函数极限和连续性

1、第一章 函数、极限和连续性内容提要：1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。因此，在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性和有界性。2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总结起

2、来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生巧，对各种方法融会贯通。无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。它们既是对极限计算的应用，又可以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限。3.函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的

3、函数。对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。第一节 函数考点精讲一基本概念1.函数：从实数集的子集到的一个映射称之为函数，记作，称为自变量，为因变量。函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因为这两者可以决定值域）。其中，定义域是自变量的取值范围；值域是因变量的取值范围记作。函数由其解析式和定义域唯一确定，与符号的选取无关，如与是同一个函数。在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使得函数运算有意义的自变量的取值

4、范围。易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集。常见的函数的定义域如下：2.复合函数：设与为两个函数，如果的值域包含于的定义域，则可以定义与的复合函数。类似地，还可以定义三个或更多函数的的复合函数。复合函数的性质：）复合函数的运算满足结合律，即（注意，复合函数不满足交换律。例如令，则）；）如果单调性相同，则单调递增；如果单调性相反，则单调递减。3.反函数：函数是一个映射，如果该映射的逆映射存在，则称该逆映射是函数的逆映射，记作。反函数的性质：）函数存在反函数当且仅当对定义域内任意两点，有 ；）反函数与原函数的图像关于直线对称；）反函数与原函数的增减性相同。常见反函数：4.初等函数：由基本初等

5、函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数。基本初等函数包括如下五类函数：幂函数，指数函数：；对数函数：；三角函数：等；反三角函数：等。5.分段函数：函数在的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数。常见的分段函数：，二基本性质1.函数的单调性：如果对函数在某区间内的任意两点都有（或），就称函数在上单调递增（或单调递减），相应地称是的一个单调增区间（或单调减区间）。如果对区间内的任意两点都有（或），我们就称函数在上单调不减（或单调不增）。函数单调性的性质：）如果都是增函数（或减函数），则也是增函数（或减函数）。）如果是增函数，是减函数，则是增函数，是减函数。）如果是增函数（或减函

6、数），如果常数，则是增函数；如果常数，则是减函数。常见函数的单调增区间及单调减区间：2.函数的周期性：如果存在正数，使得对函数在其定义域内的任意一点都有，就称是一个周期函数，而是的一个周期。易知如果是的一个周期，那么对任意的正整数，都是的周期。在的所有周期中，我们把其中最小的称为最小正周期。很多时候，我们往往也把最小正周期简称为周期。周期函数的性质：）如果以为周期，则对任意的非零常数，仍然以为周期，以为周期。）如果都以为周期，则仍然以为周期（）。注意这时最小正周期有可能缩小，如都以为最小正周期，但以为最小正周期。常见周期函数的周期：3.函数的奇偶性：如果对其定义域内的任意一点，（或），就称是一

7、个偶函数（或奇函数）。奇偶函数的性质：）偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称；）如果都是奇函数（或偶函数），则对任意的常数，仍然是奇函数（或偶函数）； ）如果奇偶性相同，则为偶函数；如果奇偶性相反，则为奇函数；）对于任意定义在对称区间上的函数，、与都是偶函数；是奇函数。常见的奇函数：常见的偶函数：4.函数的有界性：设是一个函数，如果存在一个实数，使得对定义域内任意的一点，都有，则称函数有上界，并称是函数的一个上界；如果存在一个实数，使得对定义域内任意的一点，都有，则称函数有下界，并称是函数的一个下界。既有上界又有下界的函数称为有界函数，也即函数有界当且仅当，存在实数与，使得对定义域

8、内任意的一点，都有。注：有界函数还有一个等价的定义：存在实数，使得对定义域内任意一点，都有。读者可以尝试自行证明这个结论。核心题型与思路总结题型一 函数的基本概念和重要性质【例1】：判断下列函数是否相同（1）与 （2）与（3）与分析：两函数相等当且仅当两函数定义域与对应法则均一致，按照这两个标准判断即可。要注意的是利用何种字母表示函数与函数是否相同无关。【解】：（1）是一对不同的函数。因为前者定义域为，而后者的定义域为。（2）是一对不同的函数，因为对应法则不同。前者的解析式为，当时，二者的对应法则不同。（3）是一对相同的函数。首先，二者的定义域同为。其次，在前一个函数中，有，因此后一个函数实际

