公开课根与系数关系

1、一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx4.4.求一个一元二次方程，使它的两个求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为根分别为2 2和和3;3;-4-4和和7;7;3 3和和-8;-8;-5-5和和-2-2x2-5x+6=0 x2-3x-28=0(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0(x

2、+5)(x+2)=0(x+4)(x-7)=0(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0问题问题1 1：从求这些方程的过程中你发现根：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？与各项系数之间有什么关系？如果方程如果方程x2+px+q=0有两个根是有两个根是x1,x2 那么有那么有x1+ x2=-p, x1 x2=q猜想：猜想：2x2x2 2-5x+3=0,-5x+3=0,这个方程的两根之和，这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题问题2 2；对于一元二次方程的一般式是否也；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？具备这

3、个特征？x2=1解得：解得：x1=23所以得到所以得到,x1+x2=25x1 x2=23 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家世纪法国最杰出的数学家韦达韦达发现发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，代数方程的根与系数之间有这种关系，因此因此,人们把这个关系称为人们把这个关系称为韦达定理韦达定理。数学原本只数学原本只是韦达的

4、业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用使用字母表示数字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了因此，他获得了“代数学之父代数学之父”之称之称。 已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。abxx21acx

5、x21)0(02acbxax1x2x求证：求证：推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac自我检测自我检测（）（）x x1 12 2+x+x2 22 2 = = （x x1 1+x+x2 2）2 2 - - 2x2x1 1.x .x2 2 （）（）（x x1 1x x2 2）2 2 = = （x x1 1+x+x2 2）2 2 x x1 1.x .x2 2 （）（）121212xx11xxxx总结规律总结规律(4)(4)2112xxxx1212xxx x(5)(5)12(1)

6、(1)xx12121x xxx(6)(6)221211xx22122212xxx x21212212()2()xxx xx xx x2 2+kx-6=0+kx-6=0的一个根的一个根是是2 2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k k的值。的值。解：设方程的另一个根是解：设方程的另一个根是x x1 1那么那么 2 2x x1 1= - = - x x1 1= - = - . .又（又（- - ）+2= - +2= - 答：另一个根是答：另一个根是 - - ，k k的值是的值是-7-7。 k=-5 （-）+2 = -7探究点二探究点二已知方程一根，求另一根。已知方程一根，求另一根。 1.一元二次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条