版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、整理课件第三讲第三讲 解析函数的充要条件解析函数的充要条件初等函数初等函数整理课件& 1. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件& 2. 举例举例2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件整理课件 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 D内处处可导,则函数内处处可导,则函数 w = f (z) 在在 D内解析。内解析。 本节从函数本节从函数 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可导性,探求的可导性,探求函数函数w=f (z) 的可导性,从而给出判别函数解析的的可导性,从而给出判别函数解析的一个充分必
2、要条件,并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢?如何判断函数的解析性呢?整理课件一一. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(整理课件xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的
3、的方方式式xvixu 整理课件yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 整理课件yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 记忆记忆yvxvyuxu 定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).yuxvyvxu 整理课件定理定理1 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有
4、定义,内有定义, 则则 f (z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微,且满足可微,且满足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 整理课件证明证明(由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证!只须证方程满足上面已证!只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微)。)。 函数函数 w =f (z)点点 z可导,即可导,即)( )()()(zfzzfzzfz
5、设设则则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz 整理课件u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令:令:f (z+z) f (z)=u+iv,f (z)= a+ib, (z)= 1+i 2 故(故(1)式可写为)式可写为因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 整理
6、课件所以所以u(x, y),v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微. (由函数(由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f (z)在点在点z=x+iy处可导)处可导)u(x,y),v(x,y)在在(x,y)点可微,即:点可微,即:yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00,其其中中 kkyx 整理课件yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixu
7、zzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 整理课件定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微,且可微,且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可
8、以判断那些函数是不可导的. .整理课件使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y),v (x, y) 偏导数的连续性,偏导数的连续性, ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数:yvyuixvixuzf 1)( A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .整理课件二二. 举例举例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ;例例1 判定下列函数在
9、何处可导,在何处解析:判定下列函数在何处可导,在何处解析:解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导,不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001整理课件解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可导导,解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 整理课件仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件,故条件,
10、故。处处可可导导,但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw解解 (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu整理课件例例2 求证函数求证函数.0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处处解解析析,并并求求在在 证明证明 由于在由于在z0处,处,u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数,都是可微函数,且满足且满足C-R条件:条件:,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析,其导数为处解析,其导数为整理课件22222222222221)()
11、()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 复复常常数数)()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明整理课件例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数,是一解析函数, 且且f (z)0,那么曲线族,那么曲线族u(x, y)=C1, v(x, y)=C2必互相正交,这里必互相正交,这里C1 、 C2常数常数.那么在曲线的交点处,那么在曲线的交点处,i)uy、 vy 均不为零时,均不为零时,由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y
12、)=C1,v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1,即:两族曲线互相正交,即:两族曲线互相正交.整理课件ii) uy,vy中有一为零时,不妨设中有一为零时,不妨设uy=0,则,则k1=, k2=0(由(由C-R方程)方程)即:两族曲线在交点处的切线一条是水平的,另即:两族曲线在交点处的切线一条是水平的,另一条是铅直的一条是铅直的, 它们仍互相正交。它们仍互相正交。?)(,)
13、()(2222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 练习练习: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2整理课件& 1. 指数函数指数函数& 2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 3. 对数函数对数函数& 4. 乘幂与幂函数乘幂与幂函数& 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数初等函数整理课件 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形,研究这些初等函数的推广到复变函数情形,研究这些初等函数的性质
14、,并说明它的解析性。性质,并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介整理课件一一. 指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质:0exp)1( zz)0exp,( xez事实上事实上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0( y)2(12(的的例例见见 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义定义.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析,整理课件右右边边左左边边设
15、设事事实实上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加加法法定定理理.expzez代替代替为了方便,我们用以后为了方便,我们用以后整理课件:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事
16、实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 整理课件没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号 ,)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得时时, ,的的实实部部特特别别当当到到A )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz整理课
17、件)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 从从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义二二. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定义定义整理课件周周期期函函数数是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析zee
18、eeizizizizizcos)(21)(21)(sin q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质整理课件.cos,sin)3是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同同理理zizezizsincosEuler,)3()4 成成立立公公式式对对一一切切式式由由思考题思考题. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数整理课件三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5 1cossi
19、nsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 整理课件)4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)整理课件 ch
20、yiyshyieeiyyyycos2sin)4()7当当式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点Zkkzz 2cos 的零点为的零点为.1sin, 1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz整理课件)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇函数奇函数偶函数偶函数 shzchz,)2整理课件.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函
21、数数且且是是周周期期函函数数,故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3整理课件三三. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即,指数函数的反函数称为对数函数。即,Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那那么么令令), 1, 0()
22、2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 对数的定义对数的定义整理课件.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数;它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk )
23、(2lnZkkizLnz 故故整理课件ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 .(负数也有对数).(负数也有对数), ,LnzLnz1)1)复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义 wZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值当当例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值当当特别特别A 整理课件(2) 对数函数的性质对数函数的性质.,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)21212121,)()1LnzLnzzzLn
24、LnzLnzzzLn .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z见见1-6例例1.ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z整理课件0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平面内解析平面内解析在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的解析性解析性zzLnzLnz1)(
25、 且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的,的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和.,2ziez求求设设 例例4, 1, 0222ln kikiz 整理课件四四. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 babzq 乘幂乘幂ab, 0, aba且且为为复复数数设设定义定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂.,0,为为实实数数实实变变数数情情形形ba A kiaLna2ln 多值多值一般为多值一般为多值)2(ln kiabbLnabeea 整理课件.,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 为为整整数数当当 b)0,( qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具具有有一一般般而而论论ba,.无穷多支无穷多支整理课件 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时,乘幂
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 餐饮公司员工培训
- 食堂大灶点火规范培训
- 广东省佛山市禅城区2023-2024学年四年级上学期月考英语试卷(12月份)
- 广东省江门市蓬江区省实学校2023-2024学年高一上学期期中考试 化学试题(无答案)
- 信息技术(第2版)(拓展模块) 教案 项目3、4 DHCP服务器的配置与管理;4 物联网
- T-ZFDSA 10-2024 沙棘面制作标准
- Windows Server网络管理项目教程(Windows Server 2022)(微课版)课件 易月娥 项目5、6 Web和FTP服务器的配置与管理、证书服务器的配置与管理
- 高中语文第1章写作的多样性与独特性第2节联想与想象课件新人教版选修文章写作与修改
- 骨盆临床解剖
- 环保行动未来在手-共筑绿色生活守护地球家园
- 发给客户ap82-sdk包-卡拉mvkaraoke dsp应用简要说明
- 2023年山东省高中物理合格考真题
- 通力电梯技能培训教材系列:《KCE控制系统课程》
- 社区卫生服务中心安全生产工作计划
- English-Drama英语戏剧写作及表演技巧课件
- 模板-侦查阶段第二次会见笔录
- 2023年全科医师转岗培训理论考试试题及答案
- 2023年惠州仲恺城市发展集团有限公司招聘笔试题库及答案解析
- 卫生协管员培训考试题附答案
- 小学语文学习情况评价表
- 坐井观天(动画)课件
评论
0/150
提交评论