9、上等价于。而函数相同与否与自变量的选取无关，因此这两个函数相同。【例2】：求下列函数的定义域（1） （2）分析：根据基本初等函数的定义域计算：，。【解】：（1）因此函数的定义域为（2）因此函数的定义域为。【例3】：设，试求与分析：直接按定义代入【解】：按照定义有由定义域有因此有进一步还有【例4】：设试计算的反函数分析：把函数看作关于方程进行求解，分段函数分段求解，求反函数时要注意计算定义域，也即原函数的值域。【解】：由解得因此原函数的反函数为【例5】：讨论函数下列函数在其定义域内的有界性，分析：按照定义，如果有界，一般通过不等式的放缩法得到上界和下界；如果无界，则说明函数值的绝对值可以无限扩大

10、。【解】：的定义域为，由可得，因此，因此在定义域上有界。的定义域为。在其定义域上有，因此函数在定义域上有界的定义域为，令，则，由于可以取得任意地大，因此函数无界。第二节 极限考点精讲一基本概念1.数列极限：2.函数极限：3.左（右）极限右极限的定义类似。3.无穷小：以0为极限的量.也即，如果，则称时为无穷小。【注】：无穷小量的重要性质1）.有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；2）.有限个无穷小量的和仍为无穷小量；3）.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。4.无穷大：在自变量的某一过程中，函数值无限增大的量【注】：无穷大量的重要性质1）.无穷大实际上是极限不存在的情况，但极限不存在的量并不一定都是

11、无穷大量2）.无穷大量也是一个动态变化的过程，而不是一个实际存在的数。3）.无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量，非0的无穷小量的倒数是无穷大量。5.无穷小量的比较设a.高阶无穷小量与低阶无穷小量：b.同阶无穷小量c.等价无穷小量同阶无穷小量的特殊情况，将定义中的C改为1即可，记作【注】：等价无穷小在计算极限中有重要的作用，需要记住的等价无穷小有二基本性质1.极限的性质1）.四则运算：设2数列极限的性质及其收敛法则：a.性质唯一性：有界性：（其逆不真）保序性：有两个数列 若从某一项开始，以后所有项都有，则（注：把都改为结论不成立） 若有，则从某一项开始，以后所有项都有（注：把都改

12、为结论不成立）3.函数极限的性质及其相关定理：a.唯一性：若存在，且有及，则。b.有界性：若存在，则存在正数，使得在内有界c.保序性：若存在正数，对于任意满足的都有，则 若有，存在正数，对于任意满足的都有三重要公式与定理1.收敛准则：a.夹逼定理：若存在正数，对于任意满足的都有，且,则.b.单调有界原理：单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为2.两个重要极限a.b.3.洛必达法则（型） 设满足）在的领域内可导（点除外）且）则有（型）设满足）存在一个正数X,当时有可导，且）则有（型）设满足）在的领域内可导（点除外）且）则有（型）设满足）存在一个正数X,当

13、时有可导，且）则有4.重要公式：a.几种常见的无穷大量趋近于无穷的快慢比较：当时，以下各函数趋近于无穷的快慢当时，以下各数列趋近于无穷的快慢b.常用极限四计算极限的主要方法1.利用初等变换或变量替换利用极限的四则运算将极限变形，化为便于计算的形式。【注】：1.关于无穷大的运算法则2.如果出现等情况，则不能直接用公式计算需要应用后面的方法计算。2.等价无穷小替换设在时，则有。【注】：1.等价无穷小替换在极限计算过程中一般起辅助的作用，它和洛必达法则连用可以简化计算。2.只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能替换。如中的不能替换为。事实上，由洛必达法则可知。3.洛必达法则洛必达法

14、则是计算函数极限最常用的方法，使用时需要注意以下几点a.如果，并不代表。如由夹逼原理可知时，而，因此。而如果运用洛必达法则的话，就会得到，而不存在。b.使用洛必达法则之前，先检验是否满足所需条件；c.多次应用时，注意在用完之后将式子整理化简；d.与等价无穷小量结合使用通常可以简化计算；e.数列极限如果也想用洛必达法则计算的话可以通过变量替换转化为函数极限。f.当极限式中有积分号时，需要用到变限积分求导的公式：设函数连续，可导，则有。4.利用两个重要极限a.推广：b.推广：或c.关于幂指数的三个公式）5.利用夹逼法夹逼法实质上是对待求极限的数列或函数进行放大或缩小，进行放缩的时候有两个原则：1.

