稳态分析讲义 之 高等电力系统稳态分析 第二章 电力系统潮流计算

1、第二章 电力系统潮流计算Power Flow参考书籍参考书籍n电力系统潮流计算的计算机算法吴电力系统潮流计算的计算机算法吴际舜、候志俭，上海交通大学出版社际舜、候志俭，上海交通大学出版社 第一部分 经典算法及相关问题第一节第一节 功率方程和节点分类功率方程和节点分类 n功率方程功率方程n常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数和各节点的注入量的条件下，求解各节点电和各节点的注入量的条件下，求解各节点电压。因此，最容易使人联想到用电路里的节压。因此，最容易使人联想到用电路里的节点电压方程来建立潮流计算的数学模型。点电压方程来建立潮流计算的数学模型。n但在实际工

2、程中，节点注入量不是电流，而但在实际工程中，节点注入量不是电流，而是节点功率（？），因此节点电压方程要进是节点功率（？），因此节点电压方程要进行修改。行修改。UYIIZU对于庞大的交流系统，电流相位的测定十对于庞大的交流系统，电流相位的测定十分困难，而功率的测量却很方便，可由有分困难，而功率的测量却很方便，可由有功功率表和无功功率表得到功功率表和无功功率表得到一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n修改后的功率方程修改后的功率方程n其中：其中：n 分别为节点电源发出的有功、无功功分别为节点电源发出的有功、无功功率率 n 分别为节点负荷吸收的有功、无功功分别为节点负荷吸收的有功、无功功率率

3、 *iiiUjQPI),.,2 , 1(ni njjijiiiUYUjQP1*),.,2 , 1(ni LiGiiPPPLiGiiQQQGiGiQP ,LiLiQP ,一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n上式为电压的非线性隐函数，无法直接求解，上式为电压的非线性隐函数，无法直接求解，必须通过一定的算法求近似解。必须通过一定的算法求近似解。 n展开为直角坐标形式展开为直角坐标形式 （复数方程（复数方程实数方实数方程）程） n得实数方程：得实数方程： iiiijijijjfeU,jBGYnieBfGefBeGfQeBfGffBeGePnjjijjijinjjijjijiinjjijjij

4、injjijjijii, 2 , 1001111一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n展开为极坐标形式展开为极坐标形式 （复数方程（复数方程实数方程）实数方程）n令：令：n得实数方程：得实数方程： ijiiijijijeUU,jBGY)sin(G)cos(Bj)sin(B)cos(GUUe)UjB(GeUjQPjiijjiijn1jjiijjiijjin1jjjjijijijiiini, 2 , 10)sin(G)cos(BUUQ0)sin(B)cos(GUUPn1jjiijjiijjiijiijjiijn1jjii一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n变量的分类变量的分类n每

5、个母线每个母线i i有六个变量有六个变量 : :n不可控变量不可控变量( (扰动变量扰动变量) : ) : 不由系统控制不由系统控制, ,能能引起系统状态变化，一般作已知量引起系统状态变化，一般作已知量n控制变量：由系统控制，影响系统的运行状控制变量：由系统控制，影响系统的运行状态，一般作自变量态，一般作自变量n状态变量状态变量: : 描述、确定系统状态的最小一组描述、确定系统状态的最小一组变量，一般作待求量变量，一般作待求量),(iiiiDiGiDiGifeUQQPP、TDiDi)Q,P(= =p pT2D2D1D1D),Q,P,Q,P(TGiiG)Q,P(= =u uT2G2G1G1G),

6、Q,P,Q,P(Tii)f ,e (= =xT2211),U,U(一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n矩阵形式矩阵形式n线路功率计算：由状态变量决定线路功率计算：由状态变量决定 0) )p p, ,u u, ,x x( (f f*ijjiioiiijyUUyUUSij*j*i*iio*2iijijijy)UU(UyUjQPSij*i*j*jjo*2jjijijiy)UU(UyUjQPS一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n线路损耗：线路损耗：n功率方程讨论功率方程讨论 n稳态下稳态下, , 为常数为常数, , 线性线性网络网络n功率方程是非线性方程组功率方程是非线性方程组,

