第3章静定结构的受力分析

1、第3章 静定结构的受力分析3-1 梁的内力计算回顾 3-2 静定多跨梁3-3 静定平面刚架3-4 静定平面桁架3-5 组合结构3-6 三铰拱3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选3-8 刚体体系的虚功原理3-9 用求解器确定截面单杆(略)3-10 用求解器求解组合结构(略)3-12 小结3-11 用求解器求解一般静定结构(略)第3章 静定结构的受力分析3-1 梁的内力计算的回顾1. 截面的内力分量及其正负号规定截面的内力分量及其正负号规定 轴力轴力FN以拉力为正以拉力为正 剪力剪力FQ以绕微段隔离体顺时针转者为正以绕微段隔离体顺时针转者为正 弯矩弯矩M弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一边，弯矩图的

2、纵坐标画在杆件受拉纤维一边， 不标正负号不标正负号3-1 梁的内力计算的回顾轴力轴力=截面一边的所有外力沿杆轴截面一边的所有外力沿杆轴切线切线方向的投影代数和。方向的投影代数和。剪力剪力=截面一边的所有外力沿杆轴截面一边的所有外力沿杆轴法线法线方向的投影代数和。方向的投影代数和。弯矩弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。3. 荷载与内力之间的微分关系：如图，由平衡条件可导出荷载与内力之间的微分关系：如图，由平衡条件可导出2. 截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部分为隔离体，利截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部分为隔离体，利 用平衡条

3、件，确定此截面的三个内力分量。用平衡条件，确定此截面的三个内力分量。QQNddddddFxMqxFqxFyx3-1 梁的内力计算的回顾4. 荷载与内力之间的增量关系：如图，在集中荷载作用处取荷载与内力之间的增量关系：如图，在集中荷载作用处取 微段为隔离体，由平衡条件可导出：微段为隔离体，由平衡条件可导出：0QNMMFFFFyx3-1 梁的内力计算的回顾5. 荷载与内力之间的积分关系：如图，从直杆中取出荷载连荷载与内力之间的积分关系：如图，从直杆中取出荷载连 续分布的一段，由积分可得：续分布的一段，由积分可得：BABABAxxABxxyABxxxABxFMMxqFFxqFFdddQQQNN积分关

4、系的几何意义：积分关系的几何意义：B端的轴力端的轴力=A端的轴力端的轴力-该段荷载该段荷载qx图的面积。图的面积。B端的剪力端的剪力=A端的端的剪剪力力-该段荷载该段荷载qy图的面积图的面积B端的弯矩端的弯矩=A端的弯矩端的弯矩+此段剪力图的面积此段剪力图的面积3-1 梁的内力计算的回顾6. 分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图图图(a)结构荷载有两部分：结构荷载有两部分：跨间荷载跨间荷载q和端部力偶和端部力偶MA、MB端部力偶单独作用时，弯端部力偶单独作用时，弯矩图为直线，如图矩图为直线，如图(b):跨间荷载跨间荷载q单独作用时，弯单独作用时，弯矩图如图矩图如图(c):总弯矩图为图总弯矩图为

5、图(b)基础上叠加图基础上叠加图(c)，如图，如图(d):弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，不是图形的简单拼合。不是图形的简单拼合。3-1 梁的内力计算的回顾任意直段杆的弯矩图：以任意直段杆的弯矩图：以(a)中的中的AB端为例，其隔离体如图端为例，其隔离体如图(b)。 与图与图(c)中的简支梁相比，中的简支梁相比，显然二者的弯矩图相同。显然二者的弯矩图相同。因此：作任意直杆段弯矩图因此：作任意直杆段弯矩图 就归结为作相应简支就归结为作相应简支 梁的弯矩图。梁的弯矩图。AB段的弯矩图如图段的弯矩图如图(d)。3-1 梁的内力计算的回顾例例3-1 试作图示简支梁的内力图。试作

