动力系统的概念

1、动力系统的概念 这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统理论。我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。为了更容易的阅读，我们保持讨论时采用非专业术语，并尽可能地避免技术上的符号和观点。然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到，一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。在某些情况下，我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。另外，我们鼓励读者使用附录A和B作为基于不同的几何和函数分析的参考。1.1 流量，映射，动力系统对于任意的集合P，一个变换群中的任意的一个参数t属于实数

2、，如果对于所有的属于集合P，并且对于任意的 , 属于实数都成立,则被称为一个流。这两个属性表明和它的逆是不可以转化的。这一组合叫做基于空间P的一个连续的动力系统。换句话说，一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态的当前的状态函数x的变化规则。通过x这一点的变化轨迹是集合。一个固定点的流是一个点且对于任意的都成立。这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点x对于那些存在的正数T,并且满足的这样的轨迹。如果用以上所说的映射族定义只需，且对于所有的t，s满足和，则叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。当有单独向映射且存在时，离散动力系统是

3、确定的。这样的系统还有一些性质即通过的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态。这时的取值范围是确定的在集合中，其中。上面离散动力系统的定点是点且的点。k点的周期是对于点有且对于所有的有。对于，的极限集合是确定的，。如果是可逆的，则的极限集合可以定义的关于极限级。 注：连续型动力系统的一一映射定义与离散型动力系统在相同的拓扑空间中。一一映射不能得到基础流量的全部性质，但是能够继承很多相似的特征。 另一个庞加莱映射提供了流的频闪图片，它的构造如下：假设是上的一个开集合，是在中一个超曲面（即光滑的维流行）。假设的任意轨道，横向的相交于一点是不同于的。然后第一个返回时间是确定的对于即。映射

4、叫做第一返回映射或庞加莱映射设联系在一起的流量。超曲面通常被称作相应的庞加莱截面。一一映射和第一返回映射和基础流和庞加莱截面一样光滑。 1.2 常微分方程和动力系统这本书大部分叙述的常微分方程形式 (1.1)这里，是一个充分光滑的向量场确定的。集合叫做方程的象空间，同时叫做扩充相空间。 常微分方程叫做独立存在的如果没有明确的时间相依性，如下。流量和自治的方程结合起来单参数变换群，表示为解决的初始状态，如下，。根据常微分方程的基本理论，函数的像（1.1）的右边一样光滑，同时关于也是光滑的。如果依赖于形状的参数，那么也是类的随着关于那些参数的变量。 非自治的常微分方程不能产生流，因为解明确取决于初

5、始时间且。其结果是，我们可以得到在一般情况下。然而，产生的映射具有两个参数的集合存在，解的唯一性能保证和流类似的性能因为 注：在扩充的相空间上扩充的常微分方程，认为流。 和常微分方程（1.1）等价的公式是积分方程 （1.2）作为未知函数。一些方程承认自治的线性项在它们的右边，当常微分方程能够写成，和相应的积分方程 (1.3)这个公式可以通过改进非齐次的，线性常微分方程的通解获得。积分方程是在估计进展的解之间的距离或关于初始条件或参数的偏导数非常有用的。例如，一个有连续独立解的常微分方程的初始条件能够涉及到在积分方程（1.2）中，写作当特定领域，是一个利普希茨常数然后，通过格朗瓦尔不等式，我们得

6、到，这样证明要求的连续性。最后不等式的一个重要结果是如果和，那么 。换句话说，“在有限时间，接近的初始条件停留在接近”例如，在时间尺度上当这种论据是有用的很多时候在离散化动力学动力系统理论中。例如，它意味着时间T映射的连续性对于任意在和处连续的流量。 目前，我们已经解决的只有实数上的常微分方程问题。微分方程的理论确定在一个流形中在局部坐标上是类似的。定义一个独立的常微分方程在一个流形上，需要一个利普希茨向量场在上，例如，一个利普希茨映射然后和这个向量场相应常微分方程是系统。1.3 liouville定理一个自治的常微分方程流的一个重要的特征是其在体积元素上的作用，例如，不管它是否压缩，扩大，或