15、尽量简化计算；2.不改变极限值，优先考虑第二条。6.利用单调有界原理单调有界原理一般用于递推形式的数列极限，也即数列以的形式给出的极限。思路是，先证明极限存在（一般要用到数学归纳法证明数列单调有界），再对递推式两边同时取极限得到，进而解出极限值。7.利用泰勒公式或中值定理a.泰勒公式设函数在点处有阶导数则在的某邻域内有常见函数的泰勒公式特例：b.拉格朗日中值定理设函数在上连续，在上可导，则存在，使得。8.利用定积分计算和式的极限每项提出或后，原和式可写成或。利用定积分的定义，有或。核心题型与思路总结题型二无穷小的比较解题思路：（1）两个无穷小比较，可利用定义，即将两个无穷小量相除再求极限，求极

16、限时通常会用到等价无穷小替换和洛必达法则。 （2）需要比较的无穷小较多时，一般先将各个无穷小分别化简，化简的方法有等价无穷小替换，或是求导（当出现积分号时）。需要注意的是，函数的排列次序，与导函数的排列次序是一致的。【例6】：设则时：是的A.高阶无穷小量 B.低阶无穷小量C.同阶非等价无穷小量 D.等价无穷小量分析：利用定义，将两函数相除，再求极限。【解】：可知是的同阶非等价无穷小量，故选C【例7】：在时，下列无穷小量中与等价的是：A. B.C. D.分析：利用常见的等价无穷小，将各无穷小替换成便于比较的形式【解】：利用等价无穷小可知，当时；，注意到，因此有；。故选B.【例8】：试将排列起来，

17、使得时前面是后面的高阶无穷小。分析：利用等价无穷小替换和求导将各个无穷小量化成便于比较的形式。注意函数的排列次序与导函数一致。【解】：当时可知，导函数按从高阶到低阶的排列顺序为；因此，函数按从高阶到低阶的排列顺序为。题型三未定式函数极限的计算1.型未定式解题思路：（1）当极限式中有根式时，可以考虑利用根式有理化进行化简，提出零因子。根式有理化公式：。（2）利用等价无穷小替换，考生应该养成一个良好的习惯：再计算每一个极限前都检查一下是否有可以通过等价无穷小替换简化的部分。等价无穷小量替换一般和其他方法结合使用，在应用时要注意被替换的部分一定要是整个极限独立的因子。设在时，则有。（3）洛必达法则是

18、最常用的方法，运用时不要忘记对公式适用的条件进行检验，应用前一般要通过等价无穷小替换，变量代换等方法对原式进行化简。(4)另外还可以通过初等变换或变量代换对极限式进行化简。一种常见的变量方法是倒代换或。【例9】：求下列极限（1） （2）（3） （4）分析：先观察可以进行哪些等价无穷小替换进行化简，再利用洛必达法则计算。有根号的可以先进行根式有理化以提出零因子。【解】：（1）可知（2）（3）法一：法二：利用拉格朗日中值定理可得其中介于与之间。当时，有，因此原极限可化为之后同法一。（4）【例10】：计算极限分析：此题为型的极限，但若用洛必达法则计算则会得到。求导之后的极限反而比原式更复杂，因此需要

19、先对极限进行处理。这里可以作倒代换，化为型的极限再用洛必达法则。【解】：令得这样由洛必达法则有【例11】：求下列极限（1） （2）分析：综合运用计算极限的各种技巧。【解】：（1）（2）2.型或型未定式解题思路：（1）直接利用洛必达法则计算；（2）通过根式有理化、变量代换等方法变为型计算；（3）等价无穷小替换；（4）如果极限过程是，而极限式中又有，等函数，一般要分别计算与时的极限。【例12】：求下列极限（1） （2）（3） （4）（5）分析：当极限式中含有变限积分时，一般考虑直接用洛必达法则；第（3）题的极限要分与的情况计算；第（4）题可用等价无穷小替换；第（5）题分别计算左右极限。【解】：（1

20、）（2）注：由于，所以可以使用洛必达法则。（3）分与的情况计算：（最后一步用到了）。由于，因此不存在。（4）（5）由于，可知由于，可知因此左右极限都存在并且都等于则。【例13】：求下列极限（1） （2）分析：综合运用计算极限的各种技巧。【解】：（1）（式中用到了）而是一个有界量，由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，因此有 （2）3.型未定式解题思路：（1）通分化为型；（2）利用根式有理化或变量代换化为型；（3）利用等价无穷小替换；（4）利用泰勒公式。【例14】：求下列极限（1） （2）（3）（4）分析：（1）（2）直接通分；（3）可以进行变量代换化为型，也可以直接利用泰勒公式计算；（4）根式有