6、图示简支梁的内力图。解：解：（1）作剪力图）作剪力图kN17RAQA FFRQkN-8kN9kN17BF-7kN4kN4-8kN-kN17QEF点右侧截面的剪力BRQBF3-1 梁的内力计算的回顾（2）作弯矩图）作弯矩图m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(1711700RLFFECBGAMMMMMMM CE段有均布荷载，段有均布荷载，利用叠加法作弯矩图利用叠加法作弯矩图D截面的弯矩值为：截面的弯矩值为：)mkN(36230268442DM由数学计算：由数学计算：CE段段Mmax=36.1kNm公路桥使用的静定多跨梁公路桥使用的静定多跨梁计

7、算简图为计算简图为梁梁AB和和CD直接由支杆固定于基础，是几何不变的直接由支杆固定于基础，是几何不变的基本部分基本部分短梁短梁BC依靠基本部分的支撑才能承受荷载保持平衡依靠基本部分的支撑才能承受荷载保持平衡附属部分附属部分3-2 静定多跨梁3-2 静定多跨梁木檩条构造木檩条构造静定多跨梁静定多跨梁计算简图计算简图支撑关系支撑关系静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分静定多跨梁的计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分静定多跨梁的计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分3-2 静定多跨梁例例3-2 试作图示静定多试作图示静定多 跨

8、梁的内力图。跨梁的内力图。 基本部分与附属基本部分与附属部分间的支撑关系部分间的支撑关系计算时拆成单跨梁计算时拆成单跨梁3-2 静定多跨梁先计算附属部分先计算附属部分FD，再计算梁，再计算梁DB，最后计算梁，最后计算梁BA。3-2 静定多跨梁例例3-3 图示两跨梁，全长承受均布荷载图示两跨梁，全长承受均布荷载q。试求铰。试求铰D的位置，的位置， 使负弯矩的峰值与正弯矩的峰值相等。使负弯矩的峰值与正弯矩的峰值相等。解：计算解：计算AD及及DC两部分，两部分， 作弯矩图作弯矩图(a)。（a）跨中正弯矩峰值为跨中正弯矩峰值为8)(2xlq支座支座B处负弯矩峰值为处负弯矩峰值为22)(2qxxxlq二

9、者相等：二者相等：x=0.172l最后弯矩图如图最后弯矩图如图(b)。（b）3-2 静定多跨梁若该用两个跨度为若该用两个跨度为l的简支梁，则弯矩图为的简支梁，则弯矩图为二者的弯矩峰值比为：二者的弯矩峰值比为：0.086/0.125=68.8%静定多跨梁与一系列简支梁相比：材料用量可少一些静定多跨梁与一系列简支梁相比：材料用量可少一些 构造要复杂一些构造要复杂一些1. 刚架的特点：结点全部或部刚架的特点：结点全部或部 分是刚结点，结构内部有较分是刚结点，结构内部有较 大的空间。大的空间。图图(a)为简支梁的弯矩图，为简支梁的弯矩图，图图(b)为刚架的弯矩图，为刚架的弯矩图，在相同荷载作用下，刚架

10、在相同荷载作用下，刚架横梁跨中弯矩峰值减小。横梁跨中弯矩峰值减小。3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架2. 刚架的支座反力刚架的支座反力图示三铰刚架有四个未知反力图示三铰刚架有四个未知反力整体平衡方程求整体平衡方程求FyA 和和FyB)(20)(2022lqfFMlqfFMyBAyAB利用右半边刚架作隔离体，则利用右半边刚架作隔离体，则)(430)(40qfFFqfFMxAxxBC3-3 静定平面刚架图示刚架为多跨刚架图示刚架为多跨刚架刚架的组成次序为：刚架的组成次序为：先固定右边，再固定左边先固定右边，再固定左边计算反力的次序应为：计算反力的次序应为：先算左边，再算右边先算左边，再算右边

11、考虑考虑GE部分部分)kN(30 xGEFM)kN(300)kN(20)kN(10yBAyABxAxFMFMFF再考虑整体平衡再考虑整体平衡3-3 静定平面刚架3. 刚架中各杆的杆端内力刚架中各杆的杆端内力截面法截面法图图(a)刚架取三个隔离体刚架取三个隔离体如图如图(b)、(c)、(d)对三个隔离体应用平衡条件得对三个隔离体应用平衡条件得(下边受拉）(右边受拉）(左边受拉）mkN20kN40mkN15kN5kN4mkN5kN50QNQNQNDCDCDCDBDBDBDADADAMFFMFFMFF校核：结点校核：结点D的三个平衡条件的三个平衡条件3-3 静定平面刚架4. 刚架的内力图刚架的内力图

