高中全程复习方略配套二倍角的三角函数ppt课件

1、第六节 二倍角的三角函数内内 容容 要要 求求 A AB BC C 二倍角的正弦、二倍角的正弦、余弦及正切余弦及正切 三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :二倍角公式二倍角公式正弦正弦余弦余弦正切正切sin2=sin2=2sincos2sincoscos2=cos2=coscos2 2-sinsin2 2= =1-2sin1-2sin2 2= =2cos2cos2 2-1-122tantan21tan 【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：如何了解思索：如何了解“二倍角中的二倍角中的“倍？倍？提示提示:“:“倍是相对的倍是相对的. .如如是是 的二倍，的二倍，33是是 的二倍，的二倍，

2、+是是 的二倍等的二倍等. .2322(2)(cos15(2)(cos15-cos75-cos75)(sin75)(sin75+sin15+sin15)=_.)=_.【解析】原式【解析】原式=(cos15=(cos15-sin15-sin15)(cos15)(cos15+sin15+sin15) )=cos215=cos215-sin215-sin215=cos30=cos30= =答案：答案：3.232(3) (3) 的值等于的值等于_._.【解析】【解析】答案：答案：1sincos212121111sincos2 sincossin.212124121246818(4)(4)假设假设 那么

3、那么tan2=_.tan2=_.【解析】【解析】答案：答案：1tan,2 22122tan142tan2.131tan31( )24 43 三角函数的化简三角函数的化简【方法点睛】【方法点睛】三角函数的化简技巧三角函数的化简技巧(1)(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角. .(2)(2)正确灵敏地运用公式，经过三角变换消去或约去一些非特殊正确灵敏地运用公式，经过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值角的三角函数值. .(3)(3)一些常规技巧：一些常规技巧：“1“1的代换、正切化弦、和积互化、异角的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等化同

4、角等(4)(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化角的三角函数互化(5)(5)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数被开方数不含三角函数. .【提示】公式的逆用、变形用非常重要，特别是【提示】公式的逆用、变形用非常重要，特别是1+c

5、os21+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,=2cos2,1-cos2=2sin2,方式类似，容易出错，运用时要方式类似，容易出错，运用时要加强加强“目的认识目的认识. . 【例【例1 1】化简以下各式：】化简以下各式：【解题指南】【解题指南】(1)(1)假设留意到化简式是开平方根和假设留意到化简式是开平方根和22是是的二的二倍，倍，是是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)(2)分分子是一个平方差符合二倍角公式，分母切化弦后符合二倍角公子是一个平方差符合二倍角公式，分母切化弦后符合二倍角公式式. .211113(1)cos2(,

6、2 )_.22222 222cossin2_.2tan()cos ()44【规范解答】【规范解答】(1)(1)由于由于所以所以又由于又由于所以所以所以，原式所以，原式= =32 ,2 11cos2coscos ,22 3,42 11cossinsin,2222 sin.2(2)(2)原式原式= =答案：答案：2cos22tan()cos ()44cos22sin()cos()44cos2cos21.cos2sin(2 )2 1 sin 2 12【互动探求】把本例中的【互动探求】把本例中的(2)(2)改为求改为求=_.=_.如何求解？如何求解？【解析】原式【解析】原式= =答案：答案：221co

7、s22tan()sin ()4421cos2122sin()42cos ()4cos()411cos2cos2222sin()cos()sin(2 )442 1cos212cos2212【反思【反思感悟】感悟】1.1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于限于22是是的二倍，要熟习多种方式的两个角的倍数关系，同的二倍，要熟习多种方式的两个角的倍数关系，同时还要留意时还要留意 三个角的内在联络的作用，三个角的内在联络的作用，cos2=cos2= 是常用的三角变换是常用的三角变换. .2.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消化简题一定要

8、找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧. .3.3.公式变形公式变形2 ,44sin(2 )2sin() cos()244 22sin21 cos21 cos2coscos,sin.2sin22 ，【变式备选】不查表求【变式备选】不查表求 的值的值. .【解析】【解析】22sin 20cos 803sin20 cos8022sin 20cos 803sin20 cos80111 cos401cos1603sin20 cos8022111cos40cos1603sin20 cos(6020 )2

