MATHEMATICA在高等代数与微积分中的实际应用

1、MATHEMATICA 在高等代数与微积分中的应用1高等代数运算 1.1 矩阵的输入例：输入矩阵、表输入:69命令：A=1,2,3,4,5,6,7,8,9A= 1, 2, 3, 4, 56 f 7, 6, 9)Out1= 1, 2* 3, 4, 5* 6, 7, 8, 9不过，我们看到输出的结果不是矩阵形式，如果希望得到矩阵形式，可再使用 函数 MatrixForm，如:inm= A- 1, 2f 3r 4, 5, 6f 8, 9 / MatrixForm/14Out(2/MatrixForm=258或者:ln8:= A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9;MatrixForm

2、AOut9/MatrixForm=、二阶方阵可直接用模板输入单击输入面板上的，再输入矩阵的元素即可，例如，求矩阵的逆:矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。或:或:求矩阵逆的函数是：In verse ,Inverse(:Dot1= Of lf lf 010 1'10- 、菜单来输入.操作：“输入”宀“创建表单/矩阵/面板 T” 二 对话框-选择“矩阵”- 输入行数和列数- 确“二 空白矩阵.计算 结果如下图示： 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例:fl 0 kiin3：= HatrixForm inverse 0 1010 0 1/Oytp/JTotatrixForm=fl 0| 0 10o 01 J 、增加行

3、与列按 Ctrl+ Shift +、输入任意矩阵增加行，Ctrl+ “ ”增加列例：输入任意矩阵A二a11ia21a12a22,可用命令：Arraya,2,2 / MatrixForm、创建一个n阶单位矩阵：IdentityMatrixn残骛楼諍锩瀨濟溆塹kArray®, m , n、创建一个对角线上为表list的元素的方阵:Diago nalMatrix list 仓U建m行、n 列的矩阵，元素为 ai, j 例: a1二123,4,5Diago nalMatrixa1 / MatrixForm1.2MATHEMATICA 的矩阵运算命令(1) a=a1,a2,an功能：定义一个一

4、维向量(a!,a2J|,an),这里a1,a2|,an是数或字母. a=Tablefj , j,n例： -玉蕊1：纠丁亀 口,.订Out1= 1, 4, 9, 16(3) a=a11,a 12, ,a 1n,a 21,a22,.,a 2n,.,a m1,a m2,.,a mn酽锕极額閉镇桧猪訣锥。ain功能:定义一个二 11矩阵：a -am1 111amn例:InR卑 a = 1/ 21 3 t if 5j 6 tOutpj- 1, 2t 3, 4, 5, 6), 7, B, 9in3：= a= 1# 2f 3), 4, 5, 6, 7* 8, 9 /NatrixFonn0utp/4vtatr

5、ixForrn=12 34 5 6 a=Tablefi,j , i , m, j , n功能：定义一个分量可以用fi,j计算的二矩阵，其中f是关于i和j的函数，给出矩阵在第i行第j列的元素值. 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例：5. -ii-ii ；i.1 j .? |'Out1/MtriM Form=(5) MatrixForma功能：把a按通常的矩阵或向量形式输出，其中a是矩阵或向量.(6) Diago nalMatrixlist功能：使用列表中list的元素生成一个对角矩阵.例：ln4:= a= 1, 2, 3；Diaqonalllatrix a / MatrixFormOutForTT

6、i=(10 0 XI 0 2 0U 0 3丿(7) Ide ntityMatrix n功能：生成n阶单位阵(8) A+B功能：求A与B的和，这里A与B都是矩阵或都是向量.(9) A-B功能：求A与B的差.这里A与B都是矩阵或都是向量.(10) k*A功能：求常数k与A的数乘，这里A是矩阵或向量.(11) A.B功能：求矩阵A与矩阵B的乘积，注意A与B之间的乘号“.” 必须使用数字键盘上的小数点.(12) a.b功能：求向量a与向量b的内积，注意a与b之间的乘号“.” 必须使用数字键盘上的小数点.(13) A.b 或 b.A功能：求矩阵A与向量b的乘积，注意A与b之间的乘号“.” 必须使用数字键

