第二章恒定电场

1、第第 二二 章章恒定电场恒定电场第二章 恒定电场电荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定）Steady Electric Field序导电媒质中的电流基本方程 分界面衔接条件 边值问题导电媒质中恒定电场与静电场的比拟电导和接地电阻下 页电源电动势与局外场强返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场 通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。Introduction2.0 序 本章要求: 熟练掌握静电比拟法和电导的计算。 理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程

2、和分界 面衔接条件。 下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.1.1 电流 (Current)定义：单位时间内通过某一横截面的电量。2.1 导电媒质中的电流Current in Conductive Media三种电流：tqIddA传导电流电荷在导电媒质中的定向运动。位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。运流电流带电粒子在真空中的定向运动。下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场 1. 电流面密度 JSISJ d电流体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。vJ2mA电流密度2.1.2 电流密度（Current Density)下 页上 页返 回图2.1.1 电流面密

3、度矢量图2.1.2 电流的计算第第 二二 章章恒定电场恒定电场2. 电流线密度 KmA vKlIld )(neK电流en 是垂直于 dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。图2.1.3 电流线密度及其通量下 页上 页电流线密度返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场3. 元电流的概念元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流qdl lK Jd(dd(dd)( dISSVV线电流元）面电流元）体电流元工程应用媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。下 页上 页图2.1.4 媒质的磁化电流返

4、回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohms Law) J 与 E 共存，且方向一致。简单证明：欧姆定律 微分形式。EJ在线性媒质中对 两边取面积分EJ左边ISSJ d 右边SSE d 欧姆定律 积分形式。RIU 所以RIU 下 页上 页图2.1.5 J 与 E 之关系返 回GUUlSSlUSd第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joules Law)导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为EJp W/m3RIUIVPV2dEJ W焦耳定律微分形

5、式焦耳定律积分形式下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场 提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。2.2.1 电源 (Source)2.2 电源电动势与局外场强Source EMF and 0ther Field Intensity电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。qfEee局外场强ef局外力2.2.2 电源电动势 (Source EMF)下 页上 页返 回图2.2.1 恒定电流的形成第第 二二 章章恒定电场恒定电场因此，对闭合环路积分lEEd)(lec局外场 Ee 是非保守场。)(ecEEJ图2.2.2 电源电动势与局外场强lEdlee电源电动势总场强ecEE

6、E dlElee 0 llelElEcdd 下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.3.1 基本方程 (Basic Equations)2.3 基本方程分界面衔接条件 边值问题Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem在恒定电场中0qt恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。故0 JtqSSJd电荷守恒原理1. J 的散度亦称电流连续性方程0 dSJS散度定理0dVJV下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场结论： 恒定电场是无源无旋场。2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则 3. 恒定电场（电

7、源外）的基本方程0d SSJ0d llEEJ0 J0 E恒定电场是无旋场。得0E积分形式微分形式构成方程0 d llE斯托克斯定理0 d)(SES下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.3.2 分界面的衔接条件（Boundary Conditions) 说明 分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。 折射定律2121tantan图2.3.1 电流线的折射0d llE 0d SSJ由得2t1tEE2n1nJJ下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场 00022n2nJE0n1E例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件。 0022J，解: 在理想介质中空气中2

8、n21nn2EDD导体中不同导体分界面 ？ 提问：0表明 1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 表明 2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。0 1n2nJJ故下 页上 页返 回图2.3.2 导体与理想介质分界面第第 二二 章章恒定电场恒定电场0/11t2t1tJEE 若 （理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。1yxEEeeE2n2t2导体周围介质中的电场：表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。下 页上 页返 回图2.3.3 载流导体表面的电场第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.3.3 边值问题（Boundary Value Probl

9、em)分界面衔接条件拉普拉斯方程02得0 E由基本方程出发由得0 J2t1tEE 2n1nJJ21nn2211常数恒定电场中是否存在泊松方程？思考下 页上 页返 回 E )( E E0 第第 二二 章章恒定电场恒定电场 例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。01212212( 区域）1 解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：0 02( 区域）201222222221121 ，时4021U下 页上 页图2.3.4 不同媒质弧形导电片返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场电位 2102121021)()(4UUeEeE)(4 )(42101221021UU电场强度

10、电荷面密度)-()(4212100201012UEEDDnn通解DCBA21 , )(421012U下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟2.4.1 比拟方法 (Contrast Method)Contrast of Steady Electric Field and Electrostatics 0 DEDSqSD d02)(0静电场0E恒定电场（电源外）EJSISJ d0 J0E02恒定电场JIE静电场EDq下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场 两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究