7、, 迭代解迭代解 n相角不单独出现相角不单独出现, , 为相对角度为相对角度, , 须指须指定某个定某个n变量变量6 6n n个个, ,方程方程2 2n n个个, , 须给定须给定4 4n n个变量个变量n潮流计算的约束条件潮流计算的约束条件 n电源节点电源节点: : jiijijSSSijijijjBGY50Hz,fji0kGimaxGiGiminPPPGimaxGiGiminQQQ一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n所有节点：所有节点：n重要线路：重要线路：i ij ji ij jmaxmaxn线路功率：线路功率：S SijijS Sijmaxijmax n功率方程的给定量及求解

8、功率方程的给定量及求解n理论上，给定理论上，给定 和和 可求可求 ，但要考虑三个，但要考虑三个因素：因素：n损耗取决于状态变量，故各节点的注入功率损耗取决于状态变量，故各节点的注入功率不能全部给定，要留下一对不能全部给定，要留下一对P PGSGS、Q QGSGS用于最后用于最后全系统功率平衡，将它们作为未知量；全系统功率平衡，将它们作为未知量； imaxiiminUUUijDiGiPPPijDiGiQQQp pu ux xx x0i一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n给定量：给定量： n不可控变量不可控变量( )( )：P PDiDi、Q QDiDi，共共2 2n n个个n除一对除一

9、对P PGSGS、Q QGSGS外的控制变量外的控制变量( )( )，共，共2(2(n-1)n-1)个个n一对状态变量一对状态变量( )( )U US S、S S，共共2 2个个n未知量：未知量：n余下的状态变量余下的状态变量U Ui i、i i（ ），），共共2(2(n-1)n-1)个。个。n余下的一对控制变量余下的一对控制变量P PGSGS、Q QGSGS，共共2 2个个 0ip pu ux xSi 一、功率方程和节点分类一、功率方程和节点分类n节点的分类节点的分类 nPQ节点：负荷功率节点：负荷功率 和电源功率和电源功率 给定，电压幅值和相角给定，电压幅值和相角 待求。按给定有待求。按给

10、定有功、无功功率发电的发电厂母线和没有其他功、无功功率发电的发电厂母线和没有其他电源的变电所母线或电源的变电所母线或T接线。接线。 nPV节点：负荷和电源的有功功率给定，负节点：负荷和电源的有功功率给定，负荷的无功功率和节点电压幅值也给定。电源荷的无功功率和节点电压幅值也给定。电源的无功功率和节点电压相角待求。有一定无的无功功率和节点电压相角待求。有一定无功功率储备的发电厂母线和有一定无功功率功功率储备的发电厂母线和有一定无功功率电源的变电所母线可以选作该类节点。电源的变电所母线可以选作该类节点。 n平衡节点：负荷功率及电压幅值和相角给定，平衡节点：负荷功率及电压幅值和相角给定，和电源功率待求

11、。系统的主调频厂母线选作和电源功率待求。系统的主调频厂母线选作平衡节点。平衡节点。 LiLiQP ,GiGiQP ,iiU,二、高斯二、高斯塞德尔迭代法（塞德尔迭代法（G_S） n设设A为非奇异方阵，则线性方程组为非奇异方阵，则线性方程组 Ax=b有有唯唯一解一解n现将该方程组改写成等价的方程组现将该方程组改写成等价的方程组n任意给定初值任意给定初值 , ,有如下迭代公式：有如下迭代公式： nM M称为迭代矩阵称为迭代矩阵 n该算法具有存储量小，程序设计简单的优点。该算法具有存储量小，程序设计简单的优点。 n需要解决的问题：需要解决的问题：n收敛性：算法收敛的充要条件为迭代矩阵的谱半径收敛性：

12、算法收敛的充要条件为迭代矩阵的谱半径小雨小雨1 1： （谱半径为矩阵特征值绝对值的最（谱半径为矩阵特征值绝对值的最大值）。大值）。x)0(xgMxx)() 1(kkgMxx1)(M二、二、高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法n收敛速度：谱半径越小，收敛速度越快。收敛速度：谱半径越小，收敛速度越快。n一维非线性方程的高斯迭代法一维非线性方程的高斯迭代法n解方程解方程 ，将该方程改写为，将该方程改写为 （可有多种形式）（可有多种形式）n猜测一个解的初始值猜测一个解的初始值 ，将其代入方程，将其代入方程n 为为 的一次修正值的一次修正值n以以 代入代入 ，得到，得到n重复上述过程，即重复上述过程，即 ，