7、盘上的小数点.(14) .Transpose A功能：求矩阵A的转置矩阵.(15) . Inverse A功能：求矩阵A的逆矩阵(16) . MatrixPowerA ， n功能：计算方阵A的n次幕.(17) . DetA功能:求方阵A的行列式(18) ai, j 功能：取矩阵 a 的位于第 i 行，第 j 列的元素 .(19) . a i 功能：取矩阵 a 的第 i 行的所有元素或取向量 a 的第 i 个分量.(20) Transpose a j 功能：取矩阵a的第j列的所有元素.1.3 多项式运算命令 PolynomialGCDf,g功能：求多项式f、g的最大公因式。例：f=4 xA4-2

8、 xA3-16 xA2+5 x+9;g=2 xA3-xA2-5 x+4;PolynomialGCDf,g PolynomialQuotientf,g,x功能：求g除f的商，x为变量。 PolynomialRemainderf,g,x功能：求 g 除 f 的余式， x 为变量。 Lengthq1功能：求表 q1 中元素的个数。 Expandu功能：Expandf把分式u的分子展开，分母不变且被看成单项。例： f=4 xA4-2 xA3-16 xA2+5 x+9;g=2 xA3-xA2-5 x+4;Expandf/g Collectexpr， x， y 将 expr 表示成 x 的多项式，再把多项

9、式的每 一项系数表示成 y 的多项式。 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 Pol yno mialLCMp i，P2,. 求多项式Pi, P2，的最小公倍式。 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 PowerExpandexpr将(xy)n分解成 xnyn 的形式。 用mathematica进行分式运算Denomin atorf提取分式f的分母Numeratorf提取分式f的分子Expa ndDe nomin atorf展开分式f的分母Expa ndNumeratorf展开分式f的分子Expa ndf把分式f的分子展开，分母不变且被看成单项Expa ndAIIf把分式f的分母和分子全部展开ExpandAllf, x只

10、展开分式f中与x匹配的项Togetherf把分式f的各项通分后再合并成一项Apartf把分式f拆分成多个分式的和的形式Apartf, x对指疋的变量x (x以外的变量作为常数)把分式f拆分成多个分式的和的形式 茕桢广鳓鯡选块网羈泪Ca ncelf把分式f的分子和分母约分Factorf把分式f的分母和分子因式分解Factorf把f因式分解。1.3 应用举例：例A 求多项式的最大公因式及相应的u(x)、v(x)。在高等代数中有以下结论：最大公因式设F是一个数域，Fix 1是F上一元多项式环。定义1令f(x)和g(x)是F'x啲两个多项式 若是Fx啲一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x

11、),那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式.鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴。定义2设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式。若是d(x)能被f(x)与g(x) 的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式 .籟丛妈羥为贍债蛏练淨。 最大公因式的求法 一一辗转相除法设f(x)和g(x)是FLx 1的两个多项式且g(x)=O,用g(x)除f(x)，得到商式qi (x) 及余式ri (x)，如果ri(x) -0，那么再以ri (x)除g(x),得商式q?(x)及余式q(x )，如 果Q(x ) -0，再以r2(x )除ri(x)，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，

12、所 以此过程必在有限次后得到这样一个余式rk(x):它整除前一个余式r(x).这样我们就得到一串等式：預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。f(x)=g(x) q i (x)+ ri(x)g(x)= ri(x) q2(x)+2(x )ri (x)= r2(x )q3(x)+3(x) (1)r2(x)=(x) q k(x)+ r k4 (x)rkv(x)二 r“(x) q k(x)+ r k(x)rkv(x)二 r k (x)q k i(x)则rk(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式.由(1)的倒数第二个等式得：rk2 (x) - 厲斗(x)qk(x)二 R(x)令：Ui(x) = 1, Vi(x) =

13、qk(x)(2)则：rk2(x)ui(x) rk_i(x)vi(x)二 rk(x)(3)由(1)的倒数第三个等式得:(4)k；(x) - rk<(x)qk_i(x)二k_i(x)把(4)代入(3),并令U2(x)二 Vi(x), V2(x) = Ui(x) - Vi(x)qk_i(x)(5)即得：k；(x)U2(x) - 2(x)V2(x)二 rk(x)(6)一直下去，最后可得到u(x)与v(x)，使得：f(x)u(x) g(x)v(x) = rk(x) = d(x)( 7)算法描述：根据上述推导及结论，可以得到以下算法：1。 输入 f(x)与 g(x);2o辗转相除：定义数组q1 :存

