结构动力学ch2-1课件

1、第二章第二章 单自由度体系的振动单自由度体系的振动 Single-Degree-of-Freedom Systems2主要内容主要内容2.12.1运动方程的建立运动方程的建立2.22.2无阻尼自由振动无阻尼自由振动2.32.3有阻尼自由振动有阻尼自由振动2.42.4对简谐荷载的响应对简谐荷载的响应2.52.5对周期荷载的响应对周期荷载的响应2.62.6对冲击荷载的响应对冲击荷载的响应2.72.7对一般动力荷载的响应对一般动力荷载的响应2.82.8阻尼理论与阻尼比的量测阻尼理论与阻尼比的量测3第二章第二章 单自由度体系的振动单自由度体系的振动 单自由度体系动力分析的重要性：单自由度体系动力分析的

2、重要性：具有实际应用价值，或进行初步的估算。 很多实际动力问题可按单自由度体系计算。多自由度体系动力分析的基础。单自由度体系包括振动分析中涉及到的所有物理量 和基本概念。2.12.1运动方程的建立运动方程的建立 1 1、水平振动、水平振动 作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力：荷载、弹簧弹性力和阻尼力; 惯性力( )Dsfffp t根据力的平衡条件得:左边的三个力都是位移左边的三个力都是位移y(t)y(t)或或y(t)y(t)对时间对时间t t导数的函导数的函数，正向与位移数，正向与位移y(t)y(t)的负方向相对应，与外荷的负方向相对应，与外荷载载p(t)p(t)的方向相反。的方向相反。

3、坐标坐标y y的坐标原点取在弹簧自然放松的位置。的坐标原点取在弹簧自然放松的位置。5( )sfky t( )fmy t( )Dfcy t 2.12.1运动方程的建立运动方程的建立( )Dsfffp t)()()()(tptkytyctym 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程弹性力等于弹簧刚度k与位移y(t)的乘积：惯性力是质量与加速度的乘积：c)(ty 阻尼为粘滞阻尼，则阻尼力是阻尼系数 与速度 的乘积:6 2 2、竖向振动、竖向振动 质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程，考虑重力的影响。质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程，考虑重力的影响。2.12.1运动方程的建立运动

4、方程的建立7 根据平衡条件，体系的振动方程： Wtptkytyctym)()()( ( )( )sty ty t 2.12.1运动方程的建立运动方程的建立 是由重力W产生的静力位移，是不随时间变化的，即： 是动力位移，由静力平衡位置开始计算。 ststWk)(ty)(ty质量块m的总位移 分解为两部分：8弹簧力部分可写成：)()(tykktkyfsts)()()()(tptyktyctym ( )( )sty ty t 2.12.1运动方程的建立运动方程的建立 相对于静力平衡位置所写出的振动方程不受重力影响，即重力对动力位移相对于静力平衡位置所写出的振动方程不受重力影响，即重力对动力位移无影响

5、。无影响。 振动方程：1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移即为动力响应。2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静力分析结果相加。 9 3 3、支座运动、支座运动( (激励）的影响激励）的影响 结构的动位移和动应力既可以由结构的动位移和动应力既可以由动荷载动荷载引起，也可以由结引起，也可以由结构构支座的运动支座的运动而产生。而产生。 2.12.1运动方程的建立运动方程的建立1）由地震引起建筑物基础的运动；2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备基底的运动等等。10 1、地震动问题的简化模型2.12.1运动方程的建立运动方程的建立 假定：假定： （1 1）刚架内水平横梁是

6、刚）刚架内水平横梁是刚性的，且包含了结构所有性的，且包含了结构所有的运动质量，的运动质量， （2 2）柱假定无重量且在轴）柱假定无重量且在轴向不能变形，抵抗刚架侧向不能变形，抵抗刚架侧向位移的恢复力由两根柱向位移的恢复力由两根柱的侧向刚度来提供。的侧向刚度来提供。 )(tyg地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移 表示。表示。110SDIfff2.12.1运动方程的建立运动方程的建立一个自由度即可描述刚架的运动情况。 刚架体系的平衡方程可写为：)(tymftI )(tyt表示质量相对于参考轴的总位移，即：)()()(tyty

7、tygtsfDfIf弹性力 和阻尼力 与前相同，而惯性力 则由下式计算：12 运动方程：运动方程：0)()()()(tkytyctymtymg )()()()()(tPtymtkytyctymeffg 或： 2.12.1运动方程的建立运动方程的建立0SDIfff)(tPeff ：等效荷载等效荷载，即在地面加速度，即在地面加速度 影响下，结构的响应就和在外影响下，结构的响应就和在外荷载荷载 作用下的响应一样，只是外荷载作用下的响应一样，只是外荷载 等于质量和地面加速等于质量和地面加速度的乘积。度的乘积。 负号负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。表示等效力的方向和地面加速度方向相反。)(ty

