同济大学(高等数学)第六篇多元微积分学

1、word第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学与其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数.一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题.但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数.本章将在一元函数微分学的根底上，讨论多元函数的微分与其应用.从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数如此可以类推.通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的根本原理以与解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法第1节多元函数的根本概念1.1 平面点集为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识

2、，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大局部问题是在区间上讨论的.在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域.1.1.1 邻域设PolMy。)是xOy平面上的一定点，是某一正数，与点P0(x0,y0)的距离小于的点P(x,y)的全体，称为点B(xo,yo)的邻域，记为U(P0,)，即U(Po,)P|PoP,亦即U(F0,)(x,y)J(x%)2(yy0)2U(Po,)在几何上表示以B(xo,yo)为中心，为半径的圆的部(不含圆周).o上述邻域U(Po,)去掉中心Po(xo,yo)后，称为Po(xo,yo)的去心邻域，记作U(Po,).oIU(P0,)(x,y)0J(xxo)2(yy。)2

3、o如果不需要强调邻域的半径，如此用U(P0)表示点P0(x0,y0)的邻域，用U(P0)表示P0(xo,yo)的去心邻域.区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系.设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，如此P与E的关系有以下三种情形：(1)点：如果存在P的某个邻域U(P)，使得U(P)E,如此称点P为E的点.(2)外点：如果存在P的某个邻域U(P),使得U(P)nE,如此称P为E的外点.(3)边界点：如果在点P的任何邻域，既有属于E的点，也有不属于E的点，如此称点P为E的边界点.E的边界点的集合称为E的边界，记作E.例如：点集E1x,y|0x2y21,除圆心与圆周上各点之

4、外圆的部的点都是E1的点，圆外部的点都是Ei的外点，圆心与圆周上的点为Ei的边界点；又如平面点集7 / 63E2图91x,y|xy1，直线上方的点都是E2的点，直线下方的点都是E2的外点，直线上的点都是E2的边界点(图9-1).显然，点集E的点一定属于E;点集E的外点一定不属于E;E的边界点可能属于E,也可能不属于E.如果点集E的每一点都是E的点，如此称E为开集，点集E1x,y|0x2y21是开集，E2x,y|xy1不是开集.设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，如此称开集E是连通集(图92).点集E1和E2都是连通的，点集E3x,y|xy0不是连通的(图9-2)

5、.图92连通的开集称为开区域(开域).E1是开区域.开区域从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集.如是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广.开区域E连同它的边界E构成的点集，称为闭区域（闭域），记作E（即E=EE）.闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广.如£2与£4x,y|x2y21都是闭域，而E5x,y|1x2y22既非闭域，又非开域.闭域是连成一片的且包含边界的平面点集.本书把开区域与闭区域统称为区域.如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆，即存在正数r,使EUO,r,如此称E为有界区域，否如此，称E为无界区域.例如Ei是有界区域，E2是无界区域.

6、记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果点P的任一邻域总有无限多个点属于点集E,如此称P为E的聚点.显然，E的点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点.例如，设E6x,y|0x2y21,那么点0,0既是日的边界点又是E6的聚点，但E6的这个聚点不属于E6；又如，圆周x2y21上的每个点既是E6的边界点，也是E6的聚点，而这些聚点都属于E6.由此可见，点集E的聚点可以属于E,也111111可以不属于E.再如点E7=1,1,（,）,（,），（一一）,，原点0,0是它的聚点，E72233nn中的每一个点都不是聚点.1.1.3n维空间Rn一般地，由n元有序实数组为？2，xn的全体组成

7、的集合称为n维空间，记作Rn.即Rn%?2，,xn|xiR,i1,2，,n.n元有序数组,乂2,xn称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标.类似地规定，n维空间中任意两点Px1,x2,-,xn与Qx1,x2,-,xn之间的距离为PQaV1X）2“2x2）2（ynxn）2.前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，P0Rn,s是某一正数，如此点P0的8邻域为UP°,P|PP0,PRn.以邻域为根底，还可以定义n维空间中点、边界点、区域等一系列概念.1.2多元函数的概念1.2.1 n元函数的定义定义1设D是Rn中的一个非空点集，如果存在一个对应法如此f,使得