7、保存大量的集合的初始条件。如果表示集合的体积的开集的初始条件，那么下面陈述liouville定理:.这个公式表示随意发散的向量场产生大量保持体积的流在上。同样，有阻尼系统，压缩拓扑空间的体积。同时，强迫系统，扩展相空间的体积。这些观察结果对流具有重要的质的影响。例如，一个保持体积不变流的不动点不能够渐进稳定。至于在流形上的常微分方程，liouville定理能够叙述如下。让作为一个在上体积，和让作为一个向量场在上。通过公式，我们能够确定关于的散度。.这里的表示在处的拉回。如果表示体积的，那么我们可以得到。在一个流形上积分形式的其中的含义，见附录A.18。 1.4 结构稳定性和分歧点假定两个向量场

8、和是确定在一个有边界的流形上的。这样的向量场叫做在上的拓扑等效，如果那存在同胚映射，把轨道上的变换到轨道上的保存它们的方向。拓扑等效向量场的例子在图1.2显示出来。在紧流形上，一个类的向量场是渐进稳定的，如果它是拓扑等价的对于在上的任意其他向量场是在的范围内充分接近于。不严格的说，一个向量场是拓扑等价的，如果小的变形不能够改变它的在本质结构上。在二维空间中，贝秀多定理鉴定了渐进稳定性的向量场的特征。也就是，让成为一个封闭的在平面上的磁盘。那么一个类的向量场确定在上是渐进稳定的，当且仅当每个平衡点和周期轨道都是双曲时，从章节1.13意义上说，没有连接鞍点的轨线。此外，渐进稳定向量场的集合是开集，

9、的向量场是密集的在上。此理论适用于开平面在二维空间的流形中，但是不适用于普通的二流形如二环面。当一个向量场在一个类的向量场中时可能是渐进不稳定，它相对于这个类的一个子集可能变成渐进稳定。例如，思考一个纯粹虚构的二维空间的哈密尔顿函数的向量场趋向于一个不动点，它的特征值不为零。这样一个向量场的所有轨道接近这个不动点的附近，在哈密尔顿函数承认限度的局部最大值或最小值。明显地，任意小的扰动都能改变这个不动点到槽中；因此，向量场在原点周围的任意封闭圆平面是渐进不稳定的。然而，对于哈密尔顿函数本身来说小的摄动可能仍然放弃附近的局部极限值，所以接近不动点的轨道可能会有点轻微的变形，但仍有坚持性。因此，最初

10、的向量场在一个类的哈密尔顿函数向量场中是渐进稳定的。在类向量场的空间中的一个向量场是确定的在上，如果它不是渐进稳定的，被称为一个分叉点。作为一个分歧点，我们指的是通过一个分叉点作为交换参数在向量场中的一个用参数表示的族。一个不变的集合附近发生质的改变通常称作局部分歧点，然而质的改变涉及的扩展结构在相空间中叫做全局分歧。更多的了解分歧点的含义，请看Chow and Hale 72,或着Gukenheimer，Holmes145 ,Kuznetsov221。1.5 哈密尔顿系统古典的，精典哈密尔顿系统是众所周知的存在在物理学中。它们被不同形式的微分方程来描述其中叫做典型变量，类作用叫做系统的哈密尔

11、顿量。整数是指自由度的数量。哈密尔顿系统最常出现在用自由度描述的机械系统的运动中。在此背景下，是一个向量的广义坐标，是一个向量相应的广义动量。如果，机械系统是保守系统，例如，仅受和时间无关势能力，那么哈密尔顿函数仅仅是机械能量，动能和势能的和。如果没有显式依赖，那么（1.4）的解是守恒的，因为对于单自由度系统，这是我们想象的轨道作为水平面曲线的子集。除了体积保留，一个典型哈密尔顿系统的流有两个保持性能。首先，它保留了典型辛的特征从的形式，例如，对于，表示的拉回（见附录A.11）.因此，是一个在流形（）上的辛映射，于是也保存体积。（见附录A.1+）。因为这种体积可能区别仅仅在在上标准体积，我们断