8、g )(tp)(tp132.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 自由振动自由振动( (free vibrationfree vibration) ) ：无外界干扰的体系振动形态称为无外界干扰的体系振动形态称为自由振动（自由振动（free vibrationfree vibration）。振动是由）。振动是由初始位移初始位移或或初始速度初始速度或或两者共同影响两者共同影响下所引起的。下所引起的。无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后，质点将围绕静力平衡点作自由振动

9、。14my.1）自由振动微分方程的建立(依据原理：达朗伯原理)mky(t)y(t)a、刚度法(stiffness method)kmymky从力系平衡建立的自由振动微分方程： ).(0akyym my.my.(DAlembers principle)2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动1、运动方程建立及其解的形式152.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动0myky令mk /20)()(2tyty tCtCtycossin)(21齐次微分方程，其通解为：系数C1和C2可由初始条件（initial condition）确定。00)0(,)0(vyyy0201,/yCvC设在初始时刻t

10、=0时，有初始位移y0和初始速度v0，即： 求得：tytvtycossin)(00162200()(/)ayv00arctanvy比较两式得： tytvtycossin)(00( )sin()y tat2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动简谐振动的标准形式a：振幅， ：初相位角。Amplitude of vibrationinitial phase angletycos0（a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的规律变化；tvsin0（b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按 的规律变化：( )sin()y tat（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态按方程 进行。17

11、y(t)ty0y0y(t )tv0/v0/TtaaT/tytvtycossin)(00( )sin()y tat2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动18/2T)()/2()(tytyTty2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动当时间t 增加一个 时，上式保持不变，即： /2T2、结构的自振周期T:自由振动的周期，单位为秒（s）。 :频率，表示单位时间内的振动次数，单位为1/秒（1/s），或称为赫兹（Hz）。Tf/1f22 :圆频率或角频率，表示在 个单位时间内的振动次数,单位为rad/s 。 经过一个周期T后，质点又回到了原来的位置，因此周期T称为自振周期或固有周期（natura

12、l periold）。 192.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动计算自振周期的几种形式：（1）由周期和圆频率的定义可知：kmT2（2）将 代入上式，得：k1mT2gWT2gTst2gWm/（3）将 代入上式，得：stW（4）令 ，得：20 圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为固有频率或自振频率（natural frequency）。 stgWgmmk12.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动圆频率计算公式的几种形式：21 结构自振动周期重要性质：结构自振动周期重要性质：（1）自振动周期与结构的质量和刚度有关，而且只与这两者有关，

13、与外界的干扰因素无关。 干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自振周期T的大小没影响。2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。22（4）自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。 a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大； b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常出现这样的现象。2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动（3）把集中质点放在结构上产生最大

14、位移的地方，则可以得到最低的自振频率和最大的振动周期。stkgm23 例2-1 悬臂梁长度L=1米，其末端装一重量Q=1221N的电动机，梁为钢梁，弹性模量E=2.11011N/m2，惯性矩I=7810-8m4，与电动机重量相比梁的重量可以略去。求结构的自振圆频率及周期。 2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动解：悬臂梁在竖向力Q作用下，端部的竖向位移为:EIQLst331183333 2.1 1078 109.862.8(1/ )1221 1.0stgEIgsQL220.1( )62.8Ts自振周期：自振频率：24例2-2 ：求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。2.2 2.2 无阻尼自

15、由振动无阻尼自由振动解：使横梁发生单位位移所需外力k为: 3122hEIk324mhEImk自振频率： 25例2-3：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求EIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动26l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm311481mlEIm322776

16、81mlEIm3331921mlEIm据此可得：结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动123:1:1.512:227l/2l/2ml/2l/2k1ACB3396)2/(12lEIlEIQCB3396)2/(12lEIlEIQCAQCAQCB3192lEIQQkCBCA3192mlEImk2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动用刚度法：28例2-4:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/

17、h3315hEIk315mhEImk2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动解：29274l272l9l113lEIlllllEIl43745)9327432(613311311543741mlEIml/32l/3m例2-52.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动解：30l/2lm12lEIlllllllEI8)3222212322221(131131181mlEIm2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动解：例2-631h1例2-7解法1：求 k=1/hMBA=kh = MBCk1hmI=EIBAClhEIlEI33lmhEImk211323lhEIk1解法2：求 EIlhhlh

18、EI3322121121131mlhEIm2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动32例2-8lEImk1k11k11k33lEI解：求 k3113lEIkkmkmklEI33112.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动33对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动mky1) c不存在不存在0y(t)taamky=0c2) c存在存在阻尼是客观存在的阻尼是客观存在的振幅