12、各杆的内力图合在一起各杆的内力图合在一起（1）求支座反力如图）求支座反力如图(a)（2）作）作M图，求各杆端弯矩图，求各杆端弯矩）（下）（边受拉右边受拉202022qaMMqaMMCBBCCAAC（3）作）作FQ图，求各杆端剪力图，求各杆端剪力20QQQQqaFFFqaFCBBCCAAC（4）作）作FN图，求各杆端轴力图，求各杆端轴力02NNNNCBBCCAACFFqaFF（5） 校核：校核： 结点结点C3-3 静定平面刚架例例3-4 另一种方法作图示刚架的另一种方法作图示刚架的FQ、FN图。图。（1）先作）先作M图，以杆件为隔离体图，以杆件为隔离体 利用杆端弯矩求杆端剪力利用杆端弯矩求杆端剪

13、力以以AC杆为隔离体求得杆为隔离体求得qaFMFMACCCAAQQ000以以CB杆为隔离体求得杆为隔离体求得2QQqaFFBCCB（2）求杆端轴力，取结点为）求杆端轴力，取结点为 C隔离体隔离体2000NNqaFFFFCAyCBx3-3 静定平面刚架例例3-5 作图示门式刚架的内力图。作图示门式刚架的内力图。解：解：（1）求支反力）求支反力)kN(384. 10)kN(384. 10)kN(5 . 40)kN(5 . 10 xBxAxxBCyAByBAFFFFMFMFM（2） 作作M图，如图图，如图(a)。3-3 静定平面刚架（3） 作作FQ图，取隔离体如图图，取隔离体如图(d)、(e)。 由

14、隔离体平衡条件由隔离体平衡条件求杆端剪力，并作图求杆端剪力，并作图(b)。3-3 静定平面刚架（4） 作作FN图，取隔离体如图图，取隔离体如图(f)、(g) 由结点平衡条件求由结点平衡条件求杆端轴力，并作图杆端轴力，并作图(c)。（5） 校核：取结点校核：取结点C验算平衡条件验算平衡条件显然满足！显然满足！3-3 静定平面刚架例例3-6 试作图示两层刚架的试作图示两层刚架的M图。图。解：组成次序解：组成次序-先固定下部，再固定上部先固定下部，再固定上部（1）先求约束力和支反力，如图）先求约束力和支反力，如图(a)。（2）作作M图图1桁架的特点和组成桁架的特点和组成 由杆件组成的格构体系，由杆件

15、组成的格构体系， 荷载作用在结点上，荷载作用在结点上， 各杆内力主要为轴力。各杆内力主要为轴力。钢筋混凝土组合屋架钢筋混凝土组合屋架武汉长江大桥采用的桁架形式武汉长江大桥采用的桁架形式3-4 静定平面桁架3-4 静定平面桁架 桁架内力计算时的假定桁架内力计算时的假定（1）桁架的结点都是光滑的铰结点）桁架的结点都是光滑的铰结点（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心（3）荷载和支座反力都作用在结点上）荷载和支座反力都作用在结点上桁架的计算简图桁架的计算简图 桁架桁架(a)中的任意杆件，中的任意杆件，只在两端受力，只在两端受力，CD只受轴力作用只受轴力作用3-4 静

16、定平面桁架平面桁架的分类平面桁架的分类（1）简单桁架）简单桁架 由基础（图由基础（图(b)）或一个基本铰接三角形（图）或一个基本铰接三角形（图(a)）开始，每次）开始，每次 用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。3-4 静定平面桁架（2）联合桁架）联合桁架 由几个简单桁架联合组成几由几个简单桁架联合组成几 何不变的的铰接体系。何不变的的铰接体系。（3）复杂桁架）复杂桁架 不属于前两类的桁架不属于前两类的桁架3-4 静定平面桁架2 结点法、截面法及其联合应用结点法、截面法及其联合应用 图图(a)杆杆AB的杆长的杆长l及其水平投