14、储每次带余除法所得的商式。定义数组r1 :存储每次带余除法所得的余式。While(1)f(x)=g(x) q(x)+ r(x);if(r(x)=0) Break ;添加q(x)到q1，添加r(x)到r1 ;f(x)=g(x);g(x)=r(x);r1中的最后一个元素就是所求最大公因式.3° 求 u(x)与 v(x)k= q1 中元素的个数；u(x)=1;v(x)=-q1k;for(i=1,i<k,i+) w(x)=u(x);u(x)=v(x);v(x)=w(x)-v(x)*q1k-i;4o 输出结果； mathematic 程序f=4 xA4-2 xA3-16 xA2+5 x+

15、9;g=2 xA3-xA2-5 x+4;f1=f;g1=g;d=PolynomialGCDf,g;(*求多项式f, g的最大公因式*)q1=;WhileTrue,q=Poly nomialQuotie ntf,g,x;(* 求g除 f 的商,x 为变量 *)r=PolynomialRemainderf,g,x ;(* 求g除f 的余式,x为变量 *) Ifr=0,Break;AppendToq1,q;f=g;g=r;k=Lengthq1;u=1;v=-q1k;For i=1,i<k,i+,w=u;u=v;v=w-v*q1k-i;；u=Expa ndu;v=Expa ndv;Print&q

16、uot;当："Prin t"f(x)=",f1;Print"g(x)=",g1;Print"时，f(x)与g(x)的最大公因式是：",d;Print"并且可取:"Print"u(x)=",u;Print"v(x)=",v;Print"使得：:"Prin t" f(x)u(x)+ g(x)v(x)=",d;计算结果f (x) -9 + 5 x - 16 x2 - 2 x3 + 4 x4 g (x) =4 - 5 x - x2 +

17、 2 x3时，仁幻与魚沁)的最大公因式是：-丄+冥 并且可取：U(證)=+ 33r r 2 X 2 X2V(X ) =1 十33使得：二11f (x) u (x) +g (x) v (x) = - 1 + x例B求极大无关组问题Mathematica中，没有提供求向量组的极大无关组的功能，但是提供了用行 初等变换化简矩阵的功能：行简化矩阵： RowReduceA我们可以用此功能来求向量的极大无关组，因为我们有结论：矩阵的行变换不改变列的线性关系，此结论书中很少给出证明，下面我们给出具体结论及 证明，供大家参考 。 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。定理 对矩阵施行行的初等变换不改变其列的线性关系.即若：A

18、=但1忌，|2.)揪行初揪变换井B=(d,匕2,川,“)则：4*2,111,air线性相关? 0,*川，6线性相关. at能由a屜,111邑线性表示? b能由川,线性表示. a» a2,11|向是a1,a2,IH,an的极大无关组? bbi2川,g是b1,b2,lll,bn极大无 推论：设 A=(a1,|),am) , B=(b川,bj，且(A,B)= (a1, HI,am,b1,HLbt)揪行初揪换? (a1，,am,bll,bt)(A,B)则有： b1川,bt能(不能)由a1川,am线性表示=b1川,bt能(不能)由a1川,am线 性表示.由上述结论可知：要判定向量组ajH,an

19、的线性关系.可令A=®川,a.)，对A进行行变换使 之化简为B=(bi,|,bn)，则可由5,1|1,5的线性关系来判定之；要判断bH,bt能(不能)由aH,am线性表示，可令A= ®川,am), B= (b“川,bj , 对(A,B)进行行变换使之化简为(A,B),则可由bi,川,bt能(不能)由 ai川,am线性表示来判断之例 1：设 ai = (1,11)，a2= (0,3,2)，a3= (1,4,3)，判断 a“，a?，a3 的线性关系.解法一（人工解）：骣骣0以ai , a? , a3为列作矩阵A= | 3桫21 土4言对A作行变换，使之变为最简单形式:a2 a0

20、 3 2wow0Q02S?-1 1 OO 1 OS骣13 2 0 3 2(bibs)B .3土则有下列结论： Tb3 =bi + b2,a3 =ai + a2 .Tbi ,b3线性无关,ai ,a3线性无关. 又 bi , b2是bi , b2, b3的极大无关组，二ai , a2是ai , a? , a3的极大无关组.解法二(Mathematica 求解)：输入以下命令：a=Tra nsposei,i,i,0,3,2,i,4,3a/MatrixFormRowReducea /MatrixForm计算结果为：ln17:= a = Transpose1, lr 0, 3*(1, 4, 3a /