19、随时间减小，这表明在振动过程振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为中要产生能量的损耗，称为阻尼阻尼。 （1 1）产生阻尼的原因）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力 （2 2）阻尼力的确定）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼粘滞阻尼( )Rtc y 2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 352.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 0)()()(tkytyctym mc2mk /2如果体系内存在阻尼，单自由度体系的自由振动微分方程为 :令：则方程可改写为：0)()(2

20、)(2tytyty ykykmP(t )ycy.( 阻尼比damping ratio ）36特征方程的解为：0)()(2)(2tytyty tCety)(0222)1(22, 12.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 设方程解的形式为：特征方程：(characteristic equation)37tteCeCty2121)(mccr20)()()(tkytyctym )1(22, 12.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动的通解为：1 所对应的阻尼系数c称为临界阻尼系数，记为ccr，其计算公式为： 12C1和C2为两个积分常数，由初始条件确定。 有阻尼自由振动的特性与根式（

21、 ）的符号有关。38crccmc22.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 阻尼比(damping ratio ） 称为阻尼比（damping ratio）,反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。39 体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻尼体系（under damping）。式可写为 :dii)1(22, 1)()(21tditditeAeAety)1(22, 12.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 0)()(2)(2ty

22、tyty 振动微分方程:21d其中， 称为阻尼固有频率。（1）当 1时 解为：40)sin()(tAetydt0)0(yy0)0(vy01yA dvyA0022.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 或：其中：A1及A2或A及 由初始条件确定。设当t=0时，初始位移和初始速度分别为：将此初始条件代入方程解，可得：41 表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动，其往复一次的周期时间为：220020)(dvyyA000vyytgd2122ddT)sin()(tAetydt衰减因子阻尼对周期影响？2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动

23、或：422.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 tyty低阻尼y- t曲线tA e )sin()(tAetydt 其衰减简谐运动如图所示。在有阻尼自由振动中，由于阻尼不断消耗能量又没有外界能量补充，因此结构系统总能量不断减少，振幅不断衰减。4321d2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 （a a）、）、阻尼对固有频率的影响阻尼对固有频率的影响d 有阻尼和无阻尼的固有频率 和 间的关系式 :dd在 1的低阻尼情况下， 恒小于 ，而且 随 的增大而减小。d但一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，

24、其阻尼比约在0.01-0.1之间。如果 0.2则0.96 1，即 与 的值很接近。所以说阻尼对固有频率的影响很小.一般可认为:d阻尼对固有频率基本无影响！44 TktTktkkeeeyy)(1)sin()(tAetydt2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 值愈大，振幅衰减速度愈快。ky1ky经过一个周期T后，相邻两个振幅 与 比值为：（b b）、）、阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响tAe振幅为 ，阻尼比出现在指数项，对振幅有较大影响。45两边进行对数变换后可得：两边进行对数变换后可得：dkkTyy2)ln(1)ln(211kkdyy)ln(211kkyyTktTktkkeeeyy

25、)(12.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 d如果 0.2，则 ，46212ln21kkyy2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 对数衰减率与阻尼比只差一个常数倍。)ln(211kkyy1lnkkyy 称为对数衰减率（logarithmic decrement），表征系统的阻尼情况，用 表示，定义为两个相邻的同号位移值之比的自然对数，即:47 kynky)ln(21nkkdyyn)ln(21nkkyyn2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 对于阻尼较小的体系，取相隔几周的响应峰值来计算阻尼比，可以获得更高的精度。d当 0.2时，即 时，用 和 表示两个相隔n

26、个周期的振幅，可得：48tetAAty)()(210)()(2)(2tytyty 2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 （2）当 =1时体系阻尼等于临界阻尼（critical damping）。临界阻尼是在自由振动响应中不出现振动所需的最小阻尼值在自由振动响应中不出现振动所需的最小阻尼值。方程的特解为: 2(1) 01yA 002yvA0v0y设初始条件： t=0时初始位移为 ，初始速度为 ，则：49 运动不呈振动形式，按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。tetyvyty)()(0002.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 因此：tyy0000vtg这条曲线仍具有

27、衰减性，但不具有波动性。50d2, 10)()(2)(2tytyty 2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 相应的通解为:)()(21tdtdteAeAety（3）当 1时体系的阻尼大于临界阻尼时，称为超阻尼体系（over damping）。这时方程的特征根为:51 0y)(210001dyvyA)(2100002yvyA)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 故：)()(21tdtdteAeAety0v设t=0时，初始位移称为 ，初始速度为 ，待定系数为 :52)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 2.3 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 运动也不再呈振动形式，而是按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。1)(ty1 图表示 时 的时程曲线。从该图可以看到，系统不出现振动现象，同时以 时衰减得最快。 532.3 2.3