13、直到，直到n称称k为迭代次数，为迭代次数， 为要求的精度为要求的精度0)(xf)(xFx )0(x)1()0()(xxFy) 1 (x)0(x) 1 (x)(xFy )2(x)()1()(kkxFx )1()(kkxxn算法图解算法图解n该算法的优点是简单，但收敛速度慢，阶梯该算法的优点是简单，但收敛速度慢，阶梯式逼近时台阶的高度越来越小，以至于迭代式逼近时台阶的高度越来越小，以至于迭代次数过多。次数过多。二、二、高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法y=f(x)y=F(x)yxy=xx(0)x(1)x(2)二、二、高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法n多维非线性方程的高斯迭代法多维非线性方程的高斯迭代

14、法n非线性代数方程组非线性代数方程组 n可以写成：可以写成： n于是可以有以下迭代格式：于是可以有以下迭代格式： n算法的收敛性主要由的算法的收敛性主要由的 谱半谱半径决定，小于径决定，小于1 1，收敛，越小收敛性越好，收敛，越小收敛性越好， 为方程的解为方程的解0f(x)(x)x)()() 1(0)0(kkxxxx*)()(*xxxxxTdef*x二、二、高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法n高斯高斯塞德尔潮流算法塞德尔潮流算法n由于平衡节点电压知道，不需迭代，并且对由于平衡节点电压知道，不需迭代，并且对于第二到第于第二到第i-1i-1号节点，第号节点，第k+1k+1次迭代值已知，次迭代值已知，

15、比比k k次的迭代值更为准确，因此迭代公式改次的迭代值更为准确，因此迭代公式改进为：进为： nijjkjijkiiiiikiUYUjQPYU1)(*)(*) 1(1),.,3 , 2(ni )(11)(*12) 1(*11)(*) 1(nijkjijijkjijikiiiiikiUYUYUYUjQPYU),.,3 , 2(ni 二、二、高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法： n在系统病态的情况下，收敛困难。在系统病态的情况下，收敛困难。 n重负荷节点重负荷节点 n负电抗支路负电抗支路 n较长辐射型线路较长辐射型线路 n长短线路接在同一节点上，且长短线路的比值很长短线路接在同一节点上，且长短线路的比

16、值很大大n计算速度缓慢计算速度缓慢 n每次迭代速度很快，但由于结构松散耦合，节点每次迭代速度很快，但由于结构松散耦合，节点间相互影响太小，造成迭代次数增加，收敛缓慢。间相互影响太小，造成迭代次数增加，收敛缓慢。 n程序编制简便灵活程序编制简便灵活 三、牛顿三、牛顿拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N_L） n算法的一般概念：算法的一般概念： n该算法实际上是该算法实际上是，对于一元普通方程，对于一元普通方程n设设 为方程的根，为方程的根， 为为 附近的某个近似解，附近的某个近似解，将将 在近似解在近似解 处泰劳展开：处泰劳展开：n如果用线性函数如果用线性函数n近似代替近似代替 ，于是原方程的线性化方

17、程为，于是原方程的线性化方程为 )(xfy x)0(xx)(xf)0(x 2)0()0()0()0()0()(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()()()0()0()0(xxxfxfxf)(xf)()()0()0()0(xxxfxfy三、牛顿三、牛顿拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N_L）n若若 ，其解记为，其解记为n得到根得到根 的新近似值的新近似值 。n特别地，如果特别地，如果 线性，则一次迭代就可以线性，则一次迭代就可以得到得到 。n一般地。在一般地。在 附近的线性化方程为附近的线性化方程为n若若 ，其解记为，其解记为n由此得到序列由此得到序列 ，这种迭代格式称为方，这种迭代