21、MatriomRo诬educe3 / MatriiffomOut171= (K Of lr tb 34U (1, 2f 3ijt 18/TVtatrixForm=/ 1 O 1134.123.Os 1Form=f 101OilL 0 0 ,可见，此化简结果与解法一相同，故可得相同结论。例 2 设有两组向量 ai= (1,2,3), a2 = (1,0,2)和向量组 6 = (3,4,8), b2=(2,2,5), b3= (0,2,1)，判定这两组向量是否等价.解：先以给定的向量为列作矩阵A= (ai ,a2 bi4,b3),对A作行初等变换，使a1 , a2 尽量化简，输入命令：a=Tra

22、nspose1,2,3,1,0,2,3,4,8,2,2,5,0,2,1铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。a/MatrixFormRowReducea /MatrixForm计算结果为：In20：= a = Transpoself 23), 1,0； lf J, 4* 叽2； 2； 5)；仙 2f 1) a MatrimoniiRm Seduce a /MatriiffomOutpD1 1, h 3,2f t)L (2, 0； 4, Zf 2； 3； 2f 8； 5f 1Outpi/WtrixForm=1 132Oi2 0422J2851Outp2/flVfetrij(FonTi=/I0211i0 111-

23、1LO0000j于是，设：A= (aa2 bb2,b3)=9 .-.z0 2 12 2 53 4 810 2A =o 1 o?-T一4=一： 一-rz1 o-1 1 o2 10b1 = 2a1 + a2 ,b2= ai+ a2 ,= 2a! + a2, b2 = a1 + a2 ,bi,b2,b3b3 = ai -b3= aia2a2二bi , b2 , b3能用ai, a2线性表示.再作矩阵B= (bi,b2,bai,a2)，对B是施行行变换使bs, b?, bi尽量化简,输入命令:b=Tra nspose3,4,8,2,2,5,0,2,i,i,2,3,i,0,2擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。b/M

24、atrixFormRowReduceb /MatrixForm计算结果为：hp3:= > = Transpose(3s« 8, 2, 2,5s 0,2,1, (1, 2,3s 1, 2 b / MatrixFormR0vRedurel) /khtrixFoimOut畸3* S 0,1, 1, (4, 2r 2t 2t 0打他 5f lf 3t 2-B一一21a3Q2b?._,.一.z10 212 3Outp4/AtatrixForm-/3 2 0 1 14 2 2 2 0(8 5 1 3 2)OLit25/MstrixForm=rl021-101-3-12L000001-1?1

25、2圭(b3,b2,bi,aa2)00歹2 3 0 -o 1 o-Bai =:bi-b2 ,a2 =:2b2 -bi ,ai =b1 -b2,a2 =2b2-bi,二ai, a2能由bi , b2, bs线性表示.综上即知这两个向量组等价.2微积分运算2.1 基本命令求极限命令有： 求极限的命令：Limit f, x x0 其中f :函数表达式，x:自变量，x0:自变量的趋向值. 求左极限的命令：Limitf ,x；xO,Direction-； +1其中f :函数表达式，x:自变量，xO：自变量的趋向值，+1 :左极限. 求右极限的命令：Limitf ,x >xO,Direction、一

26、1 其中f :函数表达式，x:自变量，xO:自变量的趋向值，-1 :左极限.求极值命令FindMinimumfx,x,xO找出fx在xO附近的极小值及极小值点.解方程命令 求方程 f（x）=g（x）的解：Solve f x =gx , x其中：fx=gx是方程，x :是未知数. 求方程的数值解NSolve方程或方程组，变量或变量组（用法和Solve相同）求导数命令：求导数的命令“ D”与求微分的命令“ Dt”Df,x 给出f关于x的导数，而将表达式f中的其它变量看作常量. 因此，如果f是多元函数，则给出f关于x的偏导数 .贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。Df,x,n 给出f关于x的n阶导数或者偏导数.D

