2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1(答案)

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷I )一、选择题答案速查123456789101112CBABDABDCABA1.C本题主要考查复数的相关概念及复数的四则运算."(1+1-(1产二3+2曰|z|=1,故选 c.2.B本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法 化简 A=x|x<-1 或 x>2, . .?rA=x|- 1&x02.故选 B.3.A 本题主要考查统计图 设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知:其他收入0.04a种植收第三产业养殖收入收入入建设前经济收 0.6a0.06a0.3a入建设后经济收 0.74a0.5

2、6a0.6a0.1a根据上表可知B、C、D结论均正确，结论A不正确,故选A.4.B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为 d,贝U 3X (3a 1+3d)=2a+d+4a,+6d,即 d=-|a1,又 a=2,. d=-3, .-.a5=a1+4d=-10,故选 B.5 .D本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax 为奇函数,a-1=0,解得 a=1, , f(x)=x 3+x,f'(x)=3x 2+1, , f '(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.解后反思求曲

3、线的切线方程需注意的几个问题：(1)首先应判断所给的点是不是切点，如果不是，那么需要设出切点.(2)切点既在原函数的图象上，又在切线上，可先设出切线方程，冉将切点代入两者的解 析式建立方程组.(3)切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.6 .A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.VE 是 AD的中点，,？? ?+?它？?？ VD 为 BC的中点，. ? ?因止匕？?(？?？ ？嚓？?做选 A.题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义.(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法 则；求首尾相

4、连的向量的和用三角形法则.(3)与三角形综合，求参数的值.求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参 数.(4)与平行四边形综合，研究向量的关系.画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将 所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.7.B 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题.由圆柱的三视图及已知条件可知点 M与点N的位置如图1所示，设ME与FN为圆柱的两 条母线，沿FN将圆柱的侧面展开，如图2所示，连接MN,MN1|3为从M到N的最短路径，由 题意知,ME=2,EN=4,.MN=/1+ 22=23.故选B.图2方法点拨 1.由三视图还原直观图的步骤：(1)看视图明

5、关系；(2)分部分想整体；(3)合起来定整体.2.解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法是把空间图形展为平面图 形，利用两点之间线段最短进行求解.8.D本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算.23? = 4x,2设M(xi,y i),N(x 2,y 2).由已知可得直线的方程为 y=-(x+2),即x=y-2,由3。得y-32?= 2 y-26y+8=0.3.、由根与系数的关系可得 yi+y2=6,y iy2=8,x i+X2=2(y i+y2)-(?)24=5,x 1x2=16=4, F(1,0), ?(x 1-1) (x 2-1)+y iy2=xix2-(x

6、 i+x2)+1+yiy2=4-5+1+8=8，故选 D.9 .C本题主要考查函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= e 'x；0,与h(x)=-x-a的图象存在2ln? ?> 0个交点，如图，当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点，需要-a0 1, 即a>-1.故选C.方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点 个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.10 .A本题主要考查几何概

7、型概率的求法1不妨设BC=5,AB=4,AC=3则 ABC二边所围成的区域I的面积 Si=2X3X 4=6，区域田的 面积&=1X(|)2-Si=258r6,区域 U 的面积 &=1X2 2+-2X (2) 2-(258-6)=6,所以 S=S>4, 由几何概型的概率公式可知P1 = P2>P3,故选A.方法总结与面积有关的几何概型的解法求与面积有关的几何概型的概率时，关键是弄清某事件所有结果对应的平面区域的形状 并能正确计算面积.必要时可根据题意构造两个变量，利用平面直角坐标系，找到全部试 验结果构成的平面图形及某事件所有结果构成的平面图形，以便求解.11 .B

8、本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C：y 2=1可知其渐近线方程为y=±我，：/ MOx=30 ,. / MON=60 ,不妨设 33/OMN=g0,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|二芯,则在 RtzXOMhfr ,|MN|=|OM| tan解题关键 利用双曲线的几何性质求出/ MON勺大小及|OM|的值是求解本题的关键.12 .A本题主要考查空间直线与平面的位置关系及其所成角问题由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面a所成的角均相等.如图，正方体ABCD-ABGD中，易知棱AB,AD,AA所在直线与平面AB

9、D所成的角均相 等，所以a /平面ABD,当平面a趋近点A时，截面图形的面积趋近于0;当平面a经6x?x 2 =过正方体的中心。时，截面图形为正六边形，其边长为£，截面图形的面积为;当平面a趋近于G时，截面图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为了,故选A.解题关键利用正方体的性质，将每条棱所在直线与平面 a所成角转化为共顶点的三 条棱所在直线与平面a所成角是解决本题的关键.方法点拨 利用特殊位置与极限思想是解决选择题的常用方法.二、填空题13 .珞案 6确单析本题主要考查简单的线性规划.由x,y所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示).作出基本直线l 0：3x+

