相似三角形知识点总结及习题

1、a c a kbc kd b d b d+=.AB DE AB DE BC EF AC DF =或等相似三角形基本知识(一比例的性质1.比例的基本性质: 比例式化积、积化比例式.bc ad dc b a =2.合、分比性质: 分子加(减分母,分母不变.(k=1、2、3应用:已知dc c b a ad c b a +=+=:,求证 证明:d c b a = c d a b = c d c a b a +=+ dc c b a a +=+ 3.等比性质:分子分母分别相加,比值不变.若0(+=n f d b n m f e d c b a 则ba n f db m ec a =+. 4.比例中项:若

2、c a b c a b cb b a ,2是则即=的比例中项.(二平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知l 1l 2l 3,A D l 1B E l 2C F l 3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例. AD EB C由DE BC 可得:ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式

3、证平行线4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的.三边.与原三角形三边.对应成比例.(三相似三角形1、相似三角形的判定两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似;直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2、直角三角形中的相似问题:斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理:CD²=AD·BD,AC²=AD·AB,BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用.3、相似三角形的性质相似三角

4、形对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比.相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形,而且每对对应点所在直线都经过一点,这样的图形叫做位似图形,这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.特别提醒:是特殊的相似图形,具有位似中心;位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.a cb d =1a c b d =(a b b c c a k a b c c a b +=、都是实数相似三角形(基础训练一、 选择题(每题2分,共30分1. 已知 ,则下列式子中正确的是( A.a:b=c &

5、#178;:d ²B.a:d=c:dC.a:b=(a+c:(b+dD.a:b=(a-d:(b-d2. 一个运动场的实际面积是6400m ²,那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是( A.6.4cm ²B.640cm ²C.64cm ²D.8cm ²3. 测得线段AB=2.8m ,CD=310cm ,则线段AB 与CD 的比为( 2.8.310A 310.2.8B 28.31C 31.28D4. 已知线段d 是线段b 、c 、a 的第四比例项,其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d 等于( A.1cmB.10cmC.2.5cm

6、D.1.6cm 5. 如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项,则有 ;如果点C 是线段AB 的中点,那么AC 是AB 、BC 的比例中项;如果点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,那么AC 是AB 与BC 的比例中项;如果点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,AB=2,则其中正确的判断有( A.1个B.2个C.3个D.4个6. 如图,DE BC,在下列比式中,不能成立的是( .AD AE A DB EC = .DE AE B BC EC = .AB AC C AD AE = .DB AB D EC AC =7. 下列图形中相似的多边形是( A.所有的矩形

7、B.所有的菱形C.所有的正方形D.所有的等腰梯形8. 下列判断中,正确的是( A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相似;B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似;C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相似;D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似.9. 在Rt ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则ABC 中相似三角形共有( A.1对B.2对C.3对D.4对10. 点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点,则S ADE :S ABC =( A.1:2B.1:3C.1:4D.1:211. ,则k=( A.2B.-1C.2或-1D.无法确定325 283b a

8、 b =-若,a b b +=则=a a b +33x y z x y z +-=-+'''A B C '''A B C '''A B C 12. 下列说法正确的是( A.两位似图形的面积比等于位似比;B.位似图形的周长之比等于位似比的平方;C.分别在ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ,使DE BC ,则ADE 是ABC 放大后的图形; A. B. C.D.D.位似多边形中对应对角线之比等于位似比13. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ,那么x

9、 的值( A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上,但有限D.有无数个14. 如图,在ABC 中,D 为AC 边上一点,DBC=A ,BC=6,AC=3,则CD 的长为( A.1B.C.2D.15. 如图,在Rt ABC 中,C=90°,CD AB 于D ,且AD BD=9:4,则AC:BC 的值为( A.9:4B. 9:2C.3:4D.3:2二、 填空题(每题2分,共20分16. _, _. 17. 如果x:y:z=1:3:5,那么 _.18. E 、F 为线段AB 的黄金分割点,已知AB=10cm ,则EF 的长度为_cm.19. 在阳光下,身高1.68m 的小强在地面上的影长为

10、2m ,在同一时刻,测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_(精确到0.1m .20. 两个相似三角形对应高的比为1:2,则它们的周长之比为_;面积之比为_.21. ABC 的三边长分别为5、10、15,的两边长分别为1和2,如果ABC ,那么 的第三边长为_.22. 如图,在平行四边形ABCD 中,延长AB 到E,使AB=2BE ,延长CD 到F ,使DF=DC ,EF 交BC 于G ,交AD 于H.则S BEG :S CFG =_.23. 如图,AB 是斜靠在墙上的一个梯子,梯脚B 距墙1.4m ,梯墙一点D 距强1.2m ,BD 长0.5m ,则梯长为_.(23题 (24题2

11、4. 如图,在ABC 中,BAC=90°,D 是BC 中点,AE AD 交CB 延长线于点E ,则BAE 相似于_. EF AF FC FD AE AC25. 如图,在ABC 中,M 、N 是AB 、BC 的中点,AN 、CM 交于点O ,那么MOC AOC 面积的比为_.三、作图题(5分26. 三角形的顶点坐标分别是A (2,2,B(4,2,C(6,4,试将ABC 缩小,使缩小后的DEF 与ABC 的对应边比为1:2,并且直接写出点D 、E 、F 的坐标.四、解答题(27题、28题5分,29题10分,共20分27. 如图,DE BC ,DF AC ,AD=4cm ,BD=8cm ,DE=5cm ,求线段BF 的长.28. 如图,已知ABC 中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD 与CE 相交于F. 求 的值.29.如图,已知ABC ,延长BC 到D ,使CD=BC.取AB 的中点F ,连接FD 交AC 于点E. (1求 的值(2若AB=a,FB=EC ,求AC 的长.五、证明题（30 题 5 分，31 题、32 题 10 分，共 25 分） 30.如图，平行四边形 ABCD 中，过 A 作直线交 BD 于 P，交 BC 于 Q，交 DC 的延长 线于 R. 求证：AP²=PQ·PR. 31. 如图，