高等数学 上、下册6_1 微分方程的基本概念ppt课件

1、第六章第六章 微分方程微分方程 第一节第一节 微分方程的根本概念微分方程的根本概念 第二节第二节 可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程 第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第四节第四节 一阶微分方程的运用举例一阶微分方程的运用举例第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程第六节第六节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第八节第八节 二阶微分方程的运用举例二阶微分方程的运用举例 在几何、物理、力学及其他工程实践问题中在几何、物理、力学及其他工程实践问题中, ,人们经人们经常根据问题提

2、供的条件寻觅函数关系常根据问题提供的条件寻觅函数关系, ,可是在许多问题中可是在许多问题中, ,往往不能直接找出所研讨的函数关系往往不能直接找出所研讨的函数关系, ,而有时却可以列出而有时却可以列出所研讨的函数及其导数之间的关系式所研讨的函数及其导数之间的关系式, ,这种关系式就是所这种关系式就是所谓微分方程谓微分方程, ,微分方程建立后微分方程建立后, ,再经过求解微分方程再经过求解微分方程, ,可以可以得到所要寻求的未知函数得到所要寻求的未知函数. .本章主要引见微分方程的根本本章主要引见微分方程的根本概念和常见的几种类型的微分方程及其解法概念和常见的几种类型的微分方程及其解法, ,并经过

3、举例并经过举例给出微分方程在实践问题中的一些简单运用给出微分方程在实践问题中的一些简单运用. . 解解 设所求曲线方程为设所求曲线方程为( )yf x，由导数的几何意义，由导数的几何意义，( )yf x满足关系式满足关系式 d2dyxx 或或 d2 dyx x （1 1） 又因曲线经过点又因曲线经过点1,2，即即所求曲线方程应满足所求曲线方程应满足 12xy （2 2） 对关系式对关系式(1)两边同时积分，得两边同时积分，得 第一节第一节 微分方程的根本概念微分方程的根本概念我们先通过几个实例来说明微分方程的基本概念我们先通过几个实例来说明微分方程的基本概念. . 例例 1 1 设曲线过点设曲

4、线过点1,2，且在该曲线上任意点，且在该曲线上任意点,M x y处的切线斜率为处的切线斜率为2x，求该曲线的方程，求该曲线的方程. . 22 dyx xxC （3 3） 其中其中 C 为任意常数为任意常数. . 把条件（把条件（2 2）代入（）代入（3 3）式，得）式，得 221,1C C 把把1C 代入（代入（3 3）式，得所求曲）式，得所求曲 线方程为线方程为 21yx （4 4） 当当 C 取任意值时，不难作出取任意值时，不难作出（3）式式 的图形（图的图形（图 6-1） 321yxO图图 6-1解解 设质点降落的铅垂线为设质点降落的铅垂线为 x 轴，它与地面的交点为轴，它与地面的交点为

5、原点原点 O，并规定方向朝上为正，建立坐标系（图，并规定方向朝上为正，建立坐标系（图 6-2）.设设质点在时刻质点在时刻 t 时的位置为时的位置为( )x t，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律，22ddxmamFt.因为质点只受重因为质点只受重 力的作用（空气阻力忽略不记） ，力的作用（空气阻力忽略不记） ，Fmg ， 于是得到一个含有二阶导数的关系式于是得到一个含有二阶导数的关系式 22ddxmmgt 或或22ddxgt （5） 又，函数又，函数( )xx t满足下列条件：满足下列条件： 00d,0dttxxht （6） 例例 2 2 一质量为一质量为 m 的质点，从的质点，从高高 h 处，只

6、受重力作用处，只受重力作用从静止状态从静止状态自由下落，试求其运动方程自由下落，试求其运动方程. Ox地面地面图图 6-2h对关系式（对关系式（5）两边同时积分，得）两边同时积分，得 1dddxgtgtCt （7） 再对（再对（7）式两边同时积分，得）式两边同时积分，得 21121()2xgtC dtgtC tC （8） 这里这里12,C C都是任意常数，把条件都是任意常数，把条件00d,0dttxxht代入代入（7） 、 （） 、 （8）得）得 120,CCh 把把120,CCh代入（代入（8） ，得所求的运动方程） ，得所求的运动方程 212xgth （9） 上面两个实例，尽管实际意义不相

7、同，但解决问题上面两个实例，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数（或微分）的关系式，然后通过此关系式，求出满足所（或微分）的关系式，然后通过此关系式，求出满足所给附加条件的未知函数给附加条件的未知函数.（1）式和（）式和（5）式都含有未知函）式都含有未知函数的导数（或微分） ，我们称它们为微分方程数的导数（或微分） ，我们称它们为微分方程.一般的有一般的有如下定义如下定义. 定义定义 含有未知函数的导数（或微分）的方程称含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程为微分方程.如果微分方程中的未知函数是一