10、2y=0,平移直线l 0,当经过点A(2,0)时,z取最大值,即Zma)=3X 2=6. 题型归纳线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取 得,所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接求出可行域的顶点，然后将坐标代入目 标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求线性规划中参数的值的基本方法有两种：一是把参数当 成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造 方程求解参数的值；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条 件，确定最优解的

11、位置，从而求出参数.14 .小案 -63幼单析 本题主要考查由an与Sn的关系求数列的通项公式.解法一：由 &=2&+1,得 ai=2ai+1,所以 ai=-1,当 n>2 时,a n=S-Sn-i=2a+1-(2a n-i+1),得an=2an-i,.an是首项为-1,公比为2的等比数列.s 62詈七/=-63.解法二：由 S=2a+1,得 Si=2S+1,所以 S=-1,当 n2 时，由&=2a+1 得&=2(Sn-Sn-i)+1, 即&=2S-i-1, .S-1=2(Sn-i-1),又 Si-1=-2,.Sn-I是首项为-2,公比为 2 的等

12、比数列， 所以 Sn-1=-2X2n-1=-2n,所以 Sn=1-2n, .$=1-26=-63.15 .络案 16析本题主要考查组合问题 解法一：从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种：2 女1男：有C2c1=4种选法；1女2男：有C2C2=12种选法，故至少有1位女生入选的选 法有4+12=16种.解法二：从2位女生,4位男生中选3人有C3=20种选法，其中选出的3人都是男生的选 法有C3=4种，所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.16"小案-?掰析 解法:由 f(x)=2sin x+sin 2x, 得 f '(x)=2cos x+

13、2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2,11令 f'(x)=0, 得 cos x=2或 cos x=-1,可得当 cos x C (-1, 2)时，f'(x)<0, f(x) 为减11函数；当cos x C (2, 1)时，f'(x)>0, f(x)为增函数，所以当cos x=3时，f(x) 取取小值，止匕时 sin x= ±怖.又因为 f(x)=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x),1+cos x >0 恒成立, f(x)取最小值时，sin x=- ', f(x) min=2x (- 23)

14、 x (1 + 1) =了.解法二:f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x), f 2(x)=4sin 2x(1+cos x) 2=4(1-cos x)(1+cos x)3.令 cos x=t,t -1,1,设 g(t)=4(1-t)(1+t)3, g'(t)=-4(1+t)3+12(1+t) 2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).一 一1当 t C (-1, 2)时,g'(t)>0,g(t)为增函数；当 t C (2,1)时,g'(t)<0,g(t)为减函数.:当t=2时,g(t)取得最

15、大值27,即f 2(x)的最大值为27,得f(x)的最大值为 U 又f(x)=2sin x+sin 2x为奇函数, f(x)的最小值为-解法三:. f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=8sin?3?万8s 2. f 2(x)=64 - sin 2-?- cos2? cos2-? cos2-? 222264一- 3sin32? cos2? cos2- cos2-?2222一 2?2?2?2?64 3sin 2-+cos 2-+cos 2-+cos 2-<64(2222)34427当且仅当3sin 2-=cos22?即sin 2-=4,cos 22?=4时等

16、号成立，所以f 2(x)的最大值为27,则f(x)的最大值为323,又f(x)=2sin x+sin 2x为奇函数，f(x)的最小值为-323.三、解答题17税单析在4ABD中，由正弦定理得? _?sin / ?sin / ?由题设知,sdr-=$?如以 sin /adb=F由题设知，/ADB<90 ,所以cos/ADB=/1-三一竺.255(2)由题设及 (1)知,cos /BDC=sinZ ADB=.在 BCD 中，由余弦定理得 bC=bD+d62 BD- DC- cos/BDC=25+82X 5X 2 v2 X =25.5所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是

17、一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其中一对的比值或等量关系就 可以通过该定理解决问题，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取 公因式，以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时，可能会出现一解、两解或无解的情况，所 以解答此类问题时需要进行分类讨论，以免漏解或增解.18J畤B析 (1)由已知可得，BF，PF,BFLEF,所以BF,平面PEF,又BF-平面ABFD所以平面PEFL平面ABFD.(2)作PHHL EF,垂足为H.由得,PHU平面 ABFD.以H为坐标原点，？?晒向为

18、y轴正方向,|金次单位长，建立如图所示的空间直角坐 标系H-xyz.由(1)可得,DEL PE.又 DP=2,DE=1所以 PE=3,又 PF=1,EF=2,故 PE! PF,可得 PH=23,EH=3，则 H(0,0,0),P (0,0,3),D(-1, - 3,0), ? , 3, 9)，?W，0，3)为平面 ABFD勺法 向量.3.,一，.? ? - 八八设DP与平面ABF四成角为8 ,则s访8二|由eI =43哼所以DP与平面ABF的成角的正弦值为江.4易错警示利用空间向量求线面角的注意事项(1)先求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)的角度，再取其余角即为所求.

