第三章 应力计算及强度条件课件

1、例例 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径，直径 d =14mm，许用应力，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度校核强度) )。解解：1、轴力、轴力FN =F =25kNAFNmax2、应力、应力：3、强度校核强度校核： 170MPa162MPamax此杆满足强度要求，能够正常工作。此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25KNXFN24d F23014014310254.MPa162解解：1、轴力、轴力FN =F =25kN2、应力、应力：AFNmax2、应力、应力：23014014310254.AFNmax2、应力、应

2、力：MPa162AFNmax2、应力、应力：例例 已知简单构架：杆已知简单构架：杆1 1、2 2截面积截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许材料的许用拉应力用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F F的许用值的许用值 F解：解：1. 轴力分析轴力分析0 , 0 yxFF由由)( 2N1拉伸拉伸FF)( N2压缩压缩FF2,t1t11AFAFNkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2AFkN 14.14 F2. 利用强度条件确定利用强度条件确定F（A1=A2=100 mm2，许用拉应力，许用拉应力 t =200

3、MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa）例例 已知已知：l, h, F（0 x 1 1 故可用欧拉公式计算。故可用欧拉公式计算。11 7001211105.77yli其柔度为其柔度为12.4 12.4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz12.4 12.4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（2 2）计算）计算xoyxoy平面内的临界力平面内的临界力 及临界应力。及临界应力。如图（如图（b b）, ,截面的惯性矩为截面的惯性矩为43cm2880121220zIcm46. 320122880AIizz相应的惯性半径为两端固定时长度系数两端固定时

4、长度系数5 . 011010146.37005 .01 zil柔度为柔度为7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz 应用经验公式计算其临界应力应用经验公式计算其临界应力, ,查表查表得得 kN8 .2322 . 012. 0107 . 96AFcrcr 12.4 12.4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核194. 0,3 .29bMPaaMPa7 . 9101194. 03 .29 bacr则则临界压力为临界压力为木柱的临界压力木柱的临界压力临界应力临界应力kNFcr161MPacr73. 6 7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz例例：图示起重机，图示起重机， AB 杆

5、为圆松木，长杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直，直径为：径为： d = 0.3m，试试求此杆的许用压力。（求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰支；面两端视为铰支；xz 面一端视为固定，一端视为自由）面一端视为固定，一端视为自由）803 . 0461iLz解：解：折减系数法折减系数法1、最大柔度x y 面内面内， z = 1.0F1BF2xyzoz y 面内面内， y = 2.0max1603 . 0462iLy23000,80:时木杆xy cr )(91287. 143002kNAFcrBCBC2、求折减系数3、求许用压力711 . 0,160时时查查表表：木木杆杆)(287.1

6、MPacrmax1603 . 0462iLy,52. 1,74.12021cmzcmA12zzII )2/( 22011azAIIyy)2/52. 1 (74.126 .2522a2)2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a即例：例：图示立柱，图示立柱，L=6m，由两根，由两根10号槽型号槽型A3钢组成，下端固定，上钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的？时，立柱的临界压力最大值为多少？临界压力最大值为多少？解解：1 1、对于单个对于单个1010号槽钢，形心在号槽钢，形心在C C1 1点。点。两根槽钢图示组合之后两根槽钢图示组合之后: :a=

7、4.32cm（z1）.6 .25,3 .1984411cmIcmIyz46 .3963 .1982cmyzII 当当时最为合理：时最为合理：iL22)( lEIFcr2 2、求临界力求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力大柔度杆，由欧拉公式求临界力。1267 . 0AIz481074.122106 .39667 . 0p5 .106)(8 .443)67 .00(106 .39620022kN. )(8 .443kNFcr例：例：一等直压杆长一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cmA=14.72 cm2 2，I=79.95 cmI=79.95 cm4 4， E E =210 GPa

8、=210 GPa，F F =60 kN=60 kN，材料为，材料为A A3 3钢，两端为铰支座。钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。试进行稳定校核。 1 1、nst= 2= 2； 2 2、=140 MPa解：解：1、安全系数法、安全系数法：il)(3 .1431073.149 .14510210)(2322222kNAELEIFcrwcrstnFF73.1494.791004 . 311009 .145p)(7 .7121 .143kNkNF602、折减系数法、折减系数法9 .14573.1494.791004 . 31il查表查表 =140，=0.349；=150，=0.306。33. 09

