可逆矩阵判定典型例题

1、典型例题(二)方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵，试证下列各式：(1)若1A|0,则()1(A1)T；*(2)若A、B者B是n阶可逆矩阵,则(AB)BA;(3)(AT)(A)T；11、*(4)若1A|0,则(A)(A;(5)(A)*(八；l11l(6)若1A|0,则(A)(A)(l为自然数)；n1(kA)kn1A.证(1)因为1A|0,故A是可逆矩阵，且AA1E两边同时取转置可得(AA1)T(A1)TAT(E)TE故由可逆矩阵的定义可知(AbT是AT的逆矩阵.即(A1)T(AT)1(2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有*(2-7)(AB)(AB)|AB|E另一方面(B*A*)(AB)B*(A*

2、A)BB*(|A|I)B*(2-8)|A|BB|A|B|E|AB|E比较式(2-7)、(2-8)可知*(AB)(AB)(BA)(AB)1又因为A、B均可逆，所以(AB)也可逆，对上式两端右乘(AB)可得*(AB)BA(3)设n阶方阵A为a11a2a1na21a22a2nAan1an2ann*于是可得A的伴随矩阵A为A11A21An1*A12A22AAn2A1nA2n注意到A的转置矩阵为aiia2ian1ATai2a22an2a1na2nann可推出AT的伴随矩阵为AlA12A1nT *A21A22(AT)A2nAn1An2AnnT、*比较A与(A)可知*TT*-* -A ,并且由A AmIE可

3、知(A)T(AT)(4)因为1A|0,故A可逆，A的逆矩阵为1A|A|A11._1.*._1.由于1A|0,A可逆且A(A)IAIE可得1*1(A1)A|A|另一方面，由由矩阵可逆的定义知(5)对于(3)*1*A(A)|A|AIA|_*,A可逆,*1(A)给出的矩阵并且1(A)A,有a11a12a1na21a22a2n即aj的代数余子式为a11jai11(1)iai11an1an1(1)n1Aj(i,j1,an2anna1j1a1j1a1nai1j1ai1j1ai1nai1j1ai1j1ai1n2,anj1,n)anj1ann(1)n1Aii*(A)(1)n1Ai2(1)n1Aln因为|A|0

4、,故A可逆，并且(Al)1(AAA)1,-Yl个(7)对于(3)给出的矩阵A,有kaikaikAka21ka22(1)n1A21(1)n1A22(PA2nA1A1A1kamka2n(1)n1Am(1)n1An2(1)n1Ann(A1)1(1)n1A*kan1kan2kannn1类似于(5)可知kaj的代数余子式为kAj,故证明A是可逆矩阵T例2设A是n阶非零矩阵，并且A的伴随矩阵A满足AA证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式，有*AAAA|A|E反证，假设A不可逆，故有1A10,由上式及条件A*AT,有*T(2-6)AAAA1O设矩阵A为a11a12a1na21a22a2nAan1an2an

5、n由式(2-6)可知a11a12a1na11a21Ta21a22a2na12a22AA1an1an2an1an2anna1na2nnnn2a1ia1ia2ia1ianii1i1i1nnna2ia1i2a2ia2ianii1i1i1n2aniannnnania1iania2ii1i1比较上式两边矩阵对角线上的兀素有na20(j1,2,n)i1故aj1aj2ajn0(j1,2,因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：111(AB)AB的充要条件是ABBA证必要性：因为(AB)1A1B1(BA)1_1_1_因此(AB)(AB)(BA)(AB)(BA)

6、(BA)即ABBA充分性：因为ABBA,故(AB)1(BA)1A1B1.例4设A是一个n阶方阵，n为奇数，且1A|1,ATA1,证明(IA)不可逆.证因为ATA1,故AATAA1E因此有|EA|AATA|A(ATE)|IA|(AE)T|AE|(1)n|EA|EA|所以|EAI0故EA是不可逆矩阵.A是可逆矩阵，并例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足Ak0,证明E求任A)1.证由于1xk(1x)(1xx2xk1)故对于方阵A的多项式，仍有k2k1EA(EA)(EAAA)k注息到A0,故有2k1(EA)(EAAA)E因此(EA)可逆，并且12k1(EA)EAAA例6设A是n(n2)阶方阵，(A)

7、是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵，证明:n2(1)(A)|A|n2A.2*(n1)|(A)11A|().证(1)利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系，有*AA|A|E*即A(A)|A|E从而有*AA(A)|A|(A)AA(A)|A|A*对AA|A|E两边取行列式,有*_n|AA|A|A|A|E|A|n1若A可逆，1A|°,故1A|A|,于是有*,(A*)*LA-iA|A|n2AA若A不可逆，则1A10,A*的秩小于或等于*n2(A)IA|A(2)对A(A)|A|E两边取行列式|A(A)|A|(A)|n1若A可逆，所以1A10,从而有|AI|A|1,故(A)0,仍有11A |E| | A |

8、,于是可知I(A*)*|A*1n1(|A|n1)n1|A|(n1)2若A不可逆，则I(A)10IA|(n1)A22证因为A2 AB A(A B) I A(A B)| |A|AB2B|,由于B2|(1)n |B|2例7设A、B是同阶方阵，已知B是可逆矩阵，且满足AABBO,证明A和AB都是可逆矩阵，并求它们的逆矩阵.所以1AI0,IABI因而有A, A B可逆._21_(B ) A(A B)_ 21A(A B)(B )可知可知(AA 1B) 1(A(B2) 1 A_21B)(B )A、B均是n阶方阵,且E证(E 一 1 一(E BA) E考察两个矩阵的乘积BA)(E B(EAB)B(EAB可逆，

9、则_1AB) AE BA也可逆,并且因此(EBA)可逆，并且_1(E BA)设n阶矩阵A、(1)1也可逆，(2) 证(A B)(1)因为1A1A)EB(EBABABABA B(E AB) 1A BAB(EB(E B(E BAAB) 1 A AB(E AB) AB)(E AB) 1 AEAB) 1A 1AAB)A B均可逆，证明:且(A1A 1(A 1_ 11B )B 1) 1AA(A B)1 _1B B(AB 1(AB) 1 AB 1) 1 B1 1A(A11B )BB1(AB 1B)两边取行列式有IA11IIA|A因为A、B、IA1故AB(A1IB可逆，故I0B|B|A1|1I0IB|AB|0所以有11是可逆矩阵._1_1_B)A(AB)B(E(E1_1_A)(AB)B1_1_A)B(AB)(EB1A)(EB1A)1E故