8、对于D中的每一个点Px1,x2，,xn，都能由f唯一地确定一个实数y,如此称f为定义在D上的n元函数,记为yf&X2，Xn,X1,X2，XnD.其中XnX2，Xn叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作Df.取定X1,X2，,XnD,对应的fXl,X2，,Xn叫做为公，Xn所对应的函数值.全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为fD或Rf,即fDy|yfX,X2，,Xn,X1,X2，,XnDf当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作yfX,XD,DR；当n=2时，D为XOy平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作zfX,

9、y,X,yD,DR2,假如记Px,y,如此也记作二元与二元以上的函数统称为多元函数.多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法如此和定义域这两个要素.多元函数的定义域的求法，与一元函数类似.假如函数的自变量具有某种实际意义，如此根据它的实际意义来决定其取值围，从而确定函数的定义域.对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值围，就是函数的定义域.例1在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为YAKL其中A,均为正常数）.这是以K,L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数.该函数的定义域为K,L|K0,L0.例2求函数zlnyxjX的定义域D,并回出D的图形.1x2y

10、2解要使函数的解析式有意义，必须满足yx0,X0,1X2y20,即Dx,y|x0,xy,x2y21,如图93划斜线的局部.图93图941.2.2 .二元函数的几何表示设函数zfx,y的定义域为平面区域D,对于D中的任意一点Px,y,对应一确定的函数值zzfx,y.这样便得到一个三元有序数组x,y,z,相应地在空间可得到一点Mx,y,z.当点P在D变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一曲面S(图94).其中Sx,y,z|zfx,y,x,yD.而函数的定义域D就是曲面S在xOy面上的投影区域.例如zaxbyc表示一平面；z4一xy2表示球心在原点，半径为1

11、的上半球面.二元函数的极限二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广.二元函数的极限可表述为定义1设二元函数zf(P)的定义域是某平面区域D,Po为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于Po时，函数值f(P)无限趋于某一常数A,如此称A是函数f(P)当P趋于Po时的(二重)极限.记为lmf(P)A或f(P)APPo,PP)此时也称当PPo时f(P)的极限存在，否如此称f(P)的极限不存在.假如Po点的坐标为(xo,yo),P点的坐标为x,y,如此上式又可写为limf(x,y)A或f(x,y)x-x。，y-y。.x,yxo,yo类似于一元函数，f(P)无限趋于A可用fPA来刻画，点PPx,

12、y无限趋于PoPo(xo,yo)可用PoPJ(xxo)2(yyo)2刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义.定义2设二元函数zf(P)f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的一个聚点，A为常数.假如对任给的正数，不论多小，总存在0,当P(x,y)D,且P0P而xo)2(yy。)2时，总有f(P)A,如此称A为zf(P)当PP0时的(二重)极限.注定义中要求F0是定义域D的聚点，是为了保证在P。的任何邻域都有D中的点.注意到平面上的点P趋近于P。的方式可以多种多样：P可以从四面八方趋于P。，也可以沿曲线或点列趋于P0.定义1指出：只有当P以任何方式趋近于F0,相应的f(P)都趋近于同一

13、常数A时，才称A为f(P)当PP。时的极限.如果P(x,y)以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于F0(x0,y0)时，即使函数值f(P)趋于同一常数A,我们也不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，当P在D沿不同的路径趋于P0时，f(P)趋于不同的值，如此可以断定函数的极限不存在.二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法如此，这里不再一一表示.xy例3设f（x,y）x2y0,222,xy0，判断极限limx,y0,0,0f(x，y)是否存在？解当P(x,y)沿x轴趋于(0,0)时，有y=0,于x,yim0,0f（x，y）y00lim2x0x202当P(x,y)沿y轴趋于(0,0