18、格式称为方程程 的牛顿迭代解法。的牛顿迭代解法。 0)()0( xf)0()0()0()1()()(xxfxfyxx)1(x)(xfx)(kx)()()()()(kkkxxxfxfy0)()(kxf)()()()1()()(kkkkxxfxfyx, 2 , 1 , 0k)(xfy )(kx三、牛顿三、牛顿拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N_L）n牛顿迭代法有明显的牛顿迭代法有明显的：n收敛速度：平方收敛收敛速度：平方收敛n收敛性：局部收敛收敛性：局部收敛)(xfy )0(x) 1 (x)2(x三、牛顿三、牛顿拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N_L）三、牛顿三、牛顿拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N_L）n

19、算法特点算法特点n平方收敛，开始时收敛比较慢，在几次迭代平方收敛，开始时收敛比较慢，在几次迭代后，收敛得非常快，其迭代次数和系统的规后，收敛得非常快，其迭代次数和系统的规模关系不大，如果程序设计良好，每次迭代模关系不大，如果程序设计良好，每次迭代的计算量仅与节点数成正比。的计算量仅与节点数成正比。 n对初值很敏感，有时需要其他算法为其提供对初值很敏感，有时需要其他算法为其提供初值。初值。 n对函数的平滑性敏感，所处理的函数越接近对函数的平滑性敏感，所处理的函数越接近线性，收敛性越好，为改善功率方程的非线线性，收敛性越好，为改善功率方程的非线性，实用中可以通过限制修正量的幅度来达性，实用中可以通

20、过限制修正量的幅度来达到目的。但幅度不能太小。到目的。但幅度不能太小。n对以节点导纳矩阵为基础的对以节点导纳矩阵为基础的G_S法呈病态的法呈病态的系统，系统，N_L法一般都能可靠收敛。法一般都能可靠收敛。 三、牛顿三、牛顿拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N_L）四、四、PQPQ分解法潮流分解法潮流 nN_L法的法的J阵在每次迭代的过程中都要发阵在每次迭代的过程中都要发生变化，需要重新形成和求解，这占据生变化，需要重新形成和求解，这占据了了N_L法的大部分计算时间，这也是法的大部分计算时间，这也是N_L法速度不能提高的原因。法速度不能提高的原因。n可能性：可能性：N_LN_L法可以简化成为定雅可比矩

21、法可以简化成为定雅可比矩阵法，如果固定的迭代矩阵构造得当，阵法，如果固定的迭代矩阵构造得当，定雅可比矩阵法可以收敛，但只有线性定雅可比矩阵法可以收敛，但只有线性收敛速度。收敛速度。 四、四、PQPQ分解法潮流分解法潮流)(xfy )0(x) 1 (x)2(x四、四、PQPQ分解法潮流分解法潮流n第一步假设：由于第一步假设：由于RXRX，有功无功解耦。有功无功解耦。 U/UL00HQPU/ULQHPUULMNHQP/四、四、PQPQ分解法潮流分解法潮流n第二步假设：一般线路两端电压相角差第二步假设：一般线路两端电压相角差 较小（一般较小（一般10201020度），且度），且 ，有：，有：得到得到

22、nHij =-UiUjBij , i、j=1 , 2 , , n-1 , i jnLij =-UiUjBij , i、j=1 , 2 , , m-1 , I jn第三步假设：第三步假设： , ; , ; 为正常情况下节点为正常情况下节点i i的注入无功功率的注入无功功率; ;此此时其他节点未接地；时其他节点未接地； 为除为除i i节点外其他节点外其他节点接地时节点接地时, , 由节点由节点i i注入的无功功率；注入的无功功率；所以所以 2-3l-2-3。我们可做如我们可做如下分析。下分析。n对圆对圆l l和和e e轴的交点轴的交点A A1 1，有有P=0P=0，Q=0Q=0。此时线路上此时线路

23、上没有潮流，节点的电压等于节点的电压没有潮流，节点的电压等于节点的电压。另另一交点是一交点是B B1 1，对应于短路的情况。对应于短路的情况。n圆圆2 2对应正常负荷情况，此时对应正常负荷情况，此时P P0 0，Q Q0 0，有两有两个交点分别是个交点分别是A A2 2和和B B2 2。交点交点A A2 2的电压在的电压在l l值附近，值附近，另一个交点另一个交点B B2 2的电压在的电压在0 0附近。两个交点都是潮附近。两个交点都是潮流方程的解。但对交点流方程的解。但对交点B B2 2的低电压解，运行上是的低电压解，运行上是不能实现的。这种情况下两个圆的两个交点相差不能实现的。这种情况下两个

