34基本不等式

1、北京第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。新课引入新课引入ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S = =ab2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：SS即即问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？22ba ab2(ab)ADBCEFGHba22ab猜想：猜想： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22ba ab222ba ab2(ab

2、)(ab)思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法） 2)(ba重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,bR0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0, ,ababa b如果我们用分别代替

3、可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：) 0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证要证，只要证，只要证_0ab要证要证，只要证，只要证2(_)0显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：

4、通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以AB

5、CDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上

6、一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab 例例1（1）用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m的矩形的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：（解：（1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy等号当且仅当等号

7、当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m. 结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值例例1.1.（2 2）用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？多少？结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值例2: 某工厂拟建一座平面

8、图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为周围墙建造单价为400元元/m，中间两道隔墙建造，中间两道隔墙建造单价为单价为248元元/m，池底建造单价为，池底建造单价为80元元/m2，水，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。设污水处理池的长为 x m 、宽为 ym,总造价为z元，则解解：z=400 (2x+2y)+2482y+80200=800 x+129

9、6y+16000.当且仅当800 x=1296y, 即x=18时，取等号。304001600012968002yx答答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。xy=200 练习练习3.3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为容积为4800m4800m3 3, ,深为深为3m,3m,如果池底每如果池底每1m1m2 2的造的造 价为价为150150元，池壁每元，池壁每1m1m2 2的造价为的造价为120120元，元， 问怎样设计水池能使总造价最低？问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？最低总造价是多少元？221.2(ab

10、Rababab、，当且仅当时取等号）2.,(2ababRabab、当且仅当时取等号）22(2ababRab、，同上）2,() (2ababRab、同上）,2(abRabab、同上）复习回顾例 1、已知PxySyxRyx,、， 求证： （1）如果P是定值，那么当 且仅 当yx时， S的值 最小，且最小值为P2； （2）如果S是定值，那么当 且仅 当yx时， P的值 最大，且最大值为42S。 10,xyxxx例1、若求函数的最小值，并求此时 的值。1变式2：已知x3,求函数y=x+的最小值，并求此时x的值。x-31变式3：已知x3,求函数y=x+ 的最小值，并求此时x的值。x1变式1：已知x0,求函数y=x+ 的最大值，并求此时x的值。x一、正二、定三、相等例2、已知0 x1,求函数y=x（1-x）的最大值。,yx1变式：已知0 x求函数（1-3x）的最大值313,4245111,yxxxyxyRxy5例 、（1）已知x0,y0,且5x+7y=20，求xy的最大值。 （3