12、定就标准体积的拓扑空间而言，典型哈密尔顿函数的流是体积保存不变的。换句话说，对于任意,大量集合的初始条件的体积是等于 于大量的图像集合的体积。超出以上提及的保持性能，写出动力系统的哈密尔顿形式，其优点在整个向量场能够被一个实函数复制。此外，哈密尔顿函数本身告诉你很多哈密尔顿量流。例如，的不动点仅仅是临界点，例如，的点。不懂点的稳定性明显的取决于影响性能的。如果具有局部最小值或最大值在点，那么是一个稳定的不动点，因为这样运用来决定作为一个李雅普诺夫函数。 在上，经典的哈密尔顿系统的概念能够推广的一个辛流形。观察的结果是对于任意，一个典型的哈密尔顿向量场满足 ,其中我们用过的公式（A.9）和附录A

13、里的一些符号。因此，我们可以得到，或相当于 。）（附录A.16）这最后一个表达式提出在任意维空间辛流形上推广的哈密尔顿系统。让我们考虑类的函数.哈密尔顿函数的向量场和联系起来能够确定向量场 。 我们给出了几何的定义在图1.3. 相当于，是具有哈密尔顿变量的哈密尔顿函数如果 （1.5）对于所有的。最后，微分方程 （1.6）叫做哈密尔顿系统通过哈密尔顿变量生成的在 水平面上的集合，叫做能量面。由隐式函数定理，如果保持对于所有,是一个流形。在那种情况下是一个的余维数1一个子流形，叫做常规能源表面。如果包含能源表面，任意子集叫做等能道。有时的两个子集包含一样的能源表面也是提到的等能道 广义的哈密尔顿系

14、统，拥有经典哈密尔顿系统的所有保持性能。例如，过（1.6）的解，哈密尔顿变量被固定，因为我们经常在（1.5）用到的。这意味着（1.6）的轨道局限于的能量面。对于辛保存的证明来自通过（1.6）的流量，看亚伯拉罕和马斯登或者阿诺德。体积的保存遵循附录A.16。哈密尔顿系统的性能延续到它们的庞加莱映射。特别是，对于一个维自由度的哈密尔顿系统，如果是一个维的庞加莱截面在一个固定的能量面内，那么限制辛的形式是非退化的，相应的庞加莱映射（如果定义）是辛映射。例如，。 让我们考虑一个映射。变化率沿着一个哈密尔顿向量场的轨迹能够计算因为是泊松括号由辛形式诱导而来（见附录A.16）的哈密尔顿系统的首次积分是一个

15、常数解的函数，以上公式表明是不变的当且仅当，例如，当且仅当是退化的随着。一些向量场能够写成哈密尔顿形式在开集中，但是没有在整个的相空间上。例如，思考相空间和坐标和辛的形式。微分方程，容许哈密尔顿函数在的开子集上，但是这种函数不能扩展到一个全局性的确定的平稳的函数在上，因为它在中不是周期性的。一般来说，如果对于任意有一个的邻域，是一个受限于的哈密尔顿变量，在辛流形上的一个向量场叫做局部哈密尔顿量，。注：是一个局部哈密尔顿变量当且仅当单形是闭的对于所有来说。1.6 Poincare-Cartan 积分不变式目前为止我一直认为只有独立哈密尔顿函数向量场，但是在经典力学中也有人遇到过这样的微分方程形式

16、 ， 。 （1.7） 这样一个系统源自一个依赖时间的哈密尔顿变量通过典型的辛形式，正如它的自治系统。然而，一些独立哈密尔顿系统的保守型能无法对（1.7）满足。例如，哈密尔顿函数通常不转换解的方向。 一个重要的保守性能是适用于独立和不独立的情况是积分在扩展的相空间的渐进线上。这个积分叫做Poincare-Cartan 积分不变式，制定精确地保守效果是下面的情况。让作为初始条件处的渐近线。表示曲线的像在流的作用下扩展相空间记为。那么，。简言之，Poincare-Cartan 积分不变式在扩展的相空间（是沿着随着常数平面与“隧道” 交叉的解保守的见图1.4）。对于一个Poincare-Cartan