9、 . 510306. 0349. 0349. 09 .145 )(2 .4614033. 0)(7 .401073.14106023MPaMPaAF例例1 1 简支梁，跨中受集中力简支梁，跨中受集中力F 作用，计算其应变能及最大作用，计算其应变能及最大挠度。挠度。Fl / 2l / 2Fl / 4 max解解: : 弯矩方程弯矩方程( )2FxM x （1 1）应变能）应变能2 2 022 3 2 0( )2 d2()22 d296llMxVxEIFxF lxEIEI（2 2）最大挠度）最大挠度2 3max1296F lVFEI3max48FlEI例例2 2 由应变能密度公式，导出横力弯曲时的

10、弯曲应变能和由应变能密度公式，导出横力弯曲时的弯曲应变能和剪切应变能。剪切应变能。tmdxxn解解: : mn截面，距中性轴为截面，距中性轴为y 处的应力处的应力y( )M xyI22212( )22MxyEEIS( )zF x SIbt222S222( )()22zFx SGGI bttmdxxnyzbhydAy单元体的体积：单元体的体积：dddVAx弯曲应变能：弯曲应变能：2212( )2MxyEI22S222( )()2zFx SGI b2212( )dd d2MxVyA xEI剪切应变能：剪切应变能：22S222( )()dd d2zFx SVA xGI b整个梁的弯曲应变能：整个梁的

11、弯曲应变能：22212( )( )ddd22lAlMxMxxVyAxEIEI222SS222( )( )()ddd22zlAlFxkFxSVAxxGIbGAtmdxxnyzbhydAy2212( )dd d2MxVyA xEI22S222( )()dd d2zFx SVA xGI b整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：21( )d2lMxxVEI整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能：* 222()dzASAkAIb横力弯曲时梁的应变能：横力弯曲时梁的应变能：22S( )( )dd22llkFxMxxVxEIGA讨论：讨论：l k 量纲一的因数量纲一的因数矩形截面：矩形截面：* 222()

12、dzASAkAIb6/5k 圆形截面：圆形截面：10/9k bhFl / 2l / 2xl 对于矩形截面对于矩形截面S( ), ( )22FFM xxF x2211215VhVlbhFl / 2l / 2x2211215VhVl51 , 3 . 0lh(i)21:0.125VV 101 , 3 . 0lh(ii)21:0.0312VV l 所以，对细长梁，剪切应变能可所以，对细长梁，剪切应变能可忽略不计忽略不计 例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的挠度。的挠度。Fxl解：解：xFxM)(lEIlFxIExMV6d2)(322B

13、wFW21，得由WV EIFlwB33例题：悬臂梁在自由端承受集中力例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。设作用。设EI为常数，试求为常数，试求梁的应变能。梁的应变能。LFMeAB解：解： 弯矩方程弯矩方程FxMxMe)( 变形能变形能EILFEIFLMEILMdxFxMEIdxEIxMVeeLeL622)(212)(222222LFM0AB 当当F和和M0分别作用时分别作用时EILFVEILMVe623221VVV21 用普遍定理用普遍定理EILMEIFLwwweMAFAA23)()(230EILMEIFLeMAFAAe2)()(2EILMEIFMEILFMFwW

14、VeeAeA22621212232 例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。1CwB221BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC1621得：IElMwC1621由此得：F 例：求图示悬臂梁中点例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。C1CwB221BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC2221得：IEMlwC821由此得：F例例 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系xPxPxMA)(EIPL33将内力对PA求偏导xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()( LxEIPx02dALPEIxO 求转角 A求内力A

15、MxPxM)(没有与A向相对应的力（广义力），加之。EIPL22 “负号”说明 A与所加广义力MA反向。EIPLA22 将内力对MA求偏导后，令M A=01)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()( LxEIPx0d求变形（ 注意：M A=0）LxO APMA例例 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。)()()(111xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0 xxBCPPxMPALxBPx CfxOx1变形（ 注意：Px=0）LxxxPxM

16、EIxMPUxfd)()( )(xxxxxLPEI0111d)(1)2)(3(223LxxxLxEIP例例 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，0 Cf将内力对RC求偏导)5 . 0()()(xLPxLRxMCAB)()(xLRxMCBCxLRxMCAB)(取静定基如图xLRxMCBC)(PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC变形LCCCxRxMEIxMRUfd)()( LCLxxLRxxLxLPEI025 .00d)(d)()5 .0(10)3485(133LRPLEIC165PRC2.求Bf将内力对P求偏导)5 .0()(165)(xLPxLP

17、xMAB)(165)(xLPxMBC16311)(LxPxMAB16)(5)(xLPxMBC求内力变形LBxPxMEIxMPUfd)()( LLLxxLPxLxPEI5 .0225 .002d)()165(d)16311(1EIPL76873例例lxqFxM630目录2320002 542 300( )d1dd22612252153llVq xMxxVVFxxEIEIlq lq FlF lEI321521340FllqEIFVEIlqFVwFA30400目录例例目录xlMxMB)(222)(22qxqlMxlMqlxMBBxMxMxMEIMVlMBMMBBBBBd)()(10000目录2lxM

