齐次坐标变换及成像模型

1、1.1 二维图形几何变换的原理 二维图形由点或直线段组成 直线段可由其端点坐标定义 二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换yxP yxP平行于x轴的方向上的移动量平行于y轴的方向上的移动量 xT yT 1.2 几种典型的二维图形几何变换xxTyPPyT平移变换yxTyyTxx几何关系yxTTyxyx矩阵形式（5-7）（5-8）平行于x轴的方向上的缩放量平行于y轴的方向上的缩放量xSyS指相对于原点的比例变换 yx相对于原点原点的比例变换相对于重心重心的比例变换yx重心yxSyySxx几何关系yxSSyxyx00 矩阵形式（5-10）（5-9）l比例变换的性质当 时，变换前的图形与变换后的

2、图形相似 当 时，图形将放大，并远离坐标原点 当 时，图形将缩小，并靠近坐标原点当 时，图形将发生畸变 10yxSSyxSS 1yxSSyxSS 1yxSSyxSS 点P绕原点逆时针转度角（设逆时针旋转方向为正方向）sincos ryrx（5-11）cossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrx（5-12）cossinsincosyxyyxx将式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）PP几何关系（5-14） cossinsincos yxyx矩阵形式yx旋转变换 1.齐次坐标技术的引入齐次坐标技术的引入 平移、比例和旋转等变换的组合变换 处理形式不

3、统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现 3.齐次坐标技术的基本思想齐次坐标技术的基本思想 把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决。 l一个统一的点与向量表示方法向量:点:l统一的形式:1),(zyxOkjikzjyixOp0),(zyxOkjikzjyixv1/ wzwywxwzyx齐次坐标表示不是唯一的),.,(21nxxx)/,.,/,/(21nxxx ),.,(21nxxx),.,(21nxxx1l右边的四元组称为齐次坐标齐次坐标非齐次坐标l点的齐次坐标表示l齐次向量坐标形式（w0）l平移变换 1010

4、00111yxTTyxyx 100000011yxSSyxyx 1000cossin0sincos11yxyxl比例变换l旋转变换：时，齐次坐标 表示一个n维的无穷远点 0),.,(21nxxx 1.对称变换对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） （1）相对于y轴对称（2）相对于x轴对称yyxx关系几何 1100010001 11yxyxyx形式矩阵yyxx关系几何 1100010001 11yxyxyx形式矩阵oyx对称变换（1）yxo对称变换（2）（3）相对于原点对称（即中心对称）（4）相对于直线y=x对称yyxx 1100010001 11yxyxyx关系几何形式矩阵形式矩阵

5、关系几何xyyx 110000101011xyyxyxoxy对称变换（3）xyoy=x对称变换（4）（5）相对于直线y=-x对称xyyx几何关系 110000101011xyyxyx矩阵形式xyoy=-x对称变换（5）（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成角的 倾斜线，而保持y坐标不变。 x 错切变换（1）yxayyctgx 有ctga 令yyayxx 代入得yyxxx 几何关系11000100111yayxayxyx矩阵形式（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切 将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成角的 倾斜线，而保持x坐标不变。 错切变换（2）yxy 11

6、000100111ybxxbyxyx矩阵形式几何关系yyyxx byyctgx 有ctgb 令yyayxx 代入得1.相对于任意点（相对于任意点（x0 , y0）的比例变换）的比例变换 对任意点比例变换的步骤： （1）平移变换 （2）相对于原点的比例变换 （3）平移变换 l当（x0 , y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。 1010001001yxT1000000yxSSS1010001002yxT 1000000 112233yxSSyxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意点比例变换示意图平移 111

7、yx平移比例 21STTT TyxSTTyxyxyx 1 111112111442.绕任意点（绕任意点（x0 , y0）的旋转变换）的旋转变换 绕任意点旋转变换的步骤： （1）平移变换 （2）对图形绕原点进行旋转变换 （3）平移变换 (x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1)(x4,y4)相对于任意点(x0,y0)的旋转变换 1000cossin0sincos 112233yxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意点旋转变换示意图平移 100yx平移旋转1010001001yxT1000cossin0sincos