21、理化。【解】：（1）（2）（3）法一：法二：由泰勒公式可知 代入极限式可得。（4）4.型未定式解题思路：（1）利用对数恒等式进行变形，可以将型都变为型；（2）对于型的极限还可以利用重要极限来计算：。考生可以将最后的结论记住，在计算时就可以把型的极限直接转化为型极限。（3）等价无穷小替换；（4）如果极限过程是，而极限式中又有，等函数，一般要分别计算与时的极限。【例15】：求下列极限（1） （2）（3）（4）（5）分析：（1）（2）（3）都是型极限，用公式计算；（4）（5）先利用对数恒等式化简。【解】：（1）（2）（3）（4）（5）【例16】：求极限。分析：用型极限的方法求解【解】：另：极限还可以

22、用等价无穷小替换计算。5.杂例【例17】：求下列极限（1） （2）（3）（4）【解】：（1）分析：幂指函数可用对数恒等式处理。另：本题还可以用导数的定义计算。（2）分析：本题直接用洛必达法则计算会很麻烦。注意到，可以考虑给分子加减后再分成两项计算。（3）分析：本题用洛必达法则求导很麻烦，等价无穷小替换也无法进行，因此可以考虑写出各个函数的泰勒公式由泰勒公式可知，当时，有，代入原极限式可得（4）分析：含变限积分的极限应该用洛必达法则求导消去积分号，求导之前先要对极限式进行化简。因此。【例18】：设连续，求极限分析：积分式中出现了变限积分，应该用洛必达法则求导消去积分号。但注意到被积函数中出现了求

23、导变量，因此在求导之前应该先用换元法将求导变量换到积分限或是提到积分号外来。【解】：由换元法得。因此原式题型四 数列极限的计算1.利用夹逼原理解题思路：通过放大或缩小找出两边数列的极限【例19】：设，试计算分析：利用可用对数恒等式处理。【解】：由已知条件可知而由夹逼原理的内容可知注：本题的结论可以记为。这可以当做一个结论记下来，对以后的解题会有帮助。使用时要注意条件【例20】：计算下列极限（1） （2）分析：利用上题结论【解】：（1）函数的分段解析式请考生自己写出。（2）。2.利用单调有界原理解题思路：单调有界原理主要用于数列是以递推式的形式给出的极限，其解题过程一般可以归纳如下：对通项和递推

24、公式进行分析，证明数列单调有界，证明过程一般会用到数学归纳法；利用单调有界原理说明数列极限存在；设，并对递推式两边同时取极限，得到，解该方程即可得到数列的极限。【例21】：（1）序列满足， ，证明极限存在并求出该极限的值。（2）序列满足， ，证明极限存在并求出该极限的值。【解】：（1）先用数学归纳法证明容易检验；假设则由可知而此时有，因此单调递减。因此，单调递减且有下界，由单调有界原理可知存在。设并对两边同时取极限得，解得，因此。（2）先用数学归纳法证明容易检验；假设则由可知而此时有，因此单调递增。因此，单调递增且有上界，由单调有界原理可知存在。设并对两边同时取极限得，解得，因此。3.项和或项

25、乘积的极限解题思路：（1）通过初等变换将极限式化简；（2）利用夹逼原理将极限式放大缩小后找出两边数列的极限；（3）利用定积分的定义，将原极限式凑成或；（4）对于项乘积的极限，可以先取对数化为项的极限，再利用定积分的定义计算。【例22】：计算下列极限（1） （2）（3） （4）分析：（1）对分式进行拆分，消去中间项；（2）利用夹逼原理化简；（3）（4）给连乘式乘上一个因子之后可发生连锁反应消去中间项。【解】：（1）因此（2）首先根据极限式的特点，我们有。而；。由夹逼定理可知。（3）因此（因为，所以）。（4）则。【例23】：计算下列极限（1）（2）（3）分析：（1）（2）化为定积分；（3）先取对数

26、化为连加再利用定积分。【解】：（1）（2）（3）对取对数得。而，因此。【例24】：计算极限。分析：先将极限式放大和缩小得到两个极限，再利用定积分的定义计算。【解】：由极限式的特点有而；由夹逼原理可知。题型五 极限中常数的确定【例25】：设，则，。分析：由于极限存在且不为零，极限式的分子又趋近于零，可知分母也趋近于零，由此可以确定常数。确定常数后，再计算出极限的值，进而确定常数。【解】：由于，要是极限值不为零，必有，则。当时，有，可知。【例26】：若，则等于（ ）A、0 B、1 C、2 D、3分析：直接计算出极限的值。【解】：，因此，故选C。【例27】：确定常数的值，使分析：由于极限存在且不为零