17、影及其水平投影lx 和竖向投影和竖向投影ly组成一个三角形。组成一个三角形。 图图(b)杆杆AB的轴力的轴力FN及其水平及其水平分量分量Fx 和竖向分量和竖向分量Fy组成一个三角形组成一个三角形两个三角形是相似的，因而两个三角形是相似的，因而yyxxlFlFlFN3-4 静定平面桁架结点法：取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平结点法：取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平 衡条件计算各杆的轴力。轴力为正表示拉力，轴力衡条件计算各杆的轴力。轴力为正表示拉力，轴力 为负表示压力。为负表示压力。例例3-7 图示一施工托架的计算简图，图示一施工托架的计算简图， 在所示荷载作用下，试求各在

18、所示荷载作用下，试求各 杆的轴力。杆的轴力。解解 （1）求支反力，如图）求支反力，如图（2）作结点）作结点A的隔离体图的隔离体图）（）（压力拉力kN33kN8 .34NNACADFF3-4 静定平面桁架（3）作结点）作结点C的隔离体图的隔离体图（4）作结点）作结点D的隔离体图的隔离体图）（）（压力压力kN8kN33NNCDCEFF）（）（拉力压力kN5 .37kN4 . 5NNDFDEFF（5）利用对称性）利用对称性 桁架和荷载都是对称的，桁架中的内桁架和荷载都是对称的，桁架中的内 力也是对称的。各杆的轴力如图力也是对称的。各杆的轴力如图（6）校核：取结点）校核：取结点E3-4 静定平面桁架结

19、点单杆的概念结点单杆的概念（1）结点只包含两个不共线的未）结点只包含两个不共线的未 知力杆，则每杆都是单杆。知力杆，则每杆都是单杆。（2）结点只包含三个未知力杆，其）结点只包含三个未知力杆，其 中有两杆共线，则第三杆是单中有两杆共线，则第三杆是单 杆。杆。3-4 静定平面桁架结点单杆的性质结点单杆的性质（1）结点单杆的内力可由该结点的平衡条件直接求出。）结点单杆的内力可由该结点的平衡条件直接求出。（2）当结点无荷载作用时，）当结点无荷载作用时， 结点单杆的内力必为零结点单杆的内力必为零 （称为零杆），如图（称为零杆），如图桁架除红色杆件内力桁架除红色杆件内力不为零，其余各杆都不为零，其余各杆都

20、是零杆。是零杆。3-4 静定平面桁架（3）可以依靠拆除单杆的方法将整个桁架拆完，则此桁架即可）可以依靠拆除单杆的方法将整个桁架拆完，则此桁架即可 应用结点法将各杆内力求出。计算顺序按拆除单杆的顺序应用结点法将各杆内力求出。计算顺序按拆除单杆的顺序 进行。进行。图图(a)单杆拆除次序如数字所示，各杆内力可用结点法求出。单杆拆除次序如数字所示，各杆内力可用结点法求出。3-4 静定平面桁架截面法：用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为截面法：用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为 隔离体，利用平面力系的三个平衡方程，计算所切各隔离体，利用平面力系的三个平衡方程，计算所切各 杆的未知轴

21、力。杆的未知轴力。例例3-8 试求图示桁架中试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。三杆的轴力。解：先求支反力如左图，解：先求支反力如左图， 作截面作截面m-m，切断，切断1、2、3 杆，取右边为隔离体如图杆，取右边为隔离体如图(a):）（）（）（压力压力拉力kN54. 10kN7 . 40kN87. 503N2N1NFFFMFMxdC3-4 静定平面桁架截面单杆的概念截面单杆的概念（1）截面只截断三个杆，）截面只截断三个杆， 且此三个杆不交于一点且此三个杆不交于一点 （或不彼此平行），则其（或不彼此平行），则其 中每一个杆都是截面单杆。中每一个杆都是截面单杆。（2）截面所截杆数大于三，）截面所截