24、圆的两个交点相差较远，从平启动开始算潮流较少可能收敛到低电较远，从平启动开始算潮流较少可能收敛到低电压点压点B B2 2上。上。五、五、潮流计算相关问题潮流计算相关问题n潮流解的存在性、多值性（潮流解的存在性、多值性（5 5）n圆圆3 3对应重负荷情况。此时对应重负荷情况。此时P P，Q Q都很大，两个交都很大，两个交点点A A3 3和和B B3 3靠得很近，因解点靠得很近，因解点A A3 3离平启动点离平启动点A A1 1太远，太远，从平启动开始潮流计算不易收敛。有时还会收敛从平启动开始潮流计算不易收敛。有时还会收敛到和到和A A3 3相距很近的另一交点相距很近的另一交点B B3 3点上。这

25、种情况叫点上。这种情况叫邻近多根，这时较难判断哪个解是稳定解。这种邻近多根，这时较难判断哪个解是稳定解。这种情况也是电力系统最容易出问题的情况。情况也是电力系统最容易出问题的情况。n当当P P，Q Q继续增大，继续增大，B B点和点和A A点逐渐靠拢，点逐渐靠拢，P P圆和圆和Q Q圆圆将相切。再继续增加负荷，当将相切。再继续增加负荷，当R RP P+R+RQ QD目标函数趋近于目标函数趋近于0（？）n无解无解-目标函数停留在不为目标函数停留在不为0的正值上的正值上n基于数学规划的潮流计算在内存需要量基于数学规划的潮流计算在内存需要量和计算速度方面都大大逊色于各种常规和计算速度方面都大大逊色于

26、各种常规潮流算法。潮流算法。一、问题的提出一、问题的提出n求求F(x)的最小值的最小值F(X)xX(0)F(X)=0二、潮流计算和非线性规划二、潮流计算和非线性规划n非线性代数方程组非线性代数方程组n或或n待求量：待求量：n给定量：给定量：bin可以标量函数可以标量函数), 2 , 1(0)()(nibgfiiixx0f(x) Tnxxx,21xf(x)f(x)xTF)(niiiniibgfF1212)()()(xxx0)(xF等等价价二、潮流计算和非线性规划二、潮流计算和非线性规划n同时，同时，0又是又是F(x)的最小值，因此，的最小值，因此，原方原方程组的求解转变成了求程组的求解转变成了求

27、F(x)的最小值，的最小值，也就是也就是求解求解 ，使：，使：n上式没有附加的约束条件，因此属于数上式没有附加的约束条件，因此属于数学规划中的无约束非线性规划的范畴学规划中的无约束非线性规划的范畴 x)(min)(xxFFnjgmjhtsFjj, 2 , 10)(, 2 , 10)(. .)(minxxx非线性规划标准形式非线性规划标准形式目标函数目标函数二、潮流计算和非线性规划二、潮流计算和非线性规划n通常的计算步骤通常的计算步骤n确定一个初始估计值确定一个初始估计值n置置k=0n从从 出发，按照能使目标函数下降的原则，出发，按照能使目标函数下降的原则，确定一个寻优方向确定一个寻优方向n沿着

28、沿着 的方向确定能使目标函数下降得最的方向确定能使目标函数下降得最多的一个点，也就是决定移动的步长。由此多的一个点，也就是决定移动的步长。由此得到一个新的迭代点得到一个新的迭代点n式中：式中： 为步长因子，由下式确定为步长因子，由下式确定n校验校验)0(x)(kx)(kx)(kx)()()()1(kkkkxxx)(min)(min)()()()1(kkkkFFxxx三、带有最优乘子的牛顿潮流算法三、带有最优乘子的牛顿潮流算法 n利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正量向量的修正量向量 作为搜作为搜索方向，并称之为目标函数在索方向，并称之为目标函数在 处的处的

