(4) 40 51000 5.而40新10质 5J10 40新 5月.【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【习题9】将下列二次根式化成最简二次根式: 病""y2)(y x)(x y 0)；,4334

20、-/ 仆 x y x y x y -J-27(0 x y).y . x 2xy y(2)m 2nm 2n(m 2n 0);【难度】【答案】(1) (x y)jx-y； 4n-;(3)xjx2y xy2 .m 2n【解析】(1) d("xy2)(yx) 7(xy)(y_x)2 (x y)&_y ；八年级暑假班19 / 17(2)m 2n1.m 2n,m2 4n2m 2n(3)x yx2y2(x2y xy2)y (x y)2x y xy x y xyy y x2 xy【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【习题10】 把（a b） / -L-

21、化成最简二次根式.【难度】11(a b). a-b(a b)【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【习题11】 合并下列各式中的同类二次根式:(1) 1311 收 |如；I廊2卷2店x; xx x【难度】aA屈电 , a2m nm n(4)JJ m n . m n端);2 ( m n ,m n0).【答案】（1） 0；（2）包23b；(2 n(3) V2x ；(4)1) m2n2【解析】（1）屈+3（1；（5；48 30；332.3 33而;22m n22m n(mn) 22m n-2n(m n) . m2 n222m n22m n2m n22(2 n 1).

22、m n22m n【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.班假暑级年八课后作业【作业1】下列式子中是最简二次根式的是：（1） 历；（2） J-； J（1 a）（1 a2）.【难度】【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1; （2）被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，【总结】本题考查了最简二次根式的概念.【作业2】下列各组二次根式，是否是同类二次根式(1) .32,尻，4x3 ,【难度】【答案】（1）是；（2）不是；（3）是.78x2 (x 0)；【解析】（1）辰4屈；屈5衣；2j'

23、.183 AX 2xVX ； 2V2X 2岳；'/8xT 2x72 .辰的K=ax反耳喑【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，注意先化简再判断.【作业3】合并下列二次根式中的同类二次根式：(1)670.12 748；(2)2v163V175 -V28；2(3)返1点 2/2 1 /6,1；(4)3次2<185辰.23 6 6【难度】【答案】(1) 51;(2)10"(3)573巫;(4)2072.563【解析】(1) 6点标V48 6点理4点处也； 551 (2) 2厢 1755 -728 6。7 5。7 J7 10.万； 2(3)施"2、7照6耳用7押孚依

24、海华;23 6. 623363(4) 3 8 2,18 5 32 6,2 6 2 20,2 20 2 .【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【作业4若a 0 , b 0 ,则/a3b化简得()(A)aj ab ；(B)a/ab；(C)ajab ；(D)a J ab.【难度】【答案】A.解析a a3b 4a a ab a J ab .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作业5】(1)45x3y4 ;(3) 74a28ar(a 0)；【难度】【答案】(1) 3xy2 J5X ；(2) 4as/6ab ；【解析】()”5x3y4 3xy2 75X;(3) “a2 8a32aj1 2a ；将下列二次根式化成最简二次根式.(2)96a3b a 0, b 0 ；(4) &x2y2 (x 0).(3)2aJ1 2a ；(4) xjx2 y2 .(2) J96a3b 4a。6ab ；(4)x4x2y2xv'x2y2 .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作业6】将下列二次根式化成最简二次根式.a 0, b 0 ；(2)(4)0,b 0);0, y 0).【难度】八年级暑假班【解析】(1)餐(2