弹性力学简明教程课后习题答案

1、弹性力学简明教程习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2- 1 是2- 2是2- 3按习题2 - 1分析2- 4按习题2 - 2分析2- 5在 工一 I的条件中，将岀现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得岀的切应力互等定理完全相同。2- 6同上题。在平面问题中，考虑到 3阶微量的精度时，所得岀的平衡微分方程都相同。其区别只 是在3阶微量(即更高阶微量)上，可以略去不计。2- 7应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程一连续性和小变形，物理方程一理想弹性体。2- 8在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界(即次要边界)上，按照圣维南原理 可列岀3个积分的近似边界条件来代替。2-9在小边

2、界0A边上，对于图2- 15 ( a)、( b)问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问 题为静力等效。2- 10参见本章小结。2- 11参见本章小结。2- 12参见本章小结。2- 13注意按应力求解时，在单连体中应力分量5.必须满足(1 )平衡微分方程,(2) 相容方程，(3) 应力边界条件(假设，.)= 0(它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0 和-的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。2- 14见教科书。2- 15见教科书。2- 16见教科书。2- 17 取2- 18见教科书。2- 19提示：求岀任一点的位移分量:和；，及转动量，再令' _ 一 ,便可得岀 第三章习

3、题的提示与答案3- 1本题属于逆解法，已经给岀了应力函数，可按逆解法步骤求解:(1)校核相容条件是否满足，(2 )求应力，(3 )推求出每一边上的面力 > 1从而得出这个应力函数所能解决的问题。3- 2用逆解法求解。由于本题中|>>h, x=0,丨属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。3- 3 见3-1例题。3- 4本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由 »求岀应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：主要边界：上边界有向下的法向所以在 一-边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力;面力q。次

4、要边界:L .- x=0面上无剪切面力作用;但其主矢量和主矩在x=0面上均为零。因此，本题可解决如习题 3-10所示的问题3- 5按半逆解法步骤求解。（2）可推出(3)(4)代入相容方程可解出f、，得到由：芒求应力。(5)次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为rb主要边界x=0, b上的条件为 ："丄'-T 2询二做（8 b弍必二"19,）河° （弘）冋必二 0读者也可以按j或的假设进行计算。3- 6本题已给岀了应力函数 2-1，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在.二- 各有两个应精确满足的边界条件，即）册=

5、76;，题F而在次要边界y=0 上,©3 已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0,使本题无解），可用积分条件代替:3- 7见例题2。3- 8同样，在-r： ：的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件（2-15）3-9本题也应先考虑对称性条件进行简化3 10应力函数中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程,系数之间必须满足一定的条件。3 11见例题3。3 12见圣维南原理。3 13m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。3 14见教科书。3 15严格地说，不成立。第四章习题的提示和答案4 1参见 

6、7; 4-1，§ 4-2。4 2参见图4-3。4 3采用按位移求解的方法， 可设代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得岀用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得岀求的基本方程。4- 4按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下，.亡 -，只有为 基本未知函数，且它们仅为 的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)， (2)相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得&P P再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。4 5参见§4-34 6参见

7、67;4-34 7参见§4-74 8见例题1。4 9见例题2。4 10见答案。4- 11由应力求岀位移，再考虑边界上的约束条件。内外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变。4 12 见提示。4- 134 14-为位移边界条件。4 15求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4 16求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答4 17求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答4 18见例题3。4 19 见例题4。第五章习题提示和答案5 1参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。5 2参见书中的方程。5 3注意对称性的利用，取基点 A如图。答案见书中5-

8、 4注意对称性的利用，并相应选取基点A。答案见书中。5- 5注意对称性的利用，本题有一个对称轴。5- 6注意对称性的利用，本题有二个对称轴。5 - 7按位移求微分方程的解法中，位移应满足：（1）'上的位移边界条件，（2） I上的应力边界条件，（3）区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足 （1）上的位 移边界条件，而（2）和（3）的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。5- 8在拉伸和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。在扭转和弯曲情况下，弓I用的表达式，再代入书中的公式。5-9对于书中图5-15的问题，可假设 u = x(x - a)y(y -

9、b)Ai+An+y+v二x（x -力（y -妨別+和兀+Dy+对于书中图5-16的问题中，y轴是其对称轴，x轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，为满足全部约束边界条件,应包含公共因子此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为x和y的奇函数,5-155- 10答案见书中5 - 11在u, v中各取一项v应为x和y的偶函数。5-16并设一.时，用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入后,上两式方程是-杯+ 6对2pga解岀2x533 E533 E位移分量的解答为175附丫4）（匚孑a a2x533 E225 pgav=-=-533 E应力分量为"县（I訓占）叱450 孟气225 沪 175 r（1