29、牛顿方向。牛顿方向。n下面确定最优步长下面确定最优步长 n对于一定的对于一定的 ，目标函数是步长因子，目标函数是步长因子的一元函数的一元函数n极值条件存在条件：极值条件存在条件：)()()(1)()(kkkxfxJx)(kx)*(k)(kx)(k)()()()()()(kkkkFxx0)()()(kkdd三、带有最优乘子的牛顿潮流算法三、带有最优乘子的牛顿潮流算法n将采用直角坐标的潮流方程精确泰勒展将采用直角坐标的潮流方程精确泰勒展开：开：n引入标量乘子引入标量乘子 以调节变量的修正步长以调节变量的修正步长n其中其中 0)()()()0()0(xyxxJ)y(xyy(x)yxfss0)()()

30、()()()()()(22)0()0()0()0(cbaxyxxJxyyxyxxJxyyxyyxfsss)(,)(,)(,21)0(21)0(21xycxxJbxyyaTnTnsTncccbbbaaa三、带有最优乘子的牛顿潮流算法三、带有最优乘子的牛顿潮流算法n原方程组可简写为原方程组可简写为n代入目标函数代入目标函数n极值条件极值条件cbaf(x)2)()()()(12212niiiiniicbafFxxniiiiiiniiiicbcbacbadddd121220)2)(2)()(三、带有最优乘子的牛顿潮流算法三、带有最优乘子的牛顿潮流算法n将上式展开，可得将上式展开，可得n其中其中0332

31、210ggggniiniiiniiiiniiicgcbgcabgbag123121211023)2(三、带有最优乘子的牛顿潮流算法三、带有最优乘子的牛顿潮流算法n计算步骤计算步骤n确定一个初始估计值确定一个初始估计值n置置k=0n用牛顿法潮流用牛顿法潮流 求出求出n利用已经求得的利用已经求得的 ，求出，求出n计算计算 ，得到，得到n计算计算n解一元三次方程，计算解一元三次方程，计算n调整修正量调整修正量n更新更新)0(x)(kx)()(ksxyy )()()()()(kskkxyyxxJ)()(,kkba)()(kxy )(kc)(3)(2)(1)(0,kkkkgggg)*(k)()*()(k

32、kkxx)()()1(kkkxxx第四部分 最优潮流（OPF）一、简介一、简介 n基本潮流可归结为针对一定的扰动变量，基本潮流可归结为针对一定的扰动变量，根据给定的控制变量，求出相应的状态根据给定的控制变量，求出相应的状态变量，从而确定系统的一个运行状态。变量，从而确定系统的一个运行状态。n但基本潮流不能解决以下问题但基本潮流不能解决以下问题n当系统的状态变量超出了它们的运行条件限当系统的状态变量超出了它们的运行条件限制时，没有简便的手段使其恢复正常。制时，没有简便的手段使其恢复正常。 n当系统安全运行的方式很多时，无法得到其当系统安全运行的方式很多时，无法得到其中最经济的一种。中最经济的一种

33、。 一、简介一、简介n最优潮流定义：就是当系统的结构参数最优潮流定义：就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约束条选，所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。函数达到最优时的潮流分布。n最优潮流与基本潮流的不同点：最优潮流与基本潮流的不同点：n基本潮流的控制变量是给定的，而最优潮流基本潮流的控制变量是给定的，而最优潮流中的控制变量通过优选得到。中的控制变量通过优选得到。n最优潮流除了要满足潮流等式约束外，还必最优潮流除了要满足潮流等式

34、约束外，还必须满足大量的不等式约束条件须满足大量的不等式约束条件一、简介一、简介n基本潮流计算是求解非线性代数方程组，而基本潮流计算是求解非线性代数方程组，而最优潮流是一个非线性规划问题。最优潮流是一个非线性规划问题。n基本潮流仅仅完成计算功能，而最优潮流可基本潮流仅仅完成计算功能，而最优潮流可以根据实际需要自动优选控制变量，具有指以根据实际需要自动优选控制变量，具有指导系统进行优化调整的决策功能。导系统进行优化调整的决策功能。n最优潮流的发展最优潮流的发展n电力系统经济调度起源于本世纪电力系统经济调度起源于本世纪20年代前，年代前，30年代初提出了等微增率理论，年代初提出了等微增率理论，40

