高校微积分教学课件函数的连续及间断(2017年)

1、函数的连续与间断第第10节节北京理工大学数学系.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 北京理工大学数学系2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx

2、或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是北京理工大学数学系定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .0000( )

3、1. ( )2. lim( )3. ().xxf xxf xxf xf x函数在点 点连续包含了如下三个条件：在点 有确定的函数值；极限存在；极限值等于函数值三条件缺三条件缺一不可一不可北京理工大学数学系:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当北京理工大学数学系例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 北京理工大学数学系3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(000

4、0处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 北京理工大学数学系例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0

5、)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf北京理工大学数学系4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.在定义域内点点连续的函数称为连续函数。在定义域内点点连续的函数称为

6、连续函数。北京理工大学数学系:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf北京理工大学数学系1.1.跳跃间断点跳跃间断点0000( ),(0)(0),( )f xxf xf xxf x如果在点处左 右极限都存在 但则称点 为函数的跳跃间

7、断点.例例3 3,0,( )01,0,xxf xxxx讨论函数在处的连续性。解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy北京理工大学数学系2.2.可去间断点可去间断点00000( ),lim( )(),( )( )xxf xxf xAf xf xxxf x如果在点处的极限存在但或在点处无定义则称点 为函数的可去间断点。例例4 401,2,( )11,1,1,1xxf xxxxx讨论函数在处的连续性。oxy112xy 1xy2 北京理工大学数学系解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),

8、1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.北京理工大学数学系如例如例4 4中中, , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.3.第二类间断点第二类间断点00( ),( ).f xxxf x如果在点处的左、右极限至少有一个不存 在 则称点为

9、函数的第二类间断点例例5 51,0,( )0,0,xf xxxxx讨论函数在处的连续性.解解oxy, 0)00( f,)00( f1x 为函数的第二类间断点。3.3.第二类间断点第二类间断点定义：无穷型间断点定义：无穷型间断点000(,)xxxxxx当或时，函数值趋向于无穷大的间断点.例例6 61( )sin0.f xxx讨论函数在处的连续性解解xy1sin 0 x 在处没有定义,01limsinxx且不存在.0.x 为第二类间断点这种情况称为的振荡间断点.注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. .0( )xxf x当时，函数值无限次在两个不同数之间变动，这种间断点振荡型称为间断点.北京理工大学数学系11101( )020 xxxxf xxex练习：讨论函数：的连续性。1.1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件; ;3.3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别; ;2.2.区间上的连续函数区间上的连续函数; ;第一类间断点第一类间断点: :可去型可去型, ,跳跃型跳跃型. .第二类间断点第二类间断点: :无穷型无穷型