中点想到地辅助线

1、实用标准文档文案大全中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、 中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）， 然后通过探索，找到解决问题的方法。一、三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1 ,AD是厶ABC的中线，则SAABD=SAACD=SAABC（因为AABD与AACD是等底同高的）例1.如图2，AABC中，AD是中线，延长AD到E,使DE=AD DF是ADCE的中线。已知AABC的面积为2,求：ACDF的面积。J.丄解：因为AD是AABC的中线，所以SAACD=- SAABC

2、=二X2=1，又因CD是AACE的中线，故SACDE=SAAC=1，J_ J. 因DF是ACDE的中线，所以SACDF= - SACDE=- X1=-。 ACDF的面积为 -。二、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3,在四边形ABCD中，AB=C E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G H。求证：/BGEN CHE证明：连结BD,并取BD的中点为M,连结ME MF实用标准文档文案大全/ ME是BCD的中位线，1Jf MECD, /MEF=/ CHE/ MF是ABD的中位线，1/ MFAB, /MFE=/ BGE/ AB=CD,ME=MF -/MEF玄MFE从而

3、/BGEN CHE三、由中线应想到延长中线，使延长的部分等于中线长例3.如图4,已知ABC中，AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长解：延长AD到E,使DE=AD贝0 AE=2AD=2X 2=4。在ACD和 EBD中，/AD=ED, /ADC=/EDB CD=BD, ACDAEBD,AC=BE,从而BE=AC=3在AABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB,故/E=90 ,实用标准文档文案大全 BD=:=“亠I广=一1-;,故BC=2BD=2 -1-。例4如图5,已知ABC中，AD是/BAC的平分线，AD又是BC边上的中 线。求证：ABC是等腰三角形。仿例3可证：BE

4、DCAD,故EB=AC/E=Z2,又/ 仁/2, /仁/E,.AB=EB，从而AB=AC即ABC是等腰三角形。四、由直角三角形应想到它的斜边中线的性质例5.如图6,已知梯形ABCD中,AB/DC,AC丄BC, AD丄BD,求证：AC=BD证明： 取AB的中点E,连结DE、CE,贝U DE CE分别为RtABD, RtABC斜边AB上的中线，故DE=CE= -AB,因此/CDE=/ DCE/AB/DC, /CDE=/ 1,ZDCE=/ 2,二 / 仁/2,在厶ADE和厶BCE中，JDE=CE,Z仁/2,AE=BE ADEABCE - AD=BC,从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD五、由平

5、分一个角且与一条线垂直的线段，应想到该线段是某个等腰三角形的中线例6.如图7, ABC是等腰直角三角形， /BAC=90,BD平分/ABC交AC于点D,CE交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE证明：延长BA, CE交于点卩，在4BEF和厶BEC中，/1 =/2,BE=BE/BEF=ZBEC=90,BEF BEC,EF=EC，从而CF=2CE又/1 +ZF=Z3+/F=90,故/ 仁/3。证明：延长AD到E,使DE=AD图 7实用标准文档文案大全在厶ABD和AACF中，J/1 =/3,AB=AC/BAD=/ CAF=90,ABDAACF,.BD=CF,.BD=2CE。注：此例中BE是等腰AB

6、CF的底边CF的中线。与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室夏飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点.在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，贝 U 是处理中点问题的关键.但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法.一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位 线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线.例 1 :如图 1，-上一二，E、F 分别

7、为 BC、AD 的中点，射线 BA、EF 交于点 G，射线 CD、EF 交于点 H .求证：一匸】三一 一二三H分析：连接 AC，并取其中点 P，构造 PEF，证明产三二，再利用中位线的性质即 可得证.证明：连接 AC，取 AC 的中点 P，连接 PE、PF. E 为 BC 的中点， PE/ AB，-，PF=-CD同理 PF/ CD，-.朋 PE二PF APEF = APFE ? ? ?由 PE / AB ，得三二二匚厂去，由 PF/ CD，得GE = A CEE.实用标准文档文案大全说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线.二、遇到中点作中线这种方法常用于解决直角三角形或