17、积分不变式的几何证明，见，例如，Arnold21 1.7 生成函数 哈密尔顿函数方程（1.7）证明是等价于极限化积分，例如，它们来源于条件因此，如果我们改变变量保持规范的辛结构，那么我们必须有 ， （1.8）是一些标量乘数，是被转化的哈密尔顿变量，是一个封闭的单形。为了简单，我们让 和寻求那就可以保证（1.8）条件，因为闭型是确定在简单的欧氏空间连接的地区，我们可以改写（1.8）如对于一些实值函数。无解，我们进一步改写这个方程如其中。这个最终公式结果表明，任何函数，一种依赖时间变化的变量变换满足将会导致一个典型的，时间相依的哈密尔顿系统通过哈密尔顿变量 （1.9）由此而论，函数叫做生成函数，对

18、于变量的变换利用生成函数的优点是不用必须完成转化为整个哈密尔顿系统的向量场；一种简单的计算哈密尔顿函数的方法来自（1.9），源自新的向量场就通过规范的辛来自。注：对于时间相依转型的哈密尔顿变量仅仅是以新坐标表达初始哈密尔顿量。对于更多的资料关于生成函数，见Abraham and Marsden或者Arnold。 1.8 无限维的哈密尔顿系统 在这本书的第5章我们将会遇到哈密尔顿系统在函数空间上是确定的。因为大部分的分析将会限制在无限维流形，这里我们只说最简单的无限维哈密顿系统。作为一般参考书目，我们推荐Chernoff and Marsden或者Abraham et al.。 把一个不牢固的辛

19、流形模式化在空间上，让作为一个类的函数（见附录B的定义）。一个哈密尔顿函数向量场是和联系起来的向量场是满足 （1.10）对于所有的因为假定为弱的非退化，在映射上不是必须的，因此可能不存在对于一个固定的函数。此外，尽管是光滑的，通常是确定的仅仅在的子集上。然而，因为是单射，所以是唯一的当它是确定的。如果被假定为强的非退化的，则哈密尔顿系统的一般形式在是此外，一般不是处处确定的在上。假如流是存在的，在无限维的情况下，能量的性能和通过哈密尔顿系统的流的体积保守也拥有。 或许无限维的哈密尔顿系统最著名的例子是线性波动方程和函数为了简单，我们限制，假定在上是周期性的且周期。随着表达式，方程能够改写成如

20、. （1.11）考虑现在的流形和能量函数和双形来源于一个辛流形。我们现在计算哈密尔顿向量场和联系起来存在的上。运用公式（1.10）和从附录B.4中-梯度的定义，我们可以写出因为和是任意的，我们几乎处处可以得到和。注：是唯一一个在上的向量场，如果我们限制致密的子集。因此，系统（1.11）是哈密尔顿系统和能够写成如下几乎处处在上。事实上哈密尔顿系统存在半群理论的流（见Yosida）。我们最后注解是定义在上意义上的全局分布。 1.9辛约化在经典的力学里，一个古老的技术就是通过研究哈密尔顿系统的周期对称性来减小它的维数。一个广义的哈密尔顿系统和普通的连续的对称性思想的延伸由辛约化理论给出。下面我们会详

21、细描述，为了更详细的知道细节和结果，我们请读者参阅参考文献4Abraham and Marsden和21Arnold是一个辛流形并且是一个李群（附录A.7）。一个群里的映射：，如果对任意的，是一个辛映射，也就是，则称为偶对的。任何的子群将会引起在上的流并且符合的向量场是局部汉密尔顿量。这由下面的公式给出，因为，因为是偶对的并且变化微小。我们对这种情况感兴趣，在这种情况下，是全局哈密尔顿量并且子群上的函数可以被认为是哈密尔顿系统作用在上的流。相应的哈密尔顿函数将会被认为是群函数里的动量映射，这是由于在经典的力学里，循环对称的存在性，与角动量相似的角色激发产生的。为了让这些想法更加精确，设是一个与

22、辛流型相关的辛函数，让是一个从到李代数映射的对偶空间。我们称是一个动量映射，如果函数满足：，或者更细微地说，。这里是极小数，和函数并且指的是对偶空间和中的元素的序列对相关。为了避免介绍更多的注释，我们把我们的注意力限制在交换群中，也是阿贝尔群，在这个群中，群的乘法是可以交换的。我们在这本书遇到的对称性都是由阿贝尔对称群产生的。为了在非阿贝尔群中的函数下的辛减约化，读者请参阅我们上面所标注的资源。在阿贝尔李群中，例如或者是，我们可以根据下面的实行辛约化。假设我们已经确定了是李群中的函数的动量映射。回想：动量映射可以被想成是群函数的哈密尔顿函数。辛约化的思想包括建立一个新的级别，然后关于群的函数采