27、f,x,y,z,给出f关于x,y,z,的混合偏导数.Dtf,x 给出f关于x的全导数，将表达式f中的其它变量都看作x 的函数.Dtf 给出f的微分.如果f是多元函数，则给出f的全微分.上述命令对表达式为抽象函数的情形也适用，其结果也是一些抽象符 命令D的选项NonConstants->指出内的字母是x的函数. 命令Dt的选项Constants->指出内的字母是常数.求积分命令： 求不定积分的命令：Integratef, x其中f :被积函数表达式，x :积分变量， Mathematica对不定积分的计算完成后输出的只是一个结果，而不定 积分的结果应是原函数族，因此需要自己加上积分常

28、数C.坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 求定积分的命令：In tergratef , x, a, b其中f ：被积函数表达式，x:积分变量，a：积分下限，b：积分上限. 数值积分：Nintegratef,x,a,b在a,b上求 f 数值积分Nintegratef,x,a,x1,x2, ,b 以 x1,x2 .为分割求a,b上的 数值积分 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解.特别是对于用Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用.買鯛鴯譖昙膚遙闫撷凄。2.2导数的求法求函数的导数与微分例1 求函数f(x)二sin axcosbx的

29、一阶导数.并求f .la + b 丿输入：DSi na*x*Cosb*x,x/.x->1/(a+b)计算结果：|叩：=D|Sina*x * Cos|b * x, x/.x->l/(a+ b)Sin Outi= a Cos I I Cos I -1 a + b J 1 a + b例2 求函数y = x10 (x-IO)9的1阶到11阶导数.输入:fx_:=xA10+2(x-10)A9DoPri ntDfx,x, n, n,1,11计算结果：怡古 fx : = xA10 + 2 (x -10)A9DoPrintDfxb x3 n), n, 1,1118 (-10 +x) + lOx&#

30、39;144 (-10 +X)T + 90 Xs1008 (-10 + x)& + 720 xT6048(-10 + x + 5040X630240 (-10 + x)4 + 30240 x5120960 (-10 +x)3 + 151200 x4362880 (-10 +x)£ + 604800725760 (-10 +x) + 1814400 X1725760 + 3628800x36288000或输入：TableDfx,x,n,n,11则输出集：in4：= TableDfxf k, n, n, 11Out4= (18 (-10 + x)f + 10x 144 (10 +

31、 x)? + 90x1008 (-10 + xjc + 720x 6048 (-10 +x)s + 5040 x6, 30240 (10 + x)4 + 30240x 120960 (-10 + x)s + 151200 x4, 362880 (-10 + x)E + 604800 x3f 725760 (-10 + x) + 1814400 X2x 725760+ 3628800xf 3628800, 0或输入：fx:=x"0+2(x-10F9TableDfx,x, n, n,11/.x->1则输出集：774840988,-688747446,535693248,-35712

32、3312,198434880,-88028640綾 镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。29998080,-4717440,4354560,3628800,0注：此处用到“循环语句Do”Do表达式，循环变量的范围其中，表达式中一般有循环变量，有多种方法说明循环变量的取值范围.最完整的格式是：Do表达式,循环变量名，最小值，最大值，增量其中，当省略增量时，默认增量为1.省略最小值时，默认最小值为1.例3求由方程2x2xy y2 x 2y0确定的隐函数的导数.方法1使用导数命令，输入：d1=D2 xA2-2 x*yx+yxA2+x+2 yx+1=0,x其中，输入yx以表示y是x的函数.输出为对原方程两边求导数后的

33、方程：W dl =D2xA2"2x*yx + yxA2 + x + 2yx + 1 =0, x0i/tl= 1+ 4x - 2 y x +2 y' x - 2 xy'x + 2 y(x yfx = 0再解关于y x的方程，输入：Solved1,y'x（此处的'是单引号）则输出所求结果:inp：= Solvedl, y*x方法2 使用微分命令.输入:Dt2 xA2-2x*y+yA2+x+2y+ 仁=0,xSolve%,Dty,x则输出：Out(4= 1 + 4x - 2 y + 2 Dty x - 2 x Dt(yf x) + 2yDty, x 