14、)时，有x=0,x,yim0,0f（x，y）x0lim202y002y20.但不能因为P(x,y)以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在.因为当P(x,y)沿直线ykxk0)趋于(0,0)时，有limx,y0,0ykx这个极限值随k不同而变化，故limx,y0,0f(x,y)不存在.求如下函数的极限:limx,y0,02.xy4,(2)xylimx,y2xy.0,0x2y2'limx,y0,0ln1xy22y、xylim2xy4x,y0,0xylimx,y0,0xyxy2、xlimx,y0,0(2)当x0,y0时,0,有x2y22xy.这时，函数

15、2xy2有界，而xyy是当x-0且y0时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得limx,y0,02xy22xyln1xy(3)limx,y0,022y、xylimx,y0,0xy22yxylimx,y0,0f(x,y)lim-x0(1k)2x21k2从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数一样.1.4二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性.定义3设二元函数zf(x,y)在点P0(M,y0)的某邻域有定义，如果xlim00fx.yf(x0,y0),x,y，u如此称函数f(x,y)在点P0(x0,y。)处连续，P0(x0,y

16、0)称为f(x,y)的连续点；否如此称f(x,y)在F0(x0,y0)处连续(不连续)，P0(x0,y0)称为f(x,y)的连续点.与一元函数相仿，二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续，必须满足三个条件：函数在点P0(x0,y0)有定义；函数在P0(x0,y0)处的极限存在；函数在P0(x0,y°)处的极限与F0(x0,y0)处的函数值相等，只要三条中有一条不满足，函数在Po(Xo,y°)处就不连续.由例3可知，f(x,y)xy2y0,x22,xy20,在(0,0)处连续；函数Zy20,1在直线xyxy0上每一点处连续.如果f(x,y)在平面区域D每一点处都连

17、续，如此称f(x,y)在区域D连续，也称f(x,y)是D的连续函数，记为f(x,y)CD.在区域D上连续函数的图形是一既没有洞也没有裂缝的曲面.一元函数中关于极限的运算法如此对于多元函数仍适用，故二元连续函数经过四如此运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；二元连续函数的复合函数也是连续函与一元初等函数类似，二元初等函数是可用含x,y的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、x的根本初等函数、y的根本初等函数经过有限次四如此运算与复合所构成的，例如sinxy,2xy2,arcsin二等都是二元初等函数.二元初等函数在其定义域的xyy区域处处连续.与闭区间上一元连续函数的性质相类

18、似，有界闭区域上的连续函数有如下性质.性质1(最值定理)假如f(x,y)在有界闭区域D上连续，如此f(x,y)在D上必取得最大值与最小值.推论假如f(x,y)在有界闭区域D上连续，如此f(x,y)在D上有界.性质2(介值定理)假如f(x,y)在有界闭区域D上连续，M和m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，如此对于介于M与m之间的任意一个数C,必存在一点(x0,y0)D,使得f(x0,y。)C.以上关于二元函数的极限与连续性的概念与有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去.习题911 .判断如下平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边

19、界.22.(1)x,y|x0,y0；(2)x,y|1xy4；2(3)x,y|yx.2.求如下函数的定义域，并画出其示意图：word11 / 632yb2(2)z1;ln(xy)(4)Uzarccos22,xy3.设函数fx,y22xy3yf2,3；fxy,xy.4.讨论如下函数在点0,0处的极限是否存在:xy(2)z5.求如下极限:sinxylimx,y0,0(2)limx,y0,11xy22'xylnxeyxjim1,0122；.xy(4)limx,yxy16.证明：二元函数fx,y0,0xy2y2y110,在0,0点连续.0.7.设二元函数fx,yysin-sin,xy0,，试判断

20、fx,y在点0,0处0,xy0.的连续性.v22x工8.函数z邑在何处是连续的?y22x第2节偏导数与全微分2.1 偏导数的概念2.1.1 偏导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率.在这一节，我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念.设函数zfx,y在点x0,y0的某邻域有定义，x在x0有改变量xx0,而yyo保持不变，这时函数的改变量为xZfxo&x,yofxo,yo,fx,y关xz称为函数fx,y在x0,yo处关于x的偏改变量（或