23、取商空间的水平。对任意固定的，被作用的空间被称做是约化相空间。图1.5显示，约化的相空间是一个流形，如果是一个常量并且作用在上的函数是适当的和自由的。 让作为商的投射，映射任意点到类上对应的群的轨道（见图1.5）.派生的能够用来确定向量的等价类在任何切空间也就是说，一个拥有，在中通过的映射仅是向量的等价类。它能够显示双形是定义为是非退化的在上，假如是一个正则值对于和的作用是适当的和任意的在上。在那种情况下，是一个辛流形，能够作为全部的哈密尔顿流的“模型”。这意味着如果表示哈密尔顿流生成的简化的哈密尔顿函数 ，在辛流形上，那么在上约化的流与在上的全部哈密尔顿流量交换，例如，。研究在上约化的流使得

24、理解在拓相空间上的动力学更容易。1.10 可积性系统 正如我们所看到的那样，一个合适对称群的存在及其相应的守恒量有效地减少了哈密尔顿系统的一个自由度。如果在一个问题中能找到足够多的自由积分，那么连续减少最终将会形成单自由度汉密尔顿系统，而它又是可以根据面积来积分的，例如，用绝对值法求单积分的值。通过对称群及在减少过程中用到的相应积分而最终形成的一维自由度问题的解决方法可以重新构造全相空间结构。在绝大多数情况下，大部分的可积相空间中，n维自由度问题可归结为不变n维圆环面。 Liouville-Arnold-Jost定理给出了上述论述的一个准确表达式，也就是下面我们将要描述的。（证明见Arnold

25、21,更多关于可积系统的知识见Arnold et al.22）。设是一个有限维辛流型，(1.13)是定义在上的哈密尔顿系统，含有平光滑汉密尔顿量。假设对于（1.13）存在n个积分它们彼此对合，例如，对所有的和成立。考虑联合式并假设n个函数不依赖于，那么显然是哈密尔顿系统（1.13）的一个不变流型。此外，如果是简洁的和关联的，那么Liouville-Arnold-Jost定理保证了微分同胚于n维圆环面。在这种情况下，存在一个接近的作用角度变量其中是个开集，这样对偶形就可以写成 并且方程（1.13）变为注意，在这些新坐标中，哈密尔顿只依赖于。此外，流是完全可积的，因为解决方案可写为如果频率向量的元

26、素理性地独立于给定的n维圆环面那么结果是准周期的，并且每一个都形成了圆环面的稠密子集。但是，如果频率是理性依赖的，那么所有的j解是周期性的，例如闭轨道形成了圆环面。这样的一个圆环面被称为谐振的。在一般的可积系统中，谐振圆环面在相空间中形成了一个零测度的稠密集，与此同时，不是谐振的圆环面通常会形成满测度的稠密集。在大多数情况下可积性的得出比不可积更难建立。对于n维自由度哈密尔顿系统，有一些准则能自动指出n个独立积分的不存在性。想要查阅这些准则，我们建议读者查看Kozlov211,那同时给出了汉密尔顿动态系统几个方面的详细介绍。1.11 KAM定理和Whiskered圆环面可积汉密尔顿系统在它们的

27、相空间中有很多要求。因为很多经典力学问题与一些可积系统类似，因此很自然地想到研究圆环面在小幅度扰动下的积分极限情况。在天体力学中，试图在近可积系统中建立持久不变圆环面始于Lindstedt和Deprit。但是，Ponicare注意到，他们对于持久不变圆环面的扰动系列大体上是发散的。发散的原因是小分母的出现，这又归因于谐振圆环面。KAM定理是在对形如的近可积汉密尔顿系统中的n维持久不变圆环面的研究结果中得出的。在定理的早期发展过程中，汉密尔顿被假定为解析的，然后需要的条件被减弱到2n+1阶导数连续（见Poschel312或Arnold et al.22）。KAM定理的主要结果是在相空间的有限开集上非退化条件能否被满足，那么中大量未被扰动的n维圆环面需