34、7; 0Out(5=注意：方法1是用y 'x表示导数，而方法2是用Dty,x表示导数. 例4求由方程2x2 - 2xy y x 2y0确定的隐函数的二阶导数输入：d1=D2 xA2-2 x*yx+yxF2+x+2 yx+仁=0,x d2=Dd1,xSolved1,d2,y' x,y'' x则输出结果岬卜 dl 二 D2 胪 2 -加搁 + yx|A2 + X+2 咽+1 = 0,期d2=Ddlfx|硕仙叫y屈y|绷OimP= l + 4x-2yx +2yfx -2x/x +2yxy'x 0Out(lO=+-2xyf xjylxly'jx: 0.8

35、 + %*肚绑冈)* _ gz讪 * v曲勺圉)”制JZ灿厂禺讪4刖冲今12曲U5 + 2y|x2(-l + x-yx)但结果是繁分式，对此，可用函数“ Simplify ”使其化简，如下所示，输入：d1=D2 xA2-2 x*yx+yxF2+x+2 yx+1=0,xd2二Dd1,xSolved1,d2,y' x,y'' x/Simplify则输出结果ini2：= dl=D2xA2-2 x*yx + yxA2 + x+2 yx| + l=0, x d2=Ddl,xSdvedld,yxF 刚 SimplifyOutp2>Ou! 13=l+4x-2yx +2/x -2

36、xyfx +2yxyrx » 0 44/x + 2/x£ + 2y,¥x -2xy,fx+ 2yx y；fx = 0锦。例5求由参数方程x二£在数学分析中已有结果:若:则:诛髅貺庑。l + 4x-2yx4(-1 + x-yx|)13+4x + axl-8C-l+x)yx+4yx1一小匕2皿-2咖；x"(t)， “(t)dy dy . dx dx dt dt/x于是求一阶导数，可输入命令:DEAt*Si nt,t/DEAt*Cost,t则得到：in H：= DEAt*Sin(t t|/DEAt*Costt於 Cost +(Et 5int0址1fl

37、=e* Cost -e* 5int求二阶导数，则再输入：D%,t/DEAt*Cost,t /Simplify则得到：in(i6：= D%,t|/DEAt*Cost|,t| /Sim)lify2严Outl6=(Cost2.3求二元多项式函数的极值理论基础：在数学分析中有以下结论：极值与驻点极值：设函数z = f(x,y)在点(xo,yo)的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除 点(xo,yo)外的任意点(x , y )，均有 f (x,y) < f (xo, y°)(或者 f (x,y) > f (xo, y°)，则 称点(x0,y°)为函数z=f(xy

38、)的极大值点(或极小值点).f(x0,y°)称为极大 值(或极小值)，极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极 值。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。驻点:使fx(x, y) =0, fy(x,y) =0同时成立的实数点(x , y )称为函数z二f (x, y) 的驻点. 极值存在的必要条件设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果(xo, yo)是极值点，则必有 fx(Xo,yo)=O, fy(Xo,yo)=O.极值存在的充分条件设函数z= f(x,y)在点(xo,yo)的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且(xo,yo)是 驻点设 A 二

39、fxx(xo,yo)， B= fxy(x0,y0) ,C 二 fyy(xo,yo)，贝S 当B2-AC：0时，点(xo, yo)是极值点，且当A ： 0时，点(xo, yo)是极大值 点；当A 0时，点(xo,yo)是极小值点； 当B2-AC 0时，点(xo,yo)不是极值点； 当B2 - AC = 0时，点(xo,yo)有可能是极值点也可能不是极值点.算法描述：根据上述结论，可以得到以下算法：1° 输入 z = f(x,y);2° 求 a(x ,y )二 fx(x ,y )、b(x ,yfy(x ,y )与A(x,y) = fxx(x ,y )、B(x,y fxy(x ,

40、y )、C(x, y fyy(x ,y )；3° 求 P(x, y)二 B(x, y)2 - A(x, y)C(x, y)；4°解方程组：fx(x,y0，取其实数解得到z二f(x,y)的驻点集S；fy(x,y)=05°依次取每个(xo,y。)，S，计算P(xo,y。)，依照极值存在的充分条来判断 (xo,yo)是否为极值点：若P(xo,y。)0，则(xo,yo)不是极值点；若 P(xo,yo):：o 且 A(xo,yo):：o，则 f(xo,yo)是极大值；若 P(Xo,y。)：0 且 A(xo,yo) 0，则 f(xo,yo)是极小值；若P(Xo, yo)=O,则不能确定(xo,yo)是否为极值点； 相关的 mathematic命令 Df x,y,x功能：求函数f(