8、 R1010001002yxT 21RTTT TyxRTTyxyxyx 1 11111211144l三维齐次坐标三维齐次坐标l(x,y,z)(x,y,z)点对应的齐次坐标为点对应的齐次坐标为l标准齐次坐标标准齐次坐标(x,y,z,1)(x,y,z,1)l右手坐标系右手坐标系 ),(hzyxhhh0,hhzzhyyhxxhhhxyzl平移变换平移变换 1010000100001zyxTTTTl放缩变换放缩变换1000000000000zyxsssSl旋转变换旋转变换: :右手螺旋方向为正右手螺旋方向为正绕绕x x轴轴10000cossin00sincos00001)(xRyxyzzyzoox轴指

9、向纸外10000cossin00100sin0cos)(yR绕绕y y轴轴zyzxxzxooy轴指向纸外绕绕z轴轴1000010000cossin00sincos)(zRxzxyyxyoox轴指向纸外绕轴旋转角l错切变换错切变换zyxzyxzyxzyxzyxzyx三维错切变换沿z含x错切沿z含y错切沿y含x错切沿y含z错切沿x含y错切 沿 x 含 z 错切l三维变换的一般形式三维变换的一般形式旋转、比例、错切、对称平移透视投影总体比例44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaAl右手坐标系：当右手四指沿x轴至y轴方向握紧，拇指所指的方向即为

10、+z方向（缺省坐标系）l左手坐标系：判断方法类似，用左手l利用平移矩阵，将点V=(x,y,z)T平移至V=(x+Tx,y+Ty,z+Tz)T处，表示为V=V+Tl利用缩放矩阵，将点V=(x,y,z)T缩放(d1,d2,d3)倍其中对角线上的元素表示对应坐标系分别放大(di1)或者缩小了(di1)的量l矩阵R是旋转矩阵，如果R的转置等于R的逆，即RTR=RRT=Il每个矩阵R对应一单位长度的旋转轴U和旋转角度。该对应并不是唯一的，例如-U也是对应R的旋转轴l当点绕x轴以逆时针方向（从x轴正方向向原点看）旋转角时，旋转矩阵为：xyzl当点绕y轴以逆时针方向旋转角时，旋转矩阵为：l当点绕z轴以逆时针

11、方向旋转角时，旋转矩阵为： 令令 c=cos(q) c=cos(q) 且且 s=sin(q)s=sin(q)沿沿X-X-轴轴s:s:沿沿Y-Y-轴轴s:s:沿沿 Z-Z-轴轴: :10000cs00s-c00001)(xR 10000c0s-00100s0c )(Ry 1000010000cs00s-c )(Rzl矩阵复合可完成对空间点的任意操作l矩阵乘法不满足交换率，因此复合的次序非常重要！l例如：先缩放后平移先平移后缩放l通常情况下，给出的旋转矩阵是绕原点旋转的。因此首先要将物体平移至原点，进行旋转，再平移回来。l如何得到变换矩阵：将物体平移至原点绕坐标轴旋转将物体重新平移至其原先的位置l

12、将盒子绕平行于z轴且经过P=(Tx,Ty,Tz)T点的直线旋转 P x z y y z x 初始状态结束状态l平移至原点l旋转l再平移回来 x z y y z x y z x l将每一步的基本变换矩阵连接，得到总的变换矩阵110001000100011000010000cossin00sincos10001000100011zyxTzTyTxTzTyTxzyxO Ou ux xy yv vcXcZcY1OwXwZwYwO wwwZYX,cccZYX,vu,yx,uuYX ,ddYX ,tzyxRzyxwwwccc11013wwwTcccxyxtRzyxC CB BA AB BO Onmf111fn fm ccczyxM,cXcZcYuYuXuuyxm,ccuzxfxccuzyfy101000000001cccuuczyxffyxz ccuzxfx ccuzyfy 101000000001cccuuczyxffyxz cYuYuXcXcZccczyxM,1Ouuyxp,dt uYuXdruuyuduuxudyxyyyxxxuu, a :barrel distortionb :pincushion distortionab uYuXAxis of min tangentialdistortionAxis of maxTangentialdistortionsi