35、年代发年代发展为发电与输电协调方程式。形成经典经济展为发电与输电协调方程式。形成经典经济调度方法。调度方法。 一、简介一、简介n经典经济调度方法的缺陷：经典经济调度方法的缺陷： n推导过程中考虑了网损微增率，但没有考虑到平推导过程中考虑了网损微增率，但没有考虑到平衡节点的作用，平衡节点只起平衡电功率的作用衡节点的作用，平衡节点只起平衡电功率的作用 n除了有功功率越限外，其他约束都不便引入除了有功功率越限外，其他约束都不便引入 n50年代中期开始使用计算机分析潮流，年代中期开始使用计算机分析潮流，60年代初期法国学者年代初期法国学者Carpentier把经济调度把经济调度和潮流计算有机结合在一起

36、，提出最优潮流和潮流计算有机结合在一起，提出最优潮流的概念（的概念（OPF）。）。80年代年代D.I.Sun提出新的提出新的稀疏矩阵处理方法，及稀疏矩阵处理方法，及Maria提出的基于线提出的基于线性规划原理的处理不等式约束的算法，使最性规划原理的处理不等式约束的算法，使最优潮流实用化。优潮流实用化。 一、简介一、简介二、数学模型二、数学模型 n最优潮流的变量最优潮流的变量n控制变量控制变量 n除平衡节点外，其它发电机的有功出力除平衡节点外，其它发电机的有功出力n所有发电机节点及其具有可调无功补偿设备节点所有发电机节点及其具有可调无功补偿设备节点的电压模值（或无功出力）。的电压模值（或无功出力

37、）。n分接头可调变压器的变比分接头可调变压器的变比n状态变量状态变量 n除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。n除所有发电机节点及其具有可调无功补偿设备节除所有发电机节点及其具有可调无功补偿设备节点之外，其它所有节点的电压模值。点之外，其它所有节点的电压模值。二、数学模型二、数学模型n最优潮流的目标函数最优潮流的目标函数n全系统的发电燃料总耗量（或总费用）全系统的发电燃料总耗量（或总费用）n有功网损有功网损n等式约束条件：基本的潮流方程等式约束条件：基本的潮流方程n不等式约束条件不等式约束条件n有功电源出力上下限约束有功电源出力上下限约束n可调无功电源出力

38、上下限约束可调无功电源出力上下限约束n分接头可调变压器变比调整范围分接头可调变压器变比调整范围n节点电压模值上下限约束节点电压模值上下限约束n元件中通过的最大电流或视在功率约束元件中通过的最大电流或视在功率约束n线路通过的最大潮流约束线路通过的最大潮流约束n线路两端节点电压线路两端节点电压二、数学模型二、数学模型n最优潮流的数学模型最优潮流的数学模型n最优潮流算法分类最优潮流算法分类 n按约束条件的处理方式的不同分类按约束条件的处理方式的不同分类n罚函数类：利用罚函数把所有约束引入目标函数，罚函数类：利用罚函数把所有约束引入目标函数，当当 和和 趋于无穷大（人为增大）时，下面的趋于无穷大（人为

39、增大）时，下面的最小化问题与原问题等价最小化问题与原问题等价n极值条件：极值条件： 0 x)h(u0 x)g(uxu,. .),(mintsfu0h(x)0g(x)x. .)(mintsf)(, 0max)()()(min221xxxxhgfFjjiii 1j20 xF二、数学模型二、数学模型nKT类：利用非线性规划的类：利用非线性规划的Kuhn_TuckerKuhn_Tucker条件条件n当存在等式约束时，可写出拉格朗日函数当存在等式约束时，可写出拉格朗日函数n对于不等式约束，引入松弛变量，化为等式对于不等式约束，引入松弛变量，化为等式约束。并合成为增广目标函数约束。并合成为增广目标函数n增