21、偏增量）.类似地可定义于y的偏增量为yZfxo,yo&yfxo,yo有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义.定义1设函数zfx,y在xo,yo的某邻域有定义，如果lxmolirfxox,yo)f(x0,yo)x存在，如此称此极限值为函数Zfx,y在5,yo处关于x的偏导数，并称函数zfx,y在点,y0处关于x可偏导.记作Xxo,yyoxxxoyyo,zx：，fx(xo,yo)-类似地，可定义函数zfx,y在点xo,yo处关于自变量y的偏导数为记作liymozliymof(xo,yoy)f(xo,yo)xxoyyoxxo,zyyyoxxoyy。fy(xo,Yo).如果函数zfx,y在区域

22、D每一点x,y处的偏导数都存在，即f(xfx(x,y)lmox,y)f(x,y)xf(x,yy)f(x,y)fy(x,y)limy0y存在，如此上述两个偏导数还是关于x,y的二元函数，分别称为z对x,y的偏导函数(简称为偏导数).并记作-z,-z或,或Zx,Zy或fx(x,y),fy(x,y).xyxy不难看出，zfx,y在x0,y0关于x的偏导数fx(x0,y0)就是偏导函数fx(x,y)在x0,y0处的函数彳1,而fy(x0,y0)就是偏导函数fy(x,y)在x0,y0处的函数值.由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变量变化，相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极

23、限；因此，求偏导数问题仍然是求一元函数的导数问题.求f时，把y看做常量，将zfx,y看做x的一元函数对x求导；求时，把xxy看做常量，将zfx,y看做y的一元函数对y求导.三元与三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了.例1求函数zsinx+yexy在点1,1处的偏导数.解将y看成常量，对x求导得-exycos(xy)ysin(xy)；x将x看成常量，对y求导得zexycos(xy)xsin(xy).y再将x1,y1代入上式得例2求函数zx2yy2lnx4的偏导数.解一2xyy,卫x22ylnx.xxy例3设zxyx0,x1,求证：1zlnxyword证因为_zyx

24、y1,-zxylnx,xy所以二d_zzxyxy1-xylnxxyxy2z.yxInxyyInx例4求函数usinxy2ex的偏导数.解将y和z看做常量，对x求导得cos同样可得U2一2ycosxyyz2zecosxyexx。.13 / 632.1.2二元函数偏导数的几何意义而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的由于偏导数实质上就是一元函数的导数,斜率，因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义.设zfx,y在点x0,y0处的偏导数存在，由于fx(x°,y°)就是一元函数fx,y0d在x0处的导数值，即fx(x0,y0)=f(x,y0),故只须弄汨楚一兀函数fx,y0的dx

25、x%几何意义，再根据一元函数的导数的几何意义，就可以得到fx(x0,y0)的几何义.zfx,y在几何上表示一曲面，过点与曲面zfx,y相截得到截线1:假如将yy°代入第一个方程，得z面曲线，1在yy°上的方程就是zx0,y0作平行于xz面的平面yy0,该平面zf(x,y),yV。.fx,Yo.可见截线是平面yy。上一条平fx,yo.从而fx(x。，y。)=dfJy。)表示xx。1在点M。xo,Vo,fxo,Vo1处的切线对x轴的斜率(图9-5).fx,V的截线d_，一一一同理，fy(xo,Yo)=一f(x°,y)表不平面xx。与zdyyYozf(x,V),2:wo

26、rd在MoXo,y0,fXo,y02处的切线对y轴的斜率(图95).图9557 / 63例5讨论函数f(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数是否存在.xy2X22,xxy220,xy0,0,(0x)00-_220解fx(0,0)limf(0x,0)f(0,0)iim(0x)00.x0xx0x同样有fy(0,0)0.这明确fx,y在(0,0)处对x和对y的偏导数存在，即在(0,0)处两个偏导数都存在.由上节例3知：该函数在(0,0)处不连续.本例指出，对于二元函数而言，函数在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续.但在一元函数中，我们有结论：可导必连续.这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x轴与

