流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程1

1、本次课主要内容本次课主要内容 动量方程式及其应用动量方程式及其应用一、动量方程能解决运动流体中的什么问题N-S方程根据牛顿第二定律导出FmaN-S方程是微分形式，积分可以得到流场中的压强、速度分布，进而得到流体受力F。很难得到把牛顿第二定律改写dtdvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfzzzzzyyyyyxxxxx111222222222222222222)( vmdvmddtF并用之于具有一定质量的流体质点系，由于各个质点速度不尽相同，故质点系的动量定理为dtvmdF)(作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变化率的办法计算出

2、来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。dtvmdF)(由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。质点系占据一定的空间，取这个空间为控制体，把拉质点系占据一定的空间，取这个空间为控制体，把拉格朗日法表示的动量变化率改换成用欧拉法表示，这格朗日法表示的动量变化率改换成用欧拉法表示，这样就容易求的作用在控制体内流体质点系上的外力。样就容易求的作用在控制体内流体质点系上的外力。取控制体的时候注意：取控制体的时候注意：控制表面一部分与固体壁

3、面重合，按照作用力与反作用力大小相等控制表面一部分与固体壁面重合，按照作用力与反作用力大小相等方向相反的原则，也就求出了流体质点系对固体壁面的作用力。方向相反的原则，也就求出了流体质点系对固体壁面的作用力。二、用欧拉方法表示的动量方程式在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示,一部分与固体边界重合固体边界重合,（为什么这么选？） 在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度为v, 密度为。在t瞬时的初动量为： tVvdV经过t，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+t 瞬时的末动量为： AVttAAVttdAvvtvdVdAvvtdAvvtvdV)()()(

4、21原来质点系尚留在控制体中的部分及新流入控制体的总动量。（I）部分通过A1面非原质点系的流入动量（II）部分通过A2面流出的动量对于控制体的全部控制面A： AVVtAVtttdAvvvdVtvdVdAvvtvdVtdtmvdF)()(1lim)(0这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况，也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体上加上虚构的惯性力。动量方程式中，需注意动量方程式中，需注意 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外部流控制体外部流体及固体对控制体内流体的作

5、用力体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括（压力、摩擦力），也包括控制体内流控制体内流体的重力体的重力。2. 控制体内流体动量对时间的变化率，当流动为定常时，此项为零。控制体内流体动量对时间的变化率，当流动为定常时，此项为零。是由于控制体内流体动量随时间变化而产生的一种力。是由于控制体内流体动量随时间变化而产生的一种力。1. 3. 是单位时间内控制体流出、流入的净动量，即流出、流入动量之是单位时间内控制体流出、流入的净动量，即流出、流入动量之差，是流出动量与流入动量不等而产生的力。差，是流出动量与流入动量不等而产生的力。末动量初动量FVvdVtAdAvv)(特例：常见的特例：常

6、见的定常、不可压缩、一元流动定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。时，方程式可以简化的很简单。如图所示，把流线方向取为自然坐标如图所示，把流线方向取为自然坐标s s，取如图控制体，则总控制面上只有，取如图控制体，则总控制面上只有A A1 1，A A2 2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v v1 1,v,v2 2, ,则在定常不可压缩情况下，则在定常不可压缩情况下， )()()(1212112212vvqvvqdAvvdAvvdAvvFvvAAAs)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF为0在三个坐标轴上的

7、投影式为1取本书应用的公式式中 为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，AVdAvvvdVtF)(1 1、受力对象：、受力对象：动量方程式的受力对象是流体质点系。对于遇到的问题：方程左边的外力一般只包括(1)(1)管壁对流体的作用力管壁对流体的作用力F;F;(2)(2)截面上流体的表面力截面上流体的表面力p p1 1A A1 1,p,p2 2A A2 2。（3）控制体内流体的重力（重力经常可以忽略）控制体内流体的重力（重力经常可以忽略）对（1）（2）（3）在坐标方向求合力即可对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以计算出来。)()()(121212zzvzyyvyxx

8、vxvvqFvvqFvvqFF是外界作用在流体上的力。如果实际问题要求流体对固体的作用力，则相应的应加以负号。使用时要注意以下几点：2 2、外力和速度的方向问题。、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公式右边的减号是固定的。 三 、动量方程式的应用（重点）1、流体对管道的作用力问题2、自由射流的冲击力问题1、流体对管道的作用力问题动量方程式的应用之RyRxvFFq，的流体对弯管的作用力，流量为要求密度为2211,APAPFFRyRx控制体内流体的作用力过流断面上外界流体对和作用力弯管对控制体内流体的取取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包

9、括断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1X X方向：方向：111222cossinp Ap A 管壁对流体的作用力管壁对流体的作用力RxF则，则，X X方向上流体所受合力为方向上流体所受合力为111222cossinRxp Ap AF1112222211sinsincoscossinRyVp Ap AFqvv2211sincosvv对于y方向同样得到X X方向上流体速度合分量为方向上流体速度合分量为1112222211cossinsincosRxVp Ap AF

10、qvv表面力表面力:根据动量定理，得到x方向的动量方程)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF1112222211sinsincoscossinRyVp Ap AFqvv1112222211cossinsincosRxVp Ap AFqvv解方程组得到这是流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，对其求合力得到22RRxRyFFF要注意力的方向。要注意力的方向。11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap AqvvRxRyFFa