22、杆数大于三， 但除一根杆外，其余各杆但除一根杆外，其余各杆 都交于一点（或都彼此平都交于一点（或都彼此平 行，则此杆是截面单杆。行，则此杆是截面单杆。3-4 静定平面桁架截面单杆的性质截面单杆的性质截面单杆的内力可从本截面相应截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条件直接求出。的隔离体的平衡条件直接求出。AF杆是杆是截面单杆截面单杆三个桁架都是联合桁架：两个简单桁架用三个连接杆三个桁架都是联合桁架：两个简单桁架用三个连接杆1、2、3装装配而成。对图中所示的截面，连接杆配而成。对图中所示的截面，连接杆1、2、3都是截面单杆，可都是截面单杆，可以直接求出其轴力。以直接求出其轴力。3-4 静定平

23、面桁架结点法和截面法的联合应用结点法和截面法的联合应用图示桁架求图示桁架求1、2的轴力的轴力用截面用截面m-m，取左边隔离体，取左边隔离体由由 得到包括得到包括Fy1和和Fy2两个未知量的方程。两个未知量的方程。 0yF 由结点由结点G的平衡，可以建立的平衡，可以建立Fx1和和Fx2的关系，从而就可建立的关系，从而就可建立Fy1和和Fy2的关系，联立求解。的关系，联立求解。3-4 静定平面桁架例例3-9 试求图示桁架中试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。三杆的轴力。解：先求支反力如图解：先求支反力如图取截面取截面m-m以右部为隔以右部为隔离体求离体求FN4。）（拉力kN1204NFMG作截面作

24、截面n-n，取左部，取左部为隔离体，求为隔离体，求FN2。00002N22FFFMxyD取结点取结点E为隔离体为隔离体）（拉力kN97.16kN12kN1203N33FFFFyxx）（压力kN1201NFFy 一部分杆件是链杆，只受轴力作用；另一部分杆件是梁一部分杆件是链杆，只受轴力作用；另一部分杆件是梁式杆，同时有轴力、弯矩、剪力作用。式杆，同时有轴力、弯矩、剪力作用。 图图(a)为下撑式五角形为下撑式五角形屋架，上弦为钢筋混凝土屋架，上弦为钢筋混凝土制成，下弦和腹杆为型制成，下弦和腹杆为型钢。钢。图图(b)为图为图(a)的计算简图的计算简图3-5 组合结构3-5 组合结构组合结构的计算步骤

25、组合结构的计算步骤先求出各链杆的轴力先求出各链杆的轴力再作梁式杆的内力图再作梁式杆的内力图应尽可能避免截断梁式杆应尽可能避免截断梁式杆注意：杆注意：杆FA和杆和杆FC不是链杆，不是链杆， 所以所以FD不是零杆不是零杆由由I-I左部隔离体求不出杆的轴力左部隔离体求不出杆的轴力3-5 组合结构例例3-10 试作图示下撑式五角形屋架的内力图试作图示下撑式五角形屋架的内力图解：解：（1）求链杆的轴力）求链杆的轴力 作截面作截面I-I取左部隔取左部隔 离体，如图离体，如图(b)。kN150NDECFM由结点由结点D和和E，求得所，求得所有链杆的轴力如图有链杆的轴力如图(b)。3-5 组合结构（2）梁式杆

26、的内力图）梁式杆的内力图 杆杆AFC的受力情况如图的受力情况如图(c)。 将结点将结点A处的竖向力合并处的竖向力合并后，受力图如图后，受力图如图(d)。 任一截面的剪力和轴力任一截面的剪力和轴力可按公式计算，可按公式计算，Fy为该截面为该截面所受竖向力的合力。所受竖向力的合力。cos15sinsin15cosNQyyFFFF3-5 组合结构AFC杆的内力图为杆的内力图为3-5 组合结构内力分析内力分析（1）高跨比）高跨比f/l值愈小，轴力值愈小，轴力FNDE愈大，屋架轴力愈大。愈大，屋架轴力愈大。（2）f1与与f2的关系的关系f确定后，内力状态随确定后，内力状态随f1与与f2的比例不同而改变。

