惯性张量-转动惯量[学习资料]

1、参考资料-一-页眉页脚可删除-一转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力 矩混淆），通常以I表示，si单位为kg * m,可说是一个物体对 于旋转运动的惯性。对于一个质点，I二mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直 距离。丄=L皿片对于一个有多个质点的系统，ML 。若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计 算其转动惯量。如果一个质量为 m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯 量为Ia。在空间取点 B,使得AB垂直于原本的轴。那么如果以经 过B平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d，则Ib二I a+ md。 力距在直线运动，F = m

2、a在旋转运动，则有t = I a ,其中t是力矩, a是角加速度。动能矿12一般物件的动能是 T 。将速度V和质量m用转动力学的定 义取代：K = 一2简化得一。如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转 动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动 惯量减少了。惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q与以此参考点为原点的 直角座标系 Qxyz，个刚体的惯性张量I是学习材料i参考资料-页眉页脚可删除I甘工【劇G1怡G :。.>7J O对角兀素乙工、'畑 分别为对于x-轴、y-轴、z-轴的惯 dm对于点Q的相对位置。则这些这里，性矩。设定 为微小质量惯性

3、矩，可以精简地用方程式定义为defdefyy =x2 + z2 dm，x2 + y2 dm|o而非对角元素，称为惯性积，可以定义为xy dmxz dmyz dmo导引图AIa.如图A，一个刚体对于质心G与以点G为原点的直角座标系Gxyz 的角动量L&定义为Lg = / r X * dm这里，丁代表微小质量區在Gxyz座标系的位置，1：计代表微小质量 的速度。因为速度是角速度 "叉积位置，所以，Lg = / T % （3 x t） dm计算x-轴分量，#（3 x r）,玄（3 x r）y din学习材料3参考资料-页眉页脚可删除=/ yy 一 y.yx + 一 dm=/+ z2

4、 一 Ljyjcy 一 3尹z dm=% j y1 -I- x1 dm 叫 J 工剳 dm % xz dm .相似地计算y-轴与z-轴分量，角动量为Lax = 5 I y1 + z2 dm I dm sq / xz dm学习材料#参考资料-页眉页脚可删除如果，我们用方程式（1）设定对于质心G的惯性张量丘，让角速 度3为（址，吗? S）,那么，Lg = lg 3。平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。 假若已知刚体对于质 心G的惯性张量T，而质心G的位置是 ，则刚体对于原点0的惯性张量I,依照平行轴定理，可以表述为,(6)证明

5、：ZBn图Ba）参考图B，让仗：/ 列）、（场炉R分别为微小质量 心G与原点0的相对位置：劭=I可,=<+乏。依照方程式（2），1.工=I yt2 zf2 dmIxx = + z2 dm所以，匚=f （+ y）2 * （* I 即 dm=ba I m（y2 + 0）相似地，可以求得L、的方程式b）依照方程式（3），= - / 工宙 dm因为z = I症，y =参视图C，设定点O为直角座标系的原点，点 Q为二维空间里任 意一点，Q不等于0。思考一个刚体，对于 0Q-轴的惯性矩是 IOq =/ 护力"=J I"这里，.是微小质量离0Q-轴的垂直距离，呵是沿着0Q-轴的单 位向量，是微小质量也的位置。展开叉积，loql （"庐一佔 + 仏？ -+ （跟/ - 7）yx）2 dm稍微加以编排，log =2 / y2 + z2 dm + ?/： / x2 +z7 dm + tjI J x2 + y2 dm 2rxiy f xy dm 2耳