第十章对面积的曲面积分ppt课件

1、对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念和性质一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分类曲线积分 niiiiLsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式式 niiiiiS10),(lim 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念抽象概括得到对面积的曲面积分的概念实例实例 若

2、若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量. 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .1.1.定义定义 设设曲曲面面 是是光光滑滑的的, , 函函数数),(zyxf在在 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小块块iS （iS 同同时时也也表表示示第第i小小块块曲曲面面的的面面积积） , ,设设点点),(iii 为为iS 上上任任意意取取定定的的点点, ,作作乘乘积积 ),(iiif iS , ,

3、并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , 这这和和式式的的极极限限存存在在, , 则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在曲曲面面 上上对对面面积积的的曲曲面面积积分分或或第第一一类类曲曲面面积积分分. . 记记为为 dSzyxf),(.即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf其物理背景是面密度为其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量的曲面块的质量2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及

4、可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf. 由上述定义可知由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似性质完全类似）线性性）线性性 gdSfdSdSgf)(）可加性）可加性 12fdSfdSfdS)(21 ）存在性）存在性存在存在则则连续连续若若 dSzyxfzyxf),(,),(二、对面积的曲线积分的计算法二、对面积的曲线积分的计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么 dSzyxf),(;1),(,22dxdyz

5、zyxzyxfxyDyx ),(:. 2zxyy 若曲面若曲面那么那么 dSzyxf),(;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx ),(. 3zyxx ：若曲面若曲面那那么么 dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式简述为：一代、二换、三投影简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元换：换面积元dS投影：将曲面投影到坐标面得投影区域投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：注：（1这里积分曲面的方程必须是单值显函数

6、，否则这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加可利用可加性，分块计算，结果相加（2把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式即方程的表达形式（3将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数把被积函数化为二元函数（4切记任何时候都要换面积元切记任何时候都要换面积元例例1 1 计算计算 dszyx)(, 其中其中 为平面为平面5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.解解积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,投影域投影域 ：25| ),(22 yx

7、yxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2) 1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 例例2 计算计算 dSyx)(2222yxz 是锥面是锥面其中其中 与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解分成两部分分成两部分将将 10:221 zyxz 11:222 yxz 21, 在在 xoy 内的投影区域内的投影区域1:22 yxDoxyz1:2 z 1 1)(22 dSyx故故 Dyxdxdyzzyx22221)( Ddxdyyx)(222 201

8、02222rdrrd 2)(22 dSyx DdSyx)(22220102 rdrrd 21)()(2222 dSyxdSyx 221 例例3 计算计算 dSyx221是介于平面是介于平面其中其中 z = 0 与与 z = H 之间的圆柱面之间的圆柱面222Ryx 解解)(:221在第一卦限的部分在第一卦限的部分令令 xRy 面的投影区域为面的投影区域为在在zox1 RxHzDzx 00:由对称性由对称性 有有 12222141dSyxdSyx zxDzxdxdzyyR222114 HRdxxRRdzR002224RH 2 例例4 计计算算dSxyz |, 其其中中 为为抛抛物物面面 22yx

9、z （10 z）. 解解xyz依对称性知：依对称性知：轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14 dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin , rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412si

10、n22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 注注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性 设设对称于对称于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐标面）坐标面假设假设 fx , y , z ) 关于关于z或或 x ，或，或 y ）是奇函数）是奇函数 0),(dSzyxf则则假设假设 fx , y , z ) 关于关于z或或 x ，或，或 y ）是偶函数）是偶函数 1),(2),(dSzyxfdSzyxf部部分分位位于于对对称称坐坐标标面面一一侧侧的的是是其其中中 1完全类似于三重积分的对称性完全类似于三重积分的对称性例例

11、5 计算计算 dSzxyzxy)(为为其中其中 所所截截得得的的部部分分被被柱柱面面锥锥面面axyxyxz22222 解解面面的的投投影影区区域域在在 xoy axyxD2:22 22yxz 2222yxyzyxxzyx dSzxyzxy)(故故 Ddxdyyxyxxy)(222 22cos2022)cos(sincossin2 ardrrrd 2244cos1641cossincossin2 da 2054cos28 da415264a 例例6 6 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx, 平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面. 解解

12、321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS, , 01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片）（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）xoz 3xdS 31xdS 32xdS xzDzxdxdzyyx2212 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.例例7 7 计计算算dSzyx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表

13、面面. 解解被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx , 关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) 1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 例例8 求均匀曲面求均匀曲面222yxaz 的重心坐标的重心坐标解解由对称性由对称性0,0 yx dSzdSzdxdyzzdSDyx 221):(222ayxD dxdyyxaaD 22

14、2rdrraada 2002222 a dxdyyxaayxazdSD222222 Ddxdya3a 2az 故故 重心坐标为重心坐标为)2, 0 , 0(a例例9 )0(22220 zazyx的均匀半球壳的均匀半球壳求密度为求密度为 轴的转动惯量轴的转动惯量对于对于z解解222:ayxD dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( dxdyyxaayxD 222220)( 20022201ardrrarda3440a 例例10 计算计算 dSczbyax)(的整个表面的整个表面Rzzyx2:222 解解由奇偶对称性由奇偶对称性 0ydSxdS分分成成须须将将为为计计算算

15、zdS上半球面上半球面2221:yxRRz 下半球面下半球面2222:yxRRz dSczbyax)( 12 czdSczdS DdRc 234 cR ):(222RyxD 另解另解由曲面形心公式由曲面形心公式 dSzdSz dSzcczdS), 0 , 0(R的形心坐标为的形心坐标为 24 RdS dSczbyax)(3400cR 34 cR 注注对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用面积面积 dSA质量质量 dSzyxM),(重心重心 dSdSxx dSdSyy dSdSzz转动惯量转动惯量 dSzyIx)(22 dSzxIy)(22 dSyxIz)(22三、小结三、小结1、 对面积

16、的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴

17、夹角的余弦的倒数的倒数.z练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积积为为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .二二、计计算算下下列列对对面面积积的的曲曲面面积积分分: : 1 1、 dszxxxy)22(2, ,其其中中 为为平平面面 622 zyx在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分； 2 2、 dszxyzxy)(, ,其其中中 为为锥锥面面22yxz 被被 柱柱面面axyx222 所所