11、rctan弯管多种多样，下面介绍几个特例【特例1】直角变径弯管1211220,Vqv Av A11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv代入公式得：121111111111)(AvPvAvAPvqAPFvRx222222222222)(AvPvAvAPvqAPFvRy【特例2】直角等径弯管AvpFAvpFRyRx)()(222112120,VAAA qvA【特例3】:反向等径弯管0)2(221RyRxFAvppF1212120,90 ,VAAA vvv qvA 1112221122

12、2221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例4】逐渐收缩管1211220,90 ,Vqv Av A22111222()()0RxRyFpvApvAF11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例5】等径直管1212120,90 ,AAA vvv12()0RxRyFppAF等径直管中流体对管道的作用力FRx实质上就是作用在管壁上的摩擦力，用力FRx处以管壁面积 ,可得管壁上的平均切应力

13、2 Rl21212()()22224RxFppRpp RpRpdRlRllll说明：只有测出相距为L的两断面上的压强差，切应力和摩擦力都可以计算出来 管壁上的摩擦力导致管中的压强沿流动方向逐渐下降。对1，2两断面列伯努利方程：121212,4fzz vvpplhggd由于可得说明：管路中由于摩擦引起的沿程阻力损失hf与管长成正比，与管直径成反比。221211221122fppzvzvhgggg11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例6】突然扩大管120,9022111222

14、()()0RxRyFpvApvAF11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv突然扩大处流线不能折转，在突然扩大处流线不能折转，在“死角死角”处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，而是作用在突然扩大台肩圆环断面而是作用在突然扩大台肩圆环断面A2A1上的静压力，方向向左。上的静压力，方向向左。)(121AApFRx（1

15、）（2）连续方程连续方程2112AAvv （3）式（式（1） 、（、（2）、）、 （3）联立，解得联立，解得)(1212221vvvggpp2221111222222221122122ffAvvhAggAvvhAgg或2112222111AAAA2122fvvhg此公式虽然由突然扩大管推出，但适用于一切局部阻力损失的普遍公式称为局部阻力系数式中此式称为（Borda）包达定理包达定理，即突然扩大的水头损失等于差速（v1-v2)的速度水头。利用连续性方程v1A1=v2A2代入包达定理得到：可得，突然扩大管的局部水头损失可得，突然扩大管的局部水头损失hf221211221122fppzvzvhggg

16、g)(1212221vvvggpp在列在列1、2断面上的伯努利方程断面上的伯努利方程 从有压喷管或孔口射入大气的一股流束叫作自由射流自由射流，自由射流的特点是流束上的流体压强到处是大气压流体压强到处是大气压，速度和射程可按伯努利方程计算，射流对挡板或叶片的冲击力可按动量方程计算。 如图，假设速度为v, 流量为qv的自由射流冲击到固定的二向曲面后，左右对称的分为两段，两股流量均为原流量之半原流量之半。假设射流在同一水平面上，动量修正系数为1，求求射流对曲面的冲击力射流对曲面的冲击力FRx： 2cos(cos1)2(1 cos )vxvvRxxvqFvq vq vFFq v 2、自由射流的冲击力为

17、射流对曲面的冲击力为射流对曲面的冲击力)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF则曲面作用在流体上的力则曲面作用在流体上的力Fx为为【特例1】射流对平面挡板的冲击力vqFvRx 90【特例2 】vqFvRx2180 这种反向曲面受到的冲击力是平面挡板的两倍，为了充分发挥射流的动力平面挡板的两倍，为了充分发挥射流的动力性能，性能，在冲击式水轮上就是采用这种反向曲面作为其叶片形状的。为了回水方便，其反向的角不是180度，而是160-170度。 平面挡板是实际中最常见的。)cos1 (vqFvRx射流对曲面的冲击力射流对曲面的冲击力动量方程求解步骤动量方程求解步骤:建立

18、坐标系, 选定控制体分析控制体所受到的力分析动量的变化 (流出减流进, 速度投影有正负)，列动量方程。对于实际问题，还要借助于伯努利方程和连续方程。例例1 1 一股水平方向上的射流冲击一斜置的光滑平板。已知射流来流速度为v，流量为Q，密度为p，平板倾角为 。不计重力及流动损失，求射流对斜置平板的作用力F。解解 取控制体如图。因射流处于大气之中，射流中压强都近似等于大气压。又由伯努利方程知 V1 = V2 = V。因忽略流动损失，液流与平板间的摩擦力略去不计，则F必垂直于板面x 方向动量方程： y 方向动量方程： 0cos2211QVVQVQFQVsin11 cos2QQ21 cos2QQ由连续

19、性条件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的动量方程还可以解出2.2.射流对平板的作用力射流对平板的作用力)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqFv如图所示，流股以45角自一窄缝射出冲击在一平板上，若出流的流量为，不计阻力及重力，求平面上流体流量与的比值。 例 2 有一沿铅垂放置的弯管如图3所示，弯头转角为90，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差z为2m，已知断面1-1中心处动水压强 为117.6 ，两断面之间水头损失为0.1m，管径d为0.2m。试求当管中通过流量Q为0.06 时，水流对弯头的作用力。 2kN/m/sm31p解题步骤（2 2）求断面）求断面2-22-2中心处水的压强中心处水的压强解：解： （1 1）求管中流速）求管中流速 m/s911420143060406022.d.AQv以断面以断面2-22-2为基准面，对断面为基准面，对断面1-11-1与与2-22-2写能量方程写能