27、y轴方向的变化率，fx(x0,y0)存在，只能保证一元函数fx,y0在x。处连续，即yy0与zfx,y的截线1在MOx0,y0,Z0处连续.同时fy(x°,y°)只能保证2在M°x°,y0,Z0处连续，但两曲线1，2在M0x0,y0,z0处连续并不能保证曲面zfx,y在M0x0,y0,z0处连续2.2 高阶偏导数设函数zfx,y在区域D具有偏导数=fx(x,y),fy(x,y),那么在xyDfx(x,y)与fy(x,y)都是x,y的二元函数.如果这两个函数的偏导数还存在，如此称它们是函数zfx,y的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数

28、：-(-)xxfxx(x,y),一(二)yx-(-)xyfyx(x,y),()yy2zfxy(x,y),xy2zfyy(Xy)，y阶，n阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6求函数zxy2.一一.一一.一xSiny的所有二阶偏导数和3z2yx解因为一z=y+2xsiny,xz=x+x2cosy,y2所以一2=2siny,x2=1+2xcosy,xy=1+2xcosy,yx2z=x2sinyy2从本例我们看到zxy，即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然.yx事实上，有如下定理.定理1如果函数zfx,y的两个二阶混合偏导数2在区域D连续，如yx此在该区域有定理i明确：二阶混合偏导数

29、在连续的条件下与求导的次序无关.对于二元以上的函数,也可以类似的定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.例7验证函数zln&y2满足方程2z2x所以lnx2y221n其中fxy（或fi2）与fyx（或f21）称为fX,y的二阶混合偏导数.同样可定义三阶，四x2x22xyy2y2.3 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道，一元函数yfx如果可微，如此函数的增量Ay可用自变量的增量Ax的线性函数近似求得.在实际问题中，我们会遇到求二元函数zfx,y的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量Az更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量Ax与Ay的

30、线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念.定义2设函数zfx,y在P0x0,y0的某邻域有定义，如果函数z在P0处的全增量zf%x,yoyfx0,yo可表示成zAxBy+o,其中A,B是与Ax,与无关，仅与xo,yo有关的常数，尸J(x)2(y)2,op表示当Ax一0,Ay一0时关于P的高阶无穷小量，如此称函数zfx,y在P0xo，yo处可微，而称AxBy为fx,y在点P0x0,y0处的全微分，记作dzxx,或dfxx0,即yyoyyodzxx0AxBy.yyo假如zfx,y在区域D处处可微，如此称fx,y在D可微，也称fx,y是D的可微函数.zfx,y在x,y处的全微分记作dz

31、,即dzAxBy.二元函数zfx,y在点P(x,y)的全微分具有以下两个性质：(1) dz是x,y的线性函数，即dzAxBy；(2) zdz,zdzo0,因此，当x,y都很小时，可将dz作为计算立的近似公式.多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续.但是对于可微函数却有如下结论：定理2如果函数zfx,y在点x,y处可微，如此函数在该点必连续.这是因为由可微的定义，得zfxx,yyfx,yAxBy+olimz0,x,y0,0即x,lym0,0f(xx,yy)f(x,y).即函数zfx,y在点x,y处连续.一元函数可微与可导是等价的，那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢？定理3

32、如果函数zfx,y在点x,y处可微，如此zfx,y在该点的两个偏导数_z,二都存在，且有xy,zzdzxy.xy证因为函数zfx,y在点x,y处可微，故zAxBy+o,p=J(x)2(y)2.令y0,于是xzfxx,yfx,yAxox由此得lim上lfxx,yfx,ylim#JJ,X0xx0xx0xx即A-x同理可证得B.y定理3的逆命题是否成立呢？即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢？一般情况下答案是否认的.如函数f(x,y)xy222,xyxy0,0,x2y20在0,0处两个偏导数都存在，但fx,y在0,0处不连续，由定理2知，该函数在0,0处不可微.但两个偏导数既存

33、在且连续时,函数就是可微的.我们不加证明地给出如下定理.定理4如果函数zfx,y在x,y处的偏导数-z,-z存在且连续，如此函数xyzfx,y在该点可微.类似于一元函数微分的情形规定自变量的微分等于自变量的改变量.即dxx,dyy,于是由定理3有dzzdxzdy-xy以上关于二元函数的全微分的概念与结论，可以类推到三元以上的函数中去.比如假如三元函数ufx,y,z在点Px,y,z处可微，如此它的全微分为duudxudyudz.xyz例8求如下函数的全微分：zx2sin2y；(2)uxyz.解一.z_._z_22_.(1)因为一2xsin2y,一2xcos2y,所以dz2xsin2ydx2xco