9、2111cos40(cos120 cos40sin120 sin40 )223sin20 (cos60 cos20sin60 sin20 )113331cos40cos40sin40sin40si24442 2n 203311cos401 cos40.444 三角函数的求值三角函数的求值【方法点睛】【方法点睛】三角函数求值的类型和技巧三角函数求值的类型和技巧三角函数的求值是三角变换中常见题型三角函数的求值是三角变换中常见题型, ,它分为非条件求值它分为非条件求值( (特特殊的化简殊的化简) )和条件求值和条件求值. .条件求值中又有给值求值和给角求值条件求值中又有给值求值和给角求值, ,解解此

10、类问题的关键是把待求角用知角表示此类问题的关键是把待求角用知角表示: :知角为两个时知角为两个时, ,待求角普通表示为知角的和与差待求角普通表示为知角的和与差. .知角为一个时知角为一个时, ,待求角普通与知角成待求角普通与知角成“倍的关系或倍的关系或“互余互互余互补关系补关系. .对于角还可以进展配凑对于角还可以进展配凑, ,常见的配凑技巧有常见的配凑技巧有: :12() ;22(). 424 【例【例2 2】假设】假设 求求的值的值. .【解题指南】此题可以利用【解题指南】此题可以利用 的变换，同时要留意的变换，同时要留意x x的范围和符号，求出的范围和符号，求出sinxsinx和和cos

11、xcosx代入原式求解；也可以化简原代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用式后得到二倍角与和角的三角函数，利用 的变的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解. .3 177cos(x),x,45 124 2sin2x2sin x1tanxx(x)442x2(x)42【规范解答】方法一：由【规范解答】方法一：由 得得又因又因从而从而原式原式177x,124 5x2 ,3434cos(x),sin(x).4545 cosxcos(x)442cos(x)cossin(x)sin,444410 7 2sinx,tanx7.10 22sin

12、xcosx2sin x1tanx27 227 22 () ()2 ()28101010.1 775 方法二：原式方法二：原式而而所以原式所以原式= =2sinxcosx 1tanx1tanxsin2xtan(x),42 sin2xsin2(x)cos2(x)42472cos (x) 1,425 sin(x)44tan(x),43cos(x)4 7428().25375 【反思【反思感悟】感悟】1.1.此题假设将此题假设将 的左边展开成的左边展开成 再求再求cosx,sinxcosx,sinx的值就很繁琐，把的值就很繁琐，把作为整体，并留意角的变换作为整体，并留意角的变换 运用二倍角公运用二倍角

13、公式，关键是在于化难为易，化繁为简的三角恒等变换式，关键是在于化难为易，化繁为简的三角恒等变换. .2.2.解答有条件限制的求值问题时，要擅长发现所求的三角函数的解答有条件限制的求值问题时，要擅长发现所求的三角函数的角与知条件的角的联络，普通方法是拼角与拆角角与知条件的角的联络，普通方法是拼角与拆角. .3cos(x)453coscosxsinsinx445 ，x42 (x)2x,42【变式训练】【变式训练】(2021(2021淮安模拟淮安模拟) )知知 (1)(1)假设假设 求求tantan的值；的值；(2)(2)假设假设 的值的值. .asin ,1 ,bcos ,2 ,(0,).4ab,

14、17a bsin(2)84 ，求【解析】【解析】(1)(1)由于由于 所以所以2sin=cos.2sin=cos.那么那么(2)(2)由于由于 所以所以由于由于 所以所以所以所以 ab，1tan.2 17a b8 ，171sin cos2,sin2.84 即(0),4，152(0,),cos2.24 则22sin(2)sin2cos242221215230.24248【变式备选】知【变式备选】知cos(+)+cos(-)=cos(+)+cos(-)=sin(+)+sin(-)=sin(+)+sin(-)=求求(1)tan; (2)(1)tan; (2)4,53,522cos3sin12.2si

15、n()4【解析】【解析】(1)(1)由知得由知得得得, ,(2)(2)原式原式= =由由(1)(1)得得 代入上式得代入上式得42cos cos 5 32sin cos 5 3tan.4 cos3sin1 3tansincos1tan，3tan4 ，232cos3sin11 3524.372sin()144 三角恒等式的证明三角恒等式的证明【方法点睛】【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点三角恒等式证明的方法及切入点(1)(1)证明恒等式的方法：证明恒等式的方法：从左到右；从右到左；从两边化到同一式子从左到右；从右到左；从两边化到同一式子. .原那么上是化繁为简，必要时也可用分析法原那么上是