10、-勺-（1-爲）（1-3 与）如耶 l533v 評 4x533v 評'第六章习题的提示和答案提示：分别代入 的公式进行运算。（3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动,均不会产生应力。其余见书答案。求i结点的连杆反力时，可应用公式£ MM2 为对围绕i结点的单元求和。6-4求支座反力的方法同上题。0 =Zkr式（g）的结果，并应用公式单元的劲度矩阵 k，可采用书中P.124岀整体劲度矩阵的子矩阵。求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中6 - 7 求劲度矩阵元素可参见P.124式（g ）的结果，再求岀整体劲度矩阵元素=EkjP.127的结果。w答案见书中。6-8当单元的

11、形状和局部编号与书中图6- 10相同时，可采用P.124式（g）单元劲度矩阵。答案：中心线上的上结点位移6F-三下结点位移5E6- 9能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的边界上, 保持了相邻单元的位移连续性。第七章习题的提示和答案7-1答案一 J#2少-吗7- 2提示：原（x, y, z）的点移动到（x+u, y+v, z+W位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面 方程。7- 3见本书的叙述。7- 4空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导岀方程时的贡献的函对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移

12、分量都存在，且它们均为数。在列方程时 Pg 应考虑它们的贡献。 第八章习题的提示和答案? r8- 1提示：应力应满足平衡微分方程、 相容方程及应力边界条件 （设）o柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=O,l , m为任意的），并应用一般的应力边界条件。若为8 - 2提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设多连体，还应满足位移单值条件。由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5 ）:法线的方向余弦为l,m n ,边界面为任意斜面，受到法向压力 q作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求岀对应的位移，然后 再检查是否满足单值条

13、件。8- 3 见§ 8-2的讨论。8 4从书中式（8-2 ）和（8-12 ）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。8-5为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6 ）的t，并作如下代换zkfR Jp： +2然后从ot a对积分。8-6引用布西内斯克解答，在 z=0的表面上的沉陷是积分,（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9 （a）的坐标系,-U代入并7-1答案一 J#2少-吗7-1答案一 J#2少-吗再应用部分积分得到,卯=:(b arsinh-+a arsmh 一)7rEba(b)(2)求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系,° Jo山门一、a.

14、bb ar smh + a ar sinh 一 tvEha(1-心8-7题中已满足边界条件 (n=o 再由曲 二-2宓及2严砂二Mf便可求出切应力及扭角等。题中能满足两个圆弧处的边界条件然后，相似于上题进行求式解I为"的两倍。分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由，得岀代入后进行比较即可得岀。参见§ 8-8的讨论。8- 10第九章习题提示和答案9- 1挠度w应满足弹性曲面的微分方程，x =0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件,他¥)严0皿。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的

15、极值点(其导数为0)和边界点，从中找出其最大值。>p=wsinsin 在重三角级数中只取一项(' 可以满足q 二 sin sin a h的弹性曲面微分方程，并可以求出系数m而四个简支边的条件已经满足。关于角点反力的方向、符号的规定，可参见§9- 4中的图9-5。9- 3本题中无横向荷载，q = 0，只有在角点B有集中力F的作用。注意 w =mxy应满足：弹性曲面的微分方程，x =0和y =0的简支边条件，x = a和y = b的自由边条件，以及角点的条件 -(见 图9-5中关于角点反力的符号规定)。在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个自由

16、边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题，作为其解答的一部分。读者可参考§9- 6中图9- 9的例题。9- 4本题中也无横向荷载，q = 0,但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a是广义的简支边，其边界条件是x = 0卫，= 0f MX = M.而y= 0, b为广义的自由边，其边界条件是将w=f (x)代入弹性曲面微分方程，求出 f (x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。9-5参见§ 9 - 7及例题1，2 o9-6应用纳维解法，取w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。 在求重三角级数的系数 N呎中, 其中对荷载的积分'祢xnTTy 1 ,q smsin - d x dy只有在-2;-的区域有均布荷载 匕作用，应进行积分；而其余区域 1，积分必然为零9 - 7 对于无孔圆板，由L - 11的挠度和内力的有限值条件，得出书中&