34、s2ydy.xyuyz1uyzuyz(2)因为yzx,zxlnxyxlnx,xyz所以duyzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzlnxdz.例9求zxyexy在点1,2处的全微分.解因二yyexy,xxexy得xy22e2,x1yy21e2,于是dzx122e2dx1e2dy.y2全微分的运算法如此类似于一元函数微分的运算法如此，有定理5（全微分四如此运算法如此）设fx,y,gx,y在Px,y处可微，如此1)f(xy)g(xy)在x,y处可微，且df(xy)g(xy)df(xy)dg(xy);2)假如k为常数，kf(xy)在点x,y处可微，且dkf(xy)kdf(xy)；3) f(xy)g

35、(xy)在点x,y处可微，且df(xy)g(xy)g(xy)df(xy)f(xy)dg(xy)；4)当g(x,y)w(M,-(y)在点x,y处可微,g(xy)f(xy)g(xy)df(xy)f(xy)dg(xy)g(xy)g(xy)例10求zxsinx2y2的全微分.解sinx222xcosx-2xycosydzd一一2xsinxxdsin22一一xysindx一22sinxy3.设zxy.x2y2,求c22222,2xcosxydx2xycosxydy习题921 .求如下各函数的偏导数：2八一2.Vxv!z3x6xy5y；(2)zIn；(3)zxye；(4)uxz.xx2.fx,yx2ye,

36、求fx0,1,fy0,1.z3,4,0,5y1+1xy2z2z4 .设z=e,求证：x一y-2z.xy5 .求如下函数的所有二阶偏导数.4422zxy4xy;(2)zexcosyxsiny；26 .设fx,y,zxyfzzx2,0,1.7 .验证rx2y2z28 .求如下函数的全微分.(1)z4xy35x2y6;x(3)zxy-；(4)z1yz9 .设fx,y,z一,x10 .设zexy,x1,y1x(3)zxlnxy；(4)uarctan.y22yzzx,求fxx0,0,1,fxz1,0,2,fyz0,1,0与、升2r2r2r2满足222xyzrx(2)zey；yr-22.xy求dz|1,1

37、,1.x0.15,y0.1，求dz.第3节多元复合函数和隐函数的求导法如此复合函数的求导法如此复合函数的求导法如此多元复现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法如此推广到多元复合函数的情形,合函数的求导法如此在多元函数微分学中也起着重要作用.定理1设函数zfu,v),其中ux,v都在x点可导函数zfu,v在对应的点u,v处可微，如此复合函数在x处可导，且dzzduzdvdxudxvdx(9-3-1)证设自变量x的改变量为Ax,中间变量ux的相应的改变量分别为Au和加，函数z的改变量为Az.因u,v在u,v处可微,由可微的定义有zdzzv+ov其中.(u)2(v),o,且lim°q0,

38、故有因为u在点x可导,故当x0时，加一o,Av一o,尸o,uduxdx在上式中令dvxdxx一0,两边取极限，得dzzduzdv注意，当Ax0时，一一0xdxudxvdx这是由于lxm0limx这说明Ax0时，是有界量，)为无穷小量.从而)一一0从一0.用同样的方法，可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法如此.比如zfu,v,w，而ux,vx,wwx,如此dzzduzdvzdw0”9-3-2dxudxvdxwdxdzcost,vsint求dt解利用公式(9-3-1)求导,因为zz2一2uv,=u,uvdudtxdvsint,-dt所以dzdtzduzdvudtvdtuvsintu2cost

39、cost,22costsint此题也可将u图96公式(9-3-1),(9-3-2)称为多元复合函数求导的链式法如此.上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x和y的情形.关于这种复合函数的求偏导问题，有如下定理：定理2设zfu,v在(u,v)处可微，函数uux,y与vvx,y在点x,y的偏导数存在，如此复合函数zfux,y,vx,y在x,y处的偏导数存在，且有如下的链cost,vsint代入函数zu2v中，再用一元函数的取对数求导法,得同样的结果.观察公式(9-3-1),(9-3-2)可以知道，假如函数z有2个中间变量，如此公式右端是2项之和，假如z有3个中间变量，如此公式右端是3项之和，一般

