2018年高考数学一轮复习专题2.9幂函数、指数函数与对数函数(讲)

1、g)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为 (1 ,+). 2.9 幕函数、指数函数与对数函数 【考纲解读】 内容 要求 备注 A B C 函数概 念与基 本初等 函数I 指数函数的图象与性质 V 1. 理解有理数指数幕的含义， 了解实数指数幕的意义， 掌握幂的运算. 2. 了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念， 理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知 道指数函数是一重要的函数模型. 3 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能 将一般对数转化成自然对数或常用对数. 4 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性. 5了解幕函数的概念. 1 1 6.结合函数 y = x, y

2、 = x2, y = x3, y =_, y = x?的图像， x 2 了解它们的变化情况. 对数函数的图象与性质 V 幕函数 V 【直击考点】 题组一常识题 1 .教材改编如果3x = 4,贝U x= _ . 【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得 x = log 34. 2. 教材改编2log 510+ log 50.25 = _ . 【解析】2log 510+ log 50.25 = log 5(102X 0.25) = log 525 = 2. 3. 教材改编函数y= log 2(x2- 1)的单调递增区间是 _ . 【解析】 由X2- 10得x1.又函数y= log 2X在定义域内

3、是增函数， 所以原函数 的单调递增区间是(1 ,+). 题组二常错题 1 2 、 4 .函数y = log 2(2 x - 3x + 1)的单调递减区间为 _ . 【解析】 由 2x2- 3x+ 10,得 x 1 或 xv1，易知 u= 2x2- 3x+ 1 Jx1 或x 在(1 , + 1 8 5.设 a=4, b= log 95, c = log 8申，贝U a, b, c 的大小关系是 _ =log 9 3log 98= b,所以 cab. 【解析】 原式=lg 5 lg 2 + 2lg 2 + 5= lg 5 + lg 2 + 5 = 1 + 5= 6. 7. _ 设 a= log 3

4、2, b= log 52, c = log 45，贝U a, b, c 的大小关系是 _ . 【舞析】因为1。解二胡 V, 1呻又lag4Sl ?所以c最大-又1心吋f(2x 1)，则 x 的取值范围为 _ . 1 【解析】 由f(x) = ln(1 + |x|) 2一可知f (x)是偶函数，且在0,+)上是增函数， 1 所以 f (x)f (2x 1)，即 f(| x|) f (|2 x 1|)，即 I x|2 x 1|，解得-x1 0a1 图像 r 0 时，y1; x0 时，0y0 时，0y1; x1 在(-a,+a )上是增函数 在(a,+a )上是减函数 【考点深度剖析】 1. 与指数

5、函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往 往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论. 2. 关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行有关指数函 数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高. 3. 从近几年的新课标高考试题来看，幕函数的内容要求较低，只要求掌握简单幕函数的图像 与性质. 【重点难点突破】 考点1幕函数的概念、图象与性质 【1-1】已知函数f(x)=(用一m- 1)x_ 5m_3, m为何值时，f(x)是幕函数，且在(0,+)上是 增函数？ 【解析】丁函數兀期一 or 是孤會毀， .分一

6、JM1=1,舞毎廉=2 或廉=1” 当 m=2 +, -5ffi-3=-13函董 y=h 门在0, +上是緘函 4t; 当攏=一 1 时，5JW3=2,函數=畔在(0, +8)上是增譌就-Am= 1, 2 【1-2】若幕函数y =(吊一3计3)xm卫2的图象不经过原点，则实数 m的值为 _ . 【答案】 1或2 冷一3m 3= 1 【解析】 由2 ，解得m= 1或2. m m- 20时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升； a 1时，曲线下凸；0a 1时，曲线上凸；a 0, az 1)的定义域和值域都是0,2，则实数a= _ . 【答案】，3【1-3】 【解析】当於1时xe03 JG

7、C, 1 因定久城和值城一致.m BfT a= 当 gxl 时=工02| $也一 10h 此时.定丈城和值域不一致，故此时无解. x c b ba c 【2-2 】设 f(x) = |3 1| , cbf(a)f(b)，由在关系式 3 3 : 3 3 : 3 + 3a2 :3c+ 3a2中一定成立的是 _ . 【答案】 【解析】作f(x) = |3x 1|的图象如图所示，由图可知，要使 cbf(a)f(b)成立， 需有 c0,所以 3c1f(a)，所 以 1 3c3a 1，即 3a+ 3c0 且 a* 1)，若当 x ( 1, 0)时，f (x)0，则 f (x)在定义 域上单调性是_. 【答

8、案】增函数 【解析】由于x (-1,0)，即x V (0,1)时f (x) 0且 az 1). (1) 求f (x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的单调性. 【答案】(1) a . 1时，定义域为(0, ：), 0 ： a ： 1时，定义域为(-：,0) ; (2) a . 1时, 增函数，0：a：；1时，减函数. 【解析】(1)由ax - 10得ax1，当a1时，x0； 当 0a1 时，x1时，f (x)的定义域为(0,+); 当0a1 时，设 0X1x2,贝U 1ax1ax2, 故 0ax1 1ax2 1, - log a(ax1 1)log a(ax2 1). f (X1)1时，f

9、 (x)在(0 ,+)上是增函数. 类似地，当0a0得一 1Xl 0a1 时，y0; 当 0 x1, y1 时，y0; 当 0 x0 【思想方法】 利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不 同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 【温馨提醒】 解决对数型函数、对数型不等式问题，一定要注意定义域优先原则 【易错试题常警惕】 由幕函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幕函数的单调性进行求解，一定要具 体问题具体分析，做到考虑问题全面周到. _2 _2 如：若a / 一 3-2a 一，则a的取值范围是 _ . 【分析】由的图象关于y轴对称知

10、，函数y = 在0, ：上是减函数，在-:：,0上 是增函数因为(a+1 f A(32a，所以 32a =0 a+10 或 3 - 2a a a +1 3 2a c0 a +1 c 0 或 3 2a c a +1 - 3-2a0 3-2av0 y+1v0 或0 ，解得 一1cac 或 a Q 0或av1或a4 ,所以 32an-(a+1) -(3-2a)a+1 a的取值范围是 U -1,2 U 4, - V 3 J 【易错点】本题容易只考虑到 a 1 , 3 -2a在同一单调区间的情况，不全面而致误. 【练一练】 已知幕函数f(x) = x(m2+ 1(肚N+)，经过点(2 , 2)，试确定m的值，并求满足条件 f(