27、的比例不同而改变。f1=0，为下撑式平行弦组合结，为下撑式平行弦组合结构，上弦全部为负弯矩。构，上弦全部为负弯矩。f1加大时，上弦正弯矩增大，加大时，上弦正弯矩增大，f1=（0.40.5)f时时,最大正负弯矩最大正负弯矩的数值大致相等。的数值大致相等。f2=0，为带拉杆的三铰拱式屋，为带拉杆的三铰拱式屋架，上弦全部为正弯矩。架，上弦全部为正弯矩。拱的特点：拱的特点： 在竖向荷载作用下有水在竖向荷载作用下有水平反力或称推力，如图平反力或称推力，如图(a)。图图(b)为有拉杆的三铰拱，为有拉杆的三铰拱，推力就是拉杆内的拉力。推力就是拉杆内的拉力。3-6 三铰拱3-6 三铰拱1. 三铰拱的支座反力和

28、内力三铰拱的支座反力和内力（1）支座反力计算）支座反力计算 图图(a)所示三铰拱有四个支座反所示三铰拱有四个支座反 力，拱的整体平衡求竖向反力。力，拱的整体平衡求竖向反力。)(10)(1022P11PV22P11PVaFaFlFMbFbFlFMBAAB图图(b)为跨度和荷载都为跨度和荷载都与三铰拱相同的简支梁与三铰拱相同的简支梁0VBVB0VVFFFFAA由由MC=0，考虑铰，考虑铰C左边所有外力左边所有外力fdFlFFA11P1VHfMFC0H显然显然3-6 三铰拱（2）内力计算：试求指定截面）内力计算：试求指定截面D的内力的内力图图(c)为简支梁相应截面为简支梁相应截面D左边的隔离体，左边

29、的隔离体，图图(d)为三铰拱截面为三铰拱截面D左边的隔离体，可得左边的隔离体，可得yFMMH0由图由图(e)得得D截面剪力和轴力为截面剪力和轴力为cossinsincosH0QNH0QQFFFFFF（3）受力特点）受力特点 竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。 由于有推力，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。由于有推力，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。 竖向荷载作用下，梁截面没有轴力，而拱截面有较大的轴向压力。竖向荷载作用下，梁截面没有轴力，而拱截面有较大的轴向压力。3-6 三铰拱例例3-11 图示三铰拱的轴线为抛物线：图示三铰拱的轴

30、线为抛物线： 试求支座反力，并绘制内力图。试求支座反力，并绘制内力图。)(42xlxlfy解解 （1）反力计算）反力计算 由计算公式由计算公式kN6)(kN5)(kN70H0VV0VVfMFFFFFCBBAA（2）内力计算：将拱沿跨度方向八等分，算出每个截面的内力。）内力计算：将拱沿跨度方向八等分，算出每个截面的内力。 以以x=12m的截面的截面D为例。为例。截面截面D的几何参数的几何参数894. 0cos447. 0sin43-26m3y截面截面D的内力由计算公式的内力由计算公式kN61.7kN79.1kN81.5kN79.1mkN2NRQRNLQLH0FFFFyFMM3-6 三铰拱拱的内力

31、图为拱的内力图为同跨度同荷载简支梁的弯矩图同跨度同荷载简支梁的弯矩图图图(d)中虚曲线为中虚曲线为FHy值，两条值，两条曲线的差值为三铰拱的弯矩值。曲线的差值为三铰拱的弯矩值。简支梁的最大弯矩为简支梁的最大弯矩为24.5kNm三铰拱的最大弯矩为三铰拱的最大弯矩为2kNm3-6 三铰拱2. 三铰拱的压力线三铰拱的压力线已知三铰拱中某截面已知三铰拱中某截面D左边左边(或右边或右边)的合力的合力FRD，即可确定该截面的内力，即可确定该截面的内力DDDDDDDDDFFFFrFMcossinRNRQRrD截面形心到合力作用线的距离截面形心到合力作用线的距离D合力合力FRD与与D点拱轴切线间的夹角点拱轴切