16、化繁为简，必要时也可用分析法. .(2)(2)三角恒等式证明的切入点：三角恒等式证明的切入点：看角：分析角的差别看角：分析角的差别, ,消除差别消除差别, ,向结果中的角转化向结果中的角转化; ;看函数看函数: :一致函数一致函数, ,向结果中的函数转化向结果中的函数转化. . 【例【例3 3】证明：】证明： 【解题指南】【解题指南】(1)(1)从等号的左边开场证明先变成一样的角，再利从等号的左边开场证明先变成一样的角，再利用公式推导；用公式推导；(2)(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，留意从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，留意“1“1的代换的代换. . 1

17、2sin(x) sin(x)cos2x.44 221 2sincos1tan2.cossin1tan【规范解答】【规范解答】(1)(1)左边左边= = 右边，原题得证右边，原题得证. .(2)(2)左边左边 右边，原题得证右边，原题得证. .2sin(x) cos(x)44sin(2x)cos2x222cossin2sincos(cossin ) (cossin )2cossincossin(cossin )cossin1tancossin1tan【互动探求】把本例【互动探求】把本例(2)(2)中等号左边改为中等号左边改为右边不变，试证明右边不变，试证明. .【证明】左边【证明】左边所以原等式

18、成立所以原等式成立. .1tan2,cos2“”22222sincos2tancossin1tan222221tan1tan2tan1tan1tan1tan1tan.1tan右边【反思【反思感悟】三角函数证明时需求对三角函数式化简，三角感悟】三角函数证明时需求对三角函数式化简，三角函数式化简的主要类型为：函数式化简的主要类型为：对三角函数的和式，根本思绪是降幂、消项和逆用公式；对三角函数的和式，根本思绪是降幂、消项和逆用公式；对三角函数的分式，根本思绪是分子与分母约分和逆用公式，对三角函数的分式，根本思绪是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；最终变成整式或数值；对二次根式，那么需求运

19、用倍角公式的变形方式对二次根式，那么需求运用倍角公式的变形方式. .在详细过程在详细过程中表达的那么是化归的思想，是一个中表达的那么是化归的思想，是一个“化异为同的过程，涉化异为同的过程，涉及切弦互化，即及切弦互化，即“函数名的函数名的“化同；角的变换，即化同；角的变换，即“单角单角化倍角、化倍角、“单角化复角、单角化复角、“复角化单角、复角化单角、“复角化复角复角化复角等详细手段等详细手段. .【变式备选】在【变式备选】在ABCABC中，知中，知 求证：求证：a cosBbcosAab cosB，22Atanab2.Babtan2【证明】【证明】(ab) 1cosBa cosBbcosA1c

20、osAab cosBab cosB ，22222222(ab) 1cosB1cosA,ab cosB(ab) 1 cosB1 cosA.1cosA(ab) 1cosBA2sin1 cosAA 1 cosBB2tan,tan,A1cosA2 1cosB22cos2AtanabABab2tantan,.B2(ab)2abtan2而即【总分值指点】三角函数求值客观题的规范解答【总分值指点】三角函数求值客观题的规范解答【典例】【典例】(14(14分分)(2021)(2021天津高考天津高考) )知函数知函数(1)(1)求求f(x)f(x)的定义域与最小正周期；的定义域与最小正周期；(2)(2)设设 求

21、求的大小的大小. . f xtan(2x).4(0,),f()2cos2 ,42若【解题指南】【解题指南】(1)(1)由由 (kZ) (kZ)及周期公式即可求解及周期公式即可求解; ;(2)(2)将知条件代入化简结合二倍角公式建立等式关系，即可求解将知条件代入化简结合二倍角公式建立等式关系，即可求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由 得得22分分所以所以f(x)f(x)的定义域为的定义域为f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为 6 6分分2xk42 2xk ,kZ42 ，kx,kZ.82kxR | x,kZ .82.2(2)(2)由由 得得 即即 8 8分分整理得整理得 10

22、 10分分由于由于 所以所以sin+cos0,sin+cos0,因此因此 12 12分分由由 14 14分分f()2cos2 ,2tan()2cos2 ,422sin()42 cossincos()4，sincos2 cossincossin.cossin(0,)4，211cossin,sin2.22 即(0,),2(0,),2.42612 得所以，即【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)求定义域时未把最后结果写成集合或区间的求定义域时未把最后结果写成集合或区间的形式；形式；(2)(2)忽略忽略的范围，由的范围，由 得出两个结果得出两个结果. .1sin22 备备考考建建议议解决三角函数问题时，还有以下几点容易造成失分，解决三角函数问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：(1)(1)对公式记