8、元函数， 则如果微分方程中的未知函数是一元函数， 则称这种方程为常微分方程；如果微分方程的未知函数是称这种方程为常微分方程；如果微分方程的未知函数是多元函数，则称为偏微分方程多元函数，则称为偏微分方程.如前面例如前面例 1 中的（中的（1）式）式和例和例 2 中的（中的（5）式都是常微分方程）式都是常微分方程.本章我们只介绍常本章我们只介绍常微分方程的一些微分方程的一些初步知识及简单应用，今后为方便起初步知识及简单应用，今后为方便起见，简称为微分方程（或方程）见，简称为微分方程（或方程）. 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶为

9、微分方程的阶. 例如，例例如，例 1 中的（中的（1）式是一阶微分方程，例）式是一阶微分方程，例 2 中的中的（5）式是二阶微分方程）式是二阶微分方程. 如果将某个函数及其导数代入微分方程中，使该方如果将某个函数及其导数代入微分方程中，使该方程左边恒等于右边，则称此函数为微分方程的解程左边恒等于右边，则称此函数为微分方程的解. 例如，例例如，例 1 中的（中的（3）和（）和（4）式所表示的函数都是）式所表示的函数都是方程（方程（1）的解；例）的解；例 2 中（中（8）和（）和（9）式都是方程（）式都是方程（5）的解的解. 如果方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与如果方程的解中所含相互独立的

10、任意常数的个数与方程的阶数相同，这种解称为为微分方程的通解方程的阶数相同，这种解称为为微分方程的通解. 例如例如，例例 1 中的中的（3）式是方程式是方程（1）的通解的通解；例例 2 中的中的（8）式是方程式是方程（5）的通解的通解. 若给方程通解中的所有任意数以确定的值，就得到若给方程通解中的所有任意数以确定的值，就得到微分方程的特解，即不包含任意常数的解，称为微分方微分方程的特解，即不包含任意常数的解，称为微分方程的特解程的特解. 例如，例例如，例 1 中的（中的（4）式是方程（）式是方程（1）的特解；例）的特解；例 2中的（中的（9）式是方程（）式是方程（5）的特解）的特解. 所有任意常

11、数的确定，要根据方程所给出的附加条所有任意常数的确定，要根据方程所给出的附加条件，在本课程中所指附加条件就是初始条件件，在本课程中所指附加条件就是初始条件. 例如，例例如，例 1 中的（中的（2）式是方程（）式是方程（1）的初始条件；）的初始条件；例例 2 中的（中的（6）式是方程（）式是方程（5）的初始条件）的初始条件. 一般的，一阶微分方程的初始条件为一般的，一阶微分方程的初始条件为00()y xy或写或写成成00 x xyy，二阶微，二阶微分方程的初始条件为分方程的初始条件为 0001(),;y xyy xy或写成或写成0001x xx xyyyy 例例 3 3 验证（验证（1）22si

12、n2 ;(2)e ;(3)3exxyxyy中哪些中哪些是微分方程是微分方程20yy的解，哪个是满足初始条件的解，哪个是满足初始条件01xy的特解的特解. 证证 （1） 因） 因2cos2yx ， 把， 把 y与与 y代入代入20yy，得得 左边左边2cos22sin20 xx右边，右边， 其中其中0,01,x yy为已知数为已知数. 微分方程解的图形称为此方程的积分曲线微分方程解的图形称为此方程的积分曲线.由于通由于通解中含有任意常数，所以它的图形是具有某种共同性质解中含有任意常数，所以它的图形是具有某种共同性质的积分曲线族的积分曲线族.如例如例 1 中方程（中方程（1）的通解）的通解2yxC

13、是抛是抛物线族，此图形的共性是每一条抛物线上任意一点物线族，此图形的共性是每一条抛物线上任意一点,M x y处的斜率均为处的斜率均为2x，如图，如图 111.而方程（而方程（1）的特）的特解是过点解是过点1,2的一条抛物线，也就是说，特解是积分曲的一条抛物线，也就是说，特解是积分曲线族中满足初始条件的某一条特定的积分曲线线族中满足初始条件的某一条特定的积分曲线. 6-1.所以所以sin2yx不是微分方程不是微分方程20yy的解的解. （2）因因22e ,2exxyy，代入代入20yy，得得 左边左边=222e2e0 xx=右边右边 又将又将0 x 代入代入2exy 中，得中，得01xy 所以所以2exy 是微分方程是微分方程20yy的解，并且是满的解，并且是满足初始条件足初始条件01xy的特解的特解. （3）因把）因把23exy ，26exy 代入代入20yy，得，得