8、等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质.因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线.例 2 :如图 2, ABC 中，二二二-J, AD 为高，E 为 BC 的中点，求证：-A分析：在厶 ABC 中，出现了 Rt ADC 和 Rt ADB 这两个直角三角形； 又因为 E 为 BC 的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt ADC 斜边 AC 的中点 F （或 AB 的中点），连接 EF,即得 ABC 的中位线；再依据“遇 到中点作中线”的方法，连接DF，即得到 Rt ADC 斜边 A

9、C 上的中线，然后只要证明EF =- 即可.证明：取 AC 的中点 F,连接 EF、DF.RF-AB/ E、F 分别为 BC、AC 的中点， EF / AB ,；./ AD 是高， ADC 是直角三角形.DF = -AC=FC又 F 为斜边 AC 的中点，-.由 EF / AB，得一】一一三一一匚一 .又匕二/1 + /2 N1 二 Z2又* , * *DE= = -AB. 二 .说明：若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线.三、遇到中点倍长线段这种方法是指：若图中出现由中点引出的线段，则应常想到成倍延长这一线段，可为解题提供更为广阔的思路.实用标准文档文案大全例

10、 3:如图 3，在 ABC 中，已知 D 为 BC 边中点，FD 丄 ED 于点 D，交 AB、AC 于点F、E.求证：三 P 三-三 F .G图玄分析：待证的线段 BF、CE、EF 之间没有明显关系。但点 D 是 BC 边的中点，故应考 虑倍长 ED（倍长 FD 也可）到点 G,连结 BG、FG, BGD CED，所以 三匚二&二，又因为 FD 丄 ED , 则FG=EF，这样就把BF、CE、EF 转移到了厶 BFG 中，再利用三角形三边关系即可证得结论.证明：延长 ED 到 G,使三二匚匚.点 D 是 BC 边的中点，耳二,又士 D 二匸?BGDCED , BG=EC.在厶 FGE 中,

11、FD 丄 ED, FE实用标准文档文案大全在厶 FGE 中，产 F 丨三去 5,狞-工：； Sr .说明：“倍长线段”法在解题过程中有着很重要的作用，通过倍长相应的线段，再结合 相应的条件可得到全等三角形，从而可转移边、角但须注意它的使用前提是已知条件中存在着线 段的中点.四、遇到中点，且结论为比例式时，常过中点作平行线在解决有些几何问题中，尽管遇到了中点， 但要证明的结论是比例式，此时可考虑过中点作平行线.例 4:如图 4,过厶 ABC 的顶点 C 任作一直线，与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F、E.求证.-H 匸二 1 上-匸:-分析：AD 是中线，则 D 为 BC 的中点，要证明的

12、结论为比例式，且AE、ED 又不在一个三角形内，为此，可过 D 点作 DM / AB，可知 DM 是厶 BFC 的中位线则有- 同时又可证得 AEF DME，则有：=-r !-J，r,接下去利用等量代换即可证得结论成立.证明：过点 D 作 DM / AB 交 CE 于 M，则：AEx肿:DM三 j 二，DM / AB ,-, DM 是厶 BCF 的中位线，DM = -F2在厶 AEF 与厶 DME 中,实用标准文档文案大全ZFAE = ZMDE? AEFsDME ,.三 二二二三! A血；ED=A-FB.J 一即一丘I S_.二丄二白:_匸注：此例也可按照“遇到中点找中点”的方法，取FC 的中

13、点 M,然后连接 DM .说明：中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果 能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题迅速得到解决.五、遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来由于“线段垂直平分线上的点， 到线段两端点的距离相等”，所以可根据这一性质定理， 若遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来，往往可使问题变得简便，从而顺利证得结论成立.例 5、如图 5，设 P 是等边ABC 的 BC 边上任一点，连接 AP ,作 AP 的中垂线交 AB、AC 于 M、N .求证：3F Fi -zi!.S5分析：连接 PM、PN .因为 MN 是 AP 的中垂线，所以工，二厂二&上，则 AMPNaMAN，于是有m匚又由于= 120-，可得:乙二乙NPC，于是有 ABPMCNP，于是可证得-D二.证明：连接 PM、PN . 在 AMPN 与MAN 中, / MN 是 AP 的中垂线，讲二伽，秤二