全等三角形全等三角形与旋转问题学生版

1、第四讲全等三角形与旋转问题知识点睛基本知识把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判

2、定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )A顺时针旋转60°得到 B顺时针旋转120

3、76;得到C逆时针旋转60°得到 D逆时针旋转120°得到【例3】 如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边ABC和等边CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )A1对 B2对 C3对 D4对【例4】 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形求证：【例5】 如图，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点求证：【补充】已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形求证：平分【补充】如图，点为线段上一点，、是等边三角形请你证明：；平分【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形、都是正方形

4、，连接、求证：【例7】 如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形【例8】 如图，等边三角形与等边共顶点于点求证：【例9】 如图，是等边内的一点，且，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由【例10】 如图，等腰直角三角形中，为中点，求证：为定值【补充】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：【例11】 (2004河北)如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且 求证：【补充】如图所示，在四边形中，于，若四边形 的面积是16，求的长【例12】 、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：【例13】 (1997年安徽省初中数学竞

5、赛题)在等腰的斜边上取两点、，使，记，则以、为边长的三角形的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随、的变化而变化【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点求证：设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及若不存在，请说明理由【例14】 请阅读下列材料：已知：如图1在中，点、分别为线段上两动点，若探究线段、三条线段之间的数量关系小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，中

6、探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【例15】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长【例16】 在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系如图，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式_；此时=_如图，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_(用x

7、，L表示)【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EFBEFD;(2) 如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 【例17】 平面上三个正三角形，两两共只有一个顶点，求证：与平分【例18】 已知：如图，、都是等边三角形，且、共线，求证：也是等边三角形【例19】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在外面作正方形与，为的高，其反向延长线交于，求证：(1);(2)【补充】以ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CEBG【例20】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形中，求此五边形的面积【例21】 在五边形中，已知，连接求证：平分家庭作业【习题1】 如图，已知和都是等边三角形，、在一条直线上，试说明与相等的理由【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点求证：【习题3】 在梯形中，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程【习题4】 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形、分