40、地，假如z有几个中间变量，如此公式右端是几项之和，且每一项都是两个导数之积，即z对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x的导数.公式(9-3-1),(9-3-2)可借助复合关系图来理解和记忆.式法如此可以这样来理解zxzyzuuxz_uuyzvvxz_vvy9-3-39-3-3：求一z时，将xy看做常量，那么中间变量u和v是x的一元函数，应用定理1即可得z.但考虑到复合函数zfux,y,vx,y以与uux,yx与vvx,y都是x,y的二元函数，所以应把9-3-1中的全导数符号d''改为偏导数符号一.ux,y,vx,y公式9-3-3也可以推广到中间变量多于两个的情形.例如,wwx,

41、y的偏导数都存在，函数zfu,v,w可微，如此复合函数zfux,y,vx,y,wx,y对x和y的偏导数都存在,zzuzvzwxuxvxwxzzuzvzwyuyvywy且有如下链式法如此9-3-4特别对于下述情形:u,x,y可微，而ux,y的偏导数存在，如此复合函数zfx,y,x,y对x与y的偏导数都存在,为了求出这两个偏导数,应将f中的变量看做中间变量:x,y,v此时，_v=i,_v=0,=0,由公式9-3-4得x9-3-5u注这里与的意义是不同的.x-f是把xfu,x,y中的u与y都看做常量对x的偏导数，而-z却是把二元复合函数fx公式9-3-3,9-3-4,9-3-5x,y,x,y中y看做

42、常量对x的偏导数.可借助图97理解.图97例2设zeusinv,uz7.ZuZVu.u解*esinvyecosvlxuxvx_xyeysinxycosxy,zzuzvu.u/''-=esinv'xecosvlyuyvy一xyexsinxycosxy例3设zfu,v可微，求zfx2y2,exy对x与y的偏导数.解引入中间变量ux2y2,vexy,由(9-3-3)得zffxy22xyxy22xy、2x，ye2xfi(xy,e)yef2(xy,e),xuvfY2y)'xexy2yfi(x2y2,exy)xexyf2(x2y2,exy).yuv注记号f1(x2y2,ex

43、y)与f2(x2y2,exy）分别表示fu,v对第一个变量与第二个变量在（x2y2,exy处的偏导数，可简写为fi与f2,后面还会用到这种表示方法.zxyx.=yf(-,)+xyxyxf2)yxxxy-jyf(-,-)+xfi(-,-)xyf2(一,一)，yx=xfyxy工xy/x、工,+xyf1,(2)+f2yxyxyxy1一,yxx2xyxxyfxyxf,fi,yf2-,-yxyyxyx卜面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念.设函数zfx,y的定义域为D,且当x,yD时，对任给的tCR,t>0,仍有tx,tyD.如果存在非负常数k,使对任意的x,yD,恒有ftx,tytkfx,y,

44、如此称二元函数zfx,y为k次齐次函数.k=1时，称为线性齐次函数例5证明k次齐次函数fx,y满足xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y).证明在zftx,ty中，令utx,vty,当取定一点x,y时ftx,ty是t的一元函数，于是有dzdtzduzdvudtvdtfx(tx,ty)*xfy(tx,ty)*y又因为ztkfx,y,所以有dzktk1f("力因此，对任意的t,有k1一一fx(tx,ty)xfy(tx,ty)yktf(x,y).3.1.2全微分形式不变性我们知道一元函数的一阶微分形式具有不变性，多元函数的全微分形式也具有不变性.下面以二元函数为例来说明.设zfu,v