18、M(x),2qx2qlqlxM(x)AB段：lxMM(x)0，M(x)BC段：0MB220M0MB0MBBBBEIqlxlxqxqlqlxEIlB247d22213022目录例：试用莫尔定例：试用莫尔定理计算图理计算图(a)所所示示悬臂梁自由端悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。FABABABlxxx11xxMFxxMbB)(,)()(,) 1 (0所示如图截面作用一单位力在解：vM x MxEIxBl( )( )0dlxIEFx02d EIFl331)(,)()(,)2(0 xMFxxMcB所示如图截面作用一单位力偶在BlM x MxEIx( )( )0dlxIEFx0dEIFl22

19、例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。LFIEMxIExMxMwClBd)()(32212lFlIE IEFl33FlF解（1）求自由端的挠度FlFm=1(2) 求自由端的转角求自由端的转角1212FlIEB顺时针IEFl22例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁的最大挠度和最大示简支梁的最大挠度和最大转角。转角。qlql28/l/4M325823222maxlqllIEw 53844qlEI解解（1）简支梁的最大挠度简支梁的最大挠度2183212maxqllIEqlEI324ql28/（2）求最大转角）求最大转角最大转角发生在两个

20、支座处最大转角发生在两个支座处 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁示简支梁C截面的挠截面的挠度和度和A、B截面的转角。截面的转角。CL12TU34解：解：2812MlIEwC IElm162l / 4AEIml1213mlEI6顺时针BEIml1223mlEI3逆时针 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的的挠度和转角。挠度和转角。CL12TU35解：解：432312lqllIEwB qlEI48ql22BEIlql13212qlEI36顺时针ql22 例：试用图乘法求图示悬臂梁中点例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的处的铅垂位移。铅垂位移。CL12TU

21、36解：解：mlIEwC812 mlEI28 例：图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载，承受均布载荷荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值； (2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。CL12TU37F解：解：(1)212322322132aqlaFaaFalIEC 0ql28/)(83alaqlFF(2)211212322132qlFaFalIEC 0ql28/)32(43alaqlF 例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求，试求D点的点的铅垂位移。铅

22、垂位移。CL12TU38解：解：32232aPaIECPaEI3 例：图示开口刚架，例：图示开口刚架，EI=const。求。求A、B两截面的相对角位移两截面的相对角位移 AB 和沿和沿P力作用线方向力作用线方向的相对线位移的相对线位移 AB 。CL12TU39解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0 例：用图乘法求图示阶梯状梁例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转截面的转角及角及E截面的挠度。截面的挠度。CL12TU40解：解：APaEIPaEI22125612162212PaEI212322312133IEPaIEPaE13123PaEI 例：图示刚架，例：图示刚架，E

23、I=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和转角和转角A 。CL12TU41解：解：qa2qa / 2qaqa22AHqaEIqaEI 441423135838142 惯性力问题惯性力问题一、一、 匀加速直线运动构件的动应力计算匀加速直线运动构件的动应力计算Fa 如图所示，一起重机绳索以等加速度 a 提升一等截面直杆，直杆单位体积的重量（比重、重度）为，横截面面积为 A，杆长为L，不计绳索的重量。求：杆内任意横截面的动应力、最大动应力。解：解：1、动轴力的确定xFNda)1 (gaAxFagAxmaAxFNdNd)1 (0gaAxFAxmaFNdNd2、动应力的计算)1 ()

24、1 (gaxAgaAxAFNdd3、最大动应力)1 (maxgaLLxda = 0时)1 (gaxstdstdstdddKgaK)1 (Kd动荷系数；下标下标 st受静荷载作用；受静荷载作用；下标下标d受动荷载作用受动荷载作用。jddjddNjdNdLKLKFKF;4、强度计算ddmax二、构件作等速转动时的动应力二、构件作等速转动时的动应力D 一薄壁圆环平均直径为 D，壁厚为 t，以等角速度 绕垂直于环平面且过圆心的平面转动，圆环的比重为 。求圆环横截面的动应力。qd解解：1、求动轴力22) 1 (222DgALmaFDRann2)2(2DgAgLaALLmaqnndFNdFNdd gDADqFDqqdDFYdNdddNd421sin220) 3 (2202、动应力的计算)2(;4222DRvgvgDAFNdd例：例：图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从距梁顶面 h 处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。FABCHL/2L/2AL/2L/2BFC解解（1）、动荷系数jdKH21133H961148H211FLEIEIFL（2）、最大应力（3）、最大挠度EIFLKKdjdd483maxmaxbZhYZdjddWFLKK