《正弦定理的发现与证明教学方案设计

1、正弦定理的发现与证明微课教学设计教学背景：本节课是人教版必修 5 5 第二章解三角形的第一节课的内容“正弦定理”是 初中“解直角三角形”内容的直接延伸，进一步揭示了任意三角形的边与角之间 的客观规律，是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用，也是解决实际生活中三角形问题的重要工具，具有广泛的应用价值对于定理的学习，在 以往的教学中发现大部分学生只关注定理的内容和应用， 而根本不知道定理是如 何证明的. .本节课分两课时，本次微课是第一课时，主要任务是引入并证明正弦 定理，而定理的应用放到下一节课. .学情分析：学生学习本节课以前，已经掌握了如何解直角三角形，并学习了平面几何、三角函数、

2、三角恒等变换、向量等知识，有一定的观察分析、解决问题的能力. .但学生对前后知识间的联系、理解、以及综合应用所学知识上还有所欠缺， 思维 也不够缜密. .尤其向量、三角函数知识学过的时间较长，学生不容易把三角和向 量自然的连接在一起. .教学目标：知识与技能：通过对三角形边长和角度关系的探索，发现并证明正弦定理. .过程与方法：经历完整的正弦定理的发现和获得过程，让学生体会分类讨论、化归、类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法，提高解决问题的能力. .情感态度与价值观：通过利用向量证明正弦定理，了解向量的工具性，体会 知识的内在联系，体会事物之间相互联系与辩证统一 . .教学重点：正弦定理的

3、形成和获得过程；教学难点：正弦定理的证明方法. .教学方法：采用探究式教学模式，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本 探究内容，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导， 并逐步得到深化. .借助多媒体和几何画板，激发学生学习的兴趣，设计符合学生 知识水平和学习心理的教学，鼓励学生大胆猜想，积极探索 学法分析：指导学生掌握“观察一一猜想一一证明一一应用” 这一思维方法，将自己所 学知识应用于对任意三角形性质的探究. .增强学生由特殊到一般的数学思维能 力，形成实事求是的科学态度. .教学过程：一、展示图片，引出课题：展示生活中的三角形图片， 回忆初中所学三角形中经

4、常用到的结论， 女口 “大 边对大角，小边对小角”，是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻 地、从定量的角度研究三角形中的边角关系呢？从而引出课题 . .【设计意图】从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识 有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上， 形成良好的知识结 构二、观察特例，发现猜想：1.1.探讨直角三角形中，角与边的关系，得出直角三角形中各个边与它所对的角之 间存在着某一确定的数量关系提出猜想：对于任意一个三角形，a b csin A sin B sin C【设计意图】以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般思维的过程2.2.对于猜想用

5、几何画板进行验证. .任意画出一个三角形，度量出三边的长度和三 个角的度数，计算显示出一组的值，然后不断拖动三角形的一个顶点，改变三角 形形状，观察各组比值的变化. .【设计意图】通过几何画板的演示，学生能直观地而主动地投入到数学发现的过 程中来，另外注意引导学生数学实验只能作为对数学猜想的检验，不能作为猜想的证明. .三、证明猜想，得出定理：用平面几何“作高法”对猜想进行证明，分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三大类分别证明得出正弦定理的文字叙述和符号表达【设计意图】通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，把学生不熟悉的问 题转化为熟悉的问题，引导学生体会利用已有知识解决新的知识的数学思

6、想 . .让 学生感受“观察-猜想-证明”的科学研究问题的思路. .四、探求其他证明方法：1.1.向量法：向量融长度和角度于一体，借向量为载体证明正弦定理2.2. 外接圆法：利用外接圆法不仅可以证明正弦定理， 而且可以得出各个比值等于 三角形外接圆的直径 2R.2R.【设计意图】了解向量的工具性，体会知识间的内在联系五、课堂小结：1.1.正弦定理的发现过程：由特殊到一般，观察一一猜想一一检验一一证明. .2.2. 正弦定理的证明过程：作高法；向量法；外接圆法 . . 【设计意图】明确本节课所学的知识和数学思想方法. .关系式成立吗?六、课后思考题：1 1你还能用其它方法证明正弦定理吗？【设计意

7、图】除了本节介绍的三个证法，启发学生还可以考虑用其他方法，比如 面积法等证明正弦定理. .2.2.正弦定理可以解决哪类实际问题呢？请举例说明. .【设计意图】此问题即为正弦定理的应用，为下节课做铺垫. .七、教学总结：本节课的设计使学生经历了 “观察一一猜想一一检验一一证明一一应用”的 思维历程，让学生学会研究数学问题的基本思想方法. .从初中学习过的三角形的 边角定性关系出发，对三角形的边角关系进行定量探索，从特殊的直角三角形入 手，结合学生的已有知识经验，进行发散式猜想与探究，提出猜想，并通过几何 画板进行数学检验其次，在证明猜想的教学环节，通过建立新旧知识的有机联 系，力求引导学生寻求合理的证明思路与策略，在证明过程中，让学生体会分类 讨论、数形结合等数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力教学特色：运用 PPTPPT 的动态效果和几何画板的直观显示，激发学生学习的 兴趣；设计符合学生知识水平和学习心理的教学，使学生掌握“观察一一猜想 检验一一证明一一应用”的研究数学问题的基本思想方法；通过让学生经历 正弦定理