11、，利用对应量关系便可得到另一个场的解。下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场两种场可以比拟的条件1. 镜像法的比拟)2 , (2122121 2.4.2 比拟方法的应用（Contrast Method Application)图2.4.1 静电场与恒定电流场的镜像法比拟静电场微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同；媒质分界面满足2121下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场两种场可以比拟的条件1. 镜像法的比拟2.4.2 比拟方法的应用（Contrast Method Application)图2.4.1 静电场与恒定电流场的镜像法比拟微分方程相同；场域几何形状及边界

12、条件相同；媒质分界面满足2121恒定电场)2 , (2122121IIII 下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2. 恒定电场模拟静电场实验固体模拟 （如导电纸模拟） 实验方法：液体模拟 （如电解槽模拟）图2.4.2 静电场平行板造型 恒定电流场的电极表面近似为等位面图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件是什么？思考( 条件 )媒质电极下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.5.1 电导 (Conductance)1. 通过电流场计算电导2.5 电导与接地电阻或设IUConductance and Ground Resistor思路J J/E lUlE dUIG

13、/E EJSISJ d UIG/设下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。UIUQGC 多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部分电容比拟。（自学） 2. 比拟法CG即下 页上 页lSlSlESJlESDddddSSSESEdd返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场例2.5.1 求图示同轴电缆的绝缘电阻。解 设I电导12ln2lUIG用静电比拟法求解由静电场,ln212lC 根据GC关系式，得12ln211lGR绝缘电阻U下 页上 页图2.5.1 同轴电缆横截面返 回lIJ2lIE2ldlE212dlI12ln2lI第第 二二 章章恒定电场恒

14、定电场01222200 ,0U通解 ，代入边界条件，得21CC )(0U电位函数解 取圆柱坐标系 ，边值问题)(下 页上 页eeE0U电场强度图2.5.2 弧形导电片返 回例2.5.2 已知导电片厚度为 h，当 ; 0 0时，试求电导片的电导。0, U时第第 二二 章章恒定电场恒定电场电流)(d)(d0eeSJhUISba电导)mS(ln0abhUIG电流密度eUEJ0下 页上 页abhUln0返 回eeE0U电场强度第第 二二 章章恒定电场恒定电场1 1、如下图所示同轴电缆，长为、如下图所示同轴电缆，长为 L L ，加电压，加电压U U，求漏电阻及总，求漏电阻及总的漏电流。的漏电流。补充习题

15、：补充习题：2 2、同心球形电容器如下图，若两球面间通电流为、同心球形电容器如下图，若两球面间通电流为I I，求介质中，求介质中任意一点的电场强度与电流密度。任意一点的电场强度与电流密度。211R2RU U1R2R12第第 二二 章章恒定电场恒定电场图2.5.3 深埋球形接地器1. 深埋球形接地器2.5.2 接地电阻 (Ground Resistor)解法一 通过电流场计算电阻解法二 比拟法24 rIJI24rIEaIrrIUa4d42aR41GC,4aC,4aG接地电阻越大越好吗？如何改变R?思考下 页上 页aIUR41 由接地器电阻、接地器与土壤之间的接触电阻、土壤电阻构成。接地电阻：返

16、回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2. 直立管形接地器解: 考虑地面的影响，可用镜像法。实际电导,212GUIG即dllR4ln21dllC4ln4在静电场中 )2(4ln4dldllG比拟法,GC下 页上 页图2.5.4 直立管形接地器返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场3. 非深埋的球形接地器解 用镜像法)2(44hIaI)211(41haIR接地器接地电阻 aR2122 rIJ 解4. 浅埋半球形接地器a2Iuad lE设 I下 页上 页图2.5.5 非深埋的球形接地器返 回22rIE 图2.5.6 浅埋半球形 接地器I第第 二二 章章恒定电场恒定电场002UIbx为危险区半径2.5.

17、3 跨步电压 (Step Voltage)bxxrrIUd22以浅埋半球接地器为例,22rIJ 人体的安全电压U040V图2.5.7 半球形接地器的危险区上 页返 回)(2bxxbI22 rIJE第第 二二 章章恒定电场恒定电场同轴电缆返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场屏蔽室接地电阻（深度 20 m）下 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场高压大厅网状接地电阻（深度1米）上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场1. 干电池和钮扣电池（化学电源）电 源 干电池电动势1.5V，仅取决于（糊状）化学材料，其大小决定储存的能量，化学反应不可逆。 钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。干电池钮扣电池下 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场氢氧燃料电池示意图2. 燃料电池（化学电源） 电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约40%45%的化学能转变为电能。 实验阶段加燃料可继续工作。只要不断供给燃料，就可以不断输出电能，化学反应结果生成水，以水蒸汽的形式排走。 燃料电池属环保产品，排出的水可以用作饮料或淋浴用。下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