45、具有连续偏导数，如此有全微分,z.z.dzdudv.uv如果u,v是中间变量，即ux,y,vx,y,且这两个函数也具有连续偏导数,如此复合函数zfx,y,x,y的全微分为dz-zdx-zdyzuzv,dxuxvxzuzv,dyuyvyu.dxxu.dyyzv.dxdyyz.z.dudv.uv可见，无论z是自变量u,v的函数还是中间变量的，这种性质叫做多元函数的全微分形式的不变性.u,v的函数，它的全微分形式都是一样例6利用一阶全微分形式的不变性求函数zfx2y2,exy的偏导数与全微分.fu,v解引入中间变量ux2y2,vexy,如此zdz*du*dvf1d(x2y2)f2d(exy)uvfi

46、(dx2dy2)f2exy*d(xy)f1(2xdx2ydy)f2exy(ydxxdy)(2xf1yexyf2)dx(2yf1xexyf2)dy.因此=2xf1yexyf2,x=2yfixexyf2.y3.2隐函数的偏导数在一元函数的微分学中，我们曾介绍了隐函数的求导方法：方程Fx,y0两边对x求导，再解出y'.现在我们介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式.3.一个方程的情形定理3设函数Fx,y在点P0x0,y0的某一邻域有连续的偏导数且Fx0,y00,Fyx0,y00,如此方程Fx,y0在点P0x0,y0的某邻域惟一确定一个具有连续导数的函数yfx,它满

47、足条件y0fx0,并且有(9-3-6)Fydydx公式（9-3-6）就是隐函数的求导公式这里仅对公式（9-3-6）进展推导.0得恒等式将函数yfx代入方程Fx,y其左端可以看作是x的一个复合函数,上式两端对x求导，得Fdy.ydx0.由于Fy连续，且Fy%,丫00,所以存在点P0Xo，yo的一个邻域，在这个邻域Fy0,所以有dydxFxFy如果Fx,y0的二阶偏导数也都连续,我们可以把(9-3-6)的两端看作x的复合函数而再一次求导，得到d2ydx2FxFyFxdyFydx例7验证方程Fx,y此，由定理所以FxxFyFFyxFx-2yFxyFyFyyFxFyFxFy22FxxFy2FxyFxF

48、yFyyFxF；3可知，方程d2ydx2例8设c0sxsiny1,0在点0,1的某一邻域能唯一确定一个有连续导数的隐函并求这个函数的一阶与二阶导数在x0的值.1,如此Fx1.dydx0在点FxFy2x,Fy2y,F0,10,Fy0,120.由0,1的某一邻域能唯一确定一个有连续导数dydx00；12x3yd2ydx2x01.y1解法一令Fx,ycosxsinyexy,如此xyxyFxsinxye,Fycosyxe.由公式(9-3-6)得xyxydysinxyesinxyexyxy.dxcosyxecosyxe解法二方程两边对x求导，注意y是x的函数，得dyxydysinxcosyeyx-dxd

49、xxyxydysinxyesinxye用午付xyxy.dxcosyxecosyxe注在第一种方法中x与y都视为自变量，而在第二种方法中要将y视为x的函数y(x).隐函数存在定理还可以推广到多元函数，下面介绍三元方程确定二元隐函数的定理.定理4设函数Fx,y,z在点Poxo,yo,Z0的某邻域具有连续的偏导数，且Fx0,y0,Z00,Fzx0,y0,Z00,如此方程Fx,y,z0在点P0x0,y0,Z0的某一邻域能惟一确定一个有连续偏导数的函数有zfx,y,它满足条件zf%,y0,并且zFxzFy,xFzyFz这里仅对公式(9-3-7)进展推导.(9-3-7)将函数zfx,y代入方程Fx,y,z0得恒等式Fx,y,fx,y0.其左端可以看作是x和y的一个复合函数，上式两端对x和y求导，得FxFz0,FyFzxy由于Fz连续，且Fzx0,y0,z00,所以存在点P0x0,y0的一个邻域，在这个邻域Fz0,所以有zFx_zFyxFz,yFz例9设x24z0,求上x2z-2-y解设Fx,yy2z24z,如此Fx2x,Fy2y,Fz2z4,当z2时，得22zx所以_z=产x2z3.2.2方程组情形方程组F(x，y，U，V)0，938119-3-8G(x,y,u,v)0中有四个变量，一般其中只能有两个变量独