40、广目标函数的极值存在的必要条件为增广目标函数的极值存在的必要条件为 g(x)xTfL)()(2vh(x)TLC)4()3()2() 1 (0vv0vh(x)0g(x)0 xhxgxx2CCCfCTT二、数学模型二、数学模型n按修正的变量空间分类按修正的变量空间分类 n直接修正全部变量，包括控制变量和状态变量，直接修正全部变量，包括控制变量和状态变量，称直接法称直接法 n只修正控制变量，状态变量由潮流方程求出，称只修正控制变量，状态变量由潮流方程求出，称简化法简化法 n按变量修正的方向分类按变量修正的方向分类 n梯度法：一阶收敛梯度法：一阶收敛 n牛顿法：二阶收敛牛顿法：二阶收敛 n拟牛顿法：超

41、线性收敛拟牛顿法：超线性收敛 n内点法：将拉格朗日乘子法、牛顿法和对数障碍内点法：将拉格朗日乘子法、牛顿法和对数障碍函数三者结合。对数障碍函数使得不等式约束函数三者结合。对数障碍函数使得不等式约束“软化软化”，且统一处理变量和函数不等式。，且统一处理变量和函数不等式。 三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG） n简化梯度法首先由简化梯度法首先由Wolfe于于1963年提出，年提出，解决线性等式约束的非线性规划，由解决线性等式约束的非线性规划，由Abadie和和Carpentier推广到非线性约束，推广到非线性约束，称为广义简化梯度法称为广义简化梯度法(GRG)，考虑如

42、下考虑如下优化问题优化问题 n仅有等式约束条件时的算法仅有等式约束条件时的算法n应用拉格朗日乘子法应用拉格朗日乘子法 0 x)g(uxu,. .),(mintsfx)g(uxuxu,),(),(TfL三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG）n极值条件极值条件n求解，可以获得极值点求解，可以获得极值点n也可以从初始解出发，确定一个搜索方向，也可以从初始解出发，确定一个搜索方向，沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后从新的点开始，重复上述步骤。降，然后从新的点开始，重复上述步骤。)1961 (0)1951 (0)1941 (0

43、 x)g(u,uguuxgxxLfLfLTT三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG）n求解步骤求解步骤n设定初值设定初值n迭代计数迭代计数k=0n求出求出n 就是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵，渴就是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵，渴求出求出n将已经求得的将已经求得的 代入（代入（1-195）)0(u)(kxxgxxgfT1xu,xxguguuffLTT1三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG）n若若 ，说明这组解就是待求最优解，说明这组解就是待求最优解，计算结束，否则，转入下一步计算结束，否则，转入下一步n找到使目标函数下降的方向对控制变量进行找到

44、使目标函数下降的方向对控制变量进行修正。修正。n修正方向的求取修正方向的求取n函数在某点的负梯度方向是函数值在该点下函数在某点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向，所以降最快的方向，所以n求求0uL)()()1(kkkuuufck)(ufxxuudfdfdfTT三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG）n将潮流方程将潮流方程 在初始点泰勒展开，并略在初始点泰勒展开，并略去高阶项后可得去高阶项后可得n代入代入nf关于关于u的全微分的全微分n可知可知0 x)g(u,0 xxguugdduugxgxdd1uugxgxuudfdfdfTT1udfdfTxxgugufffTT

45、1三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG）n求求c(最优步长的求解最优步长的求解)n所以要求所以要求n得到得到n使得前后两次的梯度垂直使得前后两次的梯度垂直，所以迭代路径呈，所以迭代路径呈锯齿锯齿状，缓慢。状，缓慢。 )(min)(min)()()()1(kkkkfcffuuu0)()1(dcdfku0)()()()1(kkTffuu三、简化（简约、既约）梯度法（三、简化（简约、既约）梯度法（RG）n不等式约束的处理不等式约束的处理n外部罚函数外部罚函数n内部障碍函数内部障碍函数n乘子法乘子法n算法特点算法特点n收敛缓慢收敛缓慢n罚函数处理不等式约束会使收敛性变差罚函数处理不等式约束会使收敛性变差四、最优潮流计算的牛顿算法四、最优潮流计算的牛顿算法n牛顿法的基本原理牛顿法的基本原理n先考虑无约束优化问题先考虑无约束优化问题 n其极值存在的必要条件是其极值存在的必要条件是 ，一般情，一般情况下为一个非线性代数方程组，可用牛顿法况下为一个非线性代数方程组，可用牛顿法求解，其迭代格式为求解，其迭代格式为n于是得到以下迭代公式于