27、，极限式的分子又趋近于零，可知分母也趋近于零，由此可以确定常数。确定常数后，注意到此时分母与同阶，从而确定常数。最后再计算出极限的值，从而得到常数的值。【解】：由于，要是极限值不为零，必有，由于被积函数满足，因此要使，则只能有。再注意到，也即与同阶。因此要使极限存在且不为零，则分母也必须和同阶。而当时，有，要使和同阶，则必有。此时有，因此。第三节 函数的连续性考点精讲一基本概念一基本概念1.函数的连续性a.在一点连续：b.左（右）连续c.在区间上连续2.函数的间断点（函数不连续的点称为间断点）间断点的分类：第一类间断点：左右极限都存在若左右极限相等但不等于函数值，则称之为可去间断点；若左右极限

28、不相等则称之为跳跃间断点。第二类间断点：左右极限至少有一个不存在若左右极限中至少有一个为无穷大量，则称之为无穷间断点。二重要公式、定理1.连续函数的性质a.四则运算：设均在某区间上连续，则函数，都在上连续b.复合函数的连续性：设均在其定义域上连续，且有，则是上的连续函数。c.反函数的连续性设是上的连续函数，是它的反函数，则是上的连续函数。2初等函数的连续性a.初等函数：由函数，经过有限次四则运算或是复合运算得到的函数。b.初等函数的连续性：一切初等函数都在其定义域上连续。3.闭区间上连续函数的性质：a.有界性：设函数在上连续，则存在正数，使得对任意的都有b.最值定理：设函数在上连续，则在上能够

29、取到最大值与最小值，即c.介值定理：设函数在上连续，M和m分别为在上的最大值与最小值（联系最值定理，最大值最小值必然存在且都能取到） 若C满足mCM,则d.零点存在定理：设函数在上连续，且有，则（此定理是介值定理的推论，常被用于证明方程有根）题型五 已知函数连续确定函数中的参数解题思路：（1）利用函数连续的定义：极限存在且等于函数值；（2）如果函数是分段函数或是计算极限需要区分左右极限的，则分别计算左右极限并且让它们都等于函数值。【例28】：设函数 在处连续，则【解】：，因此。【例29】：设试补充定义，使得在上连续。【解】：易知：仅需让函数在处左连续，也即。而对于后一个极限式，令可得。可知。题

30、型六 确定间断点的类型解题思路：（1）要确定间断点的类型，先计算出函数在这一点的左右极限，再根据左右极限在这一点的存在与否或相等与否对号入座，确定其类型。（2）如果给出一个函数，要确定所有间断点的类型，则先找出所有“可疑点”（分段点，分母为零的点），再一一判断。【例30】：求函数 在内的间断点，并判断其类型。分析：先找出所有“可疑点”，再一一判断。【解】：注意到当时，的分母为零；当时无定义，因此在内，所有可能的间断点有。下面再一一讨论间断点的类型在处，时，可知为无穷间断点。同理也是无穷间断点。在处，因此函数在这一点的左右极限都存在且相等，则为可去间断点。同理也为可去间断点。【例31】：设 ，求

31、的间断点及其类型。分析：先求出函数的解析式，在寻找可能的间断点并一一判断。【解】：易知该函数的定义域为。计算极限可得。因此，函数所有可能的间断点为。对于，易知。也即函数在处左右极限都存在且相等，则为可去间断点。而对于，易知必有一个为，因此它们都为无穷间断点。【例32】：设函数 。问为何值的时候，在处连续；为何值的时候，是的可去间断点？分析：分别计算出函数在处的左右极限，再进行判断。【解】：；。如果由可得，解得或。又由于当时，。因此时，在处连续。当时，。因此时，是的可去间断点。题型七 闭区间上连续函数的性质解题思路：将等式两边相减，即得到辅助函数。证明过程中经常会用到最值定理和介值定理。【例33】：设函数在上连续，且，证明：存在常数使得。【证明】：令，则是闭区间上的连续函数。由已知条件可知。由闭区间上连续函数的介值定理可知，存在常数使得，也即。【例34】：证明：方程有无穷多个正根。【证明】：令，则是上的连续函数。易知，对任意的正整数，有。又由于在闭区间上连续，则由闭区间上连续函数的介值定理可知，存在常数使得，也即为的正根。又由于可以为任意正整数，因此方程有无穷