19、 若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2 9 +cos2 9 =1求出其值，不要误以为 直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求.19.*解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得，点A的坐标为(1 , ?)或(1 ,-1).所以AM的方程为y=-停x+v2或y=22x- v2.(2)当l与x轴重合时，/ OMA = OMB=0 ,当l与x轴垂直时,直线OM AB的垂直平分线，所以/ OMA =OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，?设 l 的方程为 y=k(x- 1)(k w0),A(x i,yi),B(x 2,y2),?如2,贝U xi</,x2&l

20、t;v2,直线MA,MB勺斜率之和为kMA+kM=+ ?-2 ,2? - 3k ( ? +?2 )+4k由 y产kxi-k,y 2=kx2-k 得 kMA+kMB=».( ?i- 2)( ?2-2)将 y=k(x-i)代入?2+y2=I 得(2k2+I)x2-4k2x+2k2-2=0, 4?仪2?靖-2所以，xi+x2=2?着i，x ix2=2?;7.贝U 2kxiX2-3k(x i+X2)+4k=4?a-4k-12?R +8?3 +4k2?修+1=0,从而kMA+kM=0,故MA,MB勺倾斜角互补， 所以/ OMA =OMB.综上，/OMA=OMB.20.M单析(i)20件产品中恰

21、有2件不合格品的概率为f(p尸C2op2(i-p) i8.因此 f'(p尸 C2o2p(i-p) i8-i8p2(i-p) i7=2 020P(i-p) i7(i-i0p).令 f'(p)=0， 得 p=0.i,当 pC(0，0.I)时，f'(p)>0;当 pC (0.i,i)时，f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为po=0.i.(2)由(i)知，p=0.I，(i)令Y表示余下的I80件产品中的不合格品件数，依题意知YB(I80,0.I)，X=20 X2+25Y，即 X=40+25Y，所以 EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii

22、)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.2I.神析f(x)的定义域为(0，+ °°)，f'(x)=-?2-i+?=-%?也(i)若 a02,则 f'(x)&0,当且仅当 a=2，x=i 时，f'(x)=0，所以 f(x)在(0，+oo)单调递减.?M?!-4 j?+S?!-4(ii) 右 a>2,令 f '(x)=0，得 x=-2或 x=-2.当 xe(o, ?)“竺91, + 8)时,f 怵<0；当 xe(?, ?+)时,f ,(x)>0.L

23、L1、r .,?C2-4?+-/?2- 4立、e、乂、 ? 32-4 ?+-v?i-4 、,、 、, 所以f(X)在(0, ?),(?一，+ 8)单调递减，在(?J. 2- )单调递增. 由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点xi,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设xi<x2,则x2>1,?)-f(?)=11+aln ?-ln ?=2+？?-ln ?2=2+" ?-?2?-?3?-?A-?,?2 J所以?黑一：；?)<a-2 等价于 x2+2ln x 2<0. ?- ?2?2设函数 g(x)= 1-x

24、+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+ oo)单调递减，又 g(1)=0,从而当 xC(1,+ oo)时,g(x)<0,所以 5x2+2ln x 2<0,即?f2a-2. ?- ?2方法总结利用导数证明不等式的常用方法证明 f(x)<g(x),x (a,b)时，可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x). 若 F'(x)<0,则 F(x)在(a,b)上是减函数，同时若F(a) <0,由减函数的定义可知,x 6 (a,b)时，有F(x)<0,即证 明了 f(x)<g(x).证明 f(x)>g(x),x (a,b)时，可以构造函数 F(

25、x)=f(x)-g(x), 若 F'(x)>0,则 F(x)在(a,b)上是增函数，同时若F(a) >0,由增函数的定义可知,x (a,b)时，有F(x)>0,即证 明了 f(x)>g(x).22. *解析(1)由x= p cos 0 ,y= p sin 0得G的直角坐标方程为 (x+1) 2+y2=4. 由(1)知。是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知，Ci是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为"y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C与C2有且仅有三个公共点等价于li与C2只有一个公共点且 l 2与C2有两个公共点，或l 2与G只有一个公共点且l i与C2有两个公共点.当l i与G只有一个公共点时，A到l i所在直线白距离为2,所以=2，故k=-3或k=0,4经检验，当k=0时,l i与G没有公共点；当k=-q时,l i与G只有一