32、线间的夹角确定截面内力归结为确定截面一边所有确定截面内力归结为确定截面一边所有外力合力的问题。外力合力的问题。3-6 三铰拱截面合力图解作法截面合力图解作法1）确定各截面合力的大小和方向）确定各截面合力的大小和方向数解法确定支座数解法确定支座A、B反力反力FRA和和FRB。按按FRA、FP1、FP2、FP3、FRB顺序顺序画出闭合力多边形如图画出闭合力多边形如图(b)。四个射线四个射线FRA、12、23、 FRB分别表示分别表示AK1、K1K2、K2K3、K3B四段中任一截面所受的合力大小和方向四段中任一截面所受的合力大小和方向2）确定各截面合力的作用线）确定各截面合力的作用线过过A点作射线点

33、作射线FRA的平行线的平行线AF即为合力即为合力FRA的作用线的作用线过过F点作射线点作射线12的平行线的平行线FG即为合力即为合力12的作用线的作用线AFGHB组成索多边形组成索多边形三铰拱的压力线（压力多边形）三铰拱的压力线（压力多边形）3-6 三铰拱3. 三铰拱的合理轴线：固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的三铰拱的合理轴线：固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的 轴线（压力线与拱轴线重合）轴线（压力线与拱轴线重合）H0H0)()(FxMxyyFMM竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标与简支梁弯矩图的纵坐标成正比。与简支梁弯矩图的纵坐标成正比。例例3-1

34、2 试求图示三铰拱的合理拱轴线。试求图示三铰拱的合理拱轴线。解解 合理拱轴线合理拱轴线H0FMy 图图(b)简支梁的弯矩为简支梁的弯矩为)(20 xlxqM拱的推力为拱的推力为fqlfMFC820H)(42xlxlfy3-6 三铰拱例例3-13 设三铰拱受均匀水压力作用，设三铰拱受均匀水压力作用， 试证明其合理轴线是圆弧曲线试证明其合理轴线是圆弧曲线证：推导曲杆内力的微分关系，见左图。证：推导曲杆内力的微分关系，见左图。 由微段平衡条件得：由微段平衡条件得：)a (ddddddQNQQNFsMqRFsFqRFsFrsqqqrs 0)b(ddddddQNQQNFsMqRFsFRFsF设拱处于无弯

35、矩状态设拱处于无弯矩状态) c (00NQ）（常数CFFM将将(c)代入代入(b)得得qFRN拱的合理轴线为圆弧拱的合理轴线为圆弧3-6 三铰拱例例3-14 设在三铰拱的上面填土设在三铰拱的上面填土,填土表填土表面为一水平面，试求在填土重量下三面为一水平面，试求在填土重量下三铰拱的合理轴线。设填土的重力密度铰拱的合理轴线。设填土的重力密度为为，拱受竖向分布荷载，拱受竖向分布荷载q。解：将解：将 对对x微分两次微分两次H0FMy )a ()(dd)(ddH22202FxqxyxqxM将将q代入代入(a)得得)b(ddHH22FqyFxyC(b)的解答为的解答为CqxFBxFAyHHshch00d

36、d000BxyxqAyxC得由得由因此因此) 1ch(HxFqyC(悬链线方程悬链线方程)1. 隔离体的形式、约束力及独立平衡方程如图隔离体的形式、约束力及独立平衡方程如图铰结点为隔离体铰结点为隔离体两个未知力两个未知力两个独立平衡方程两个独立平衡方程杆杆AC为隔离体为隔离体三个未知力三个未知力三个独立平衡方程三个独立平衡方程铰结体系为隔离体铰结体系为隔离体四个未知力四个未知力四个独立平衡方程四个独立平衡方程3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选2. 计算的简化和隔离体截取顺序的优选计算的简化和隔离体截取顺序的优选 图图(a)结构和荷载都结构和荷载都是左右对称

37、的，反力与是左右对称的，反力与内力也是对称的，隔离内力也是对称的，隔离体如图体如图(b)。 图图(a)是按照是按照I，次次序组成的，受力分析按序组成的，受力分析按照相反的次序截取单照相反的次序截取单元，如图元，如图(b)所示。所示。1. 虚功原理：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符虚功原理：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。的虚功总和恒等于零。 虚设位移求未知力：图虚设位移求未知力：图(a)所示杠杆，所示杠杆，在在B点作用已知荷载点作用已知荷载FP，求杠杆

38、平衡时在，求杠杆平衡时在A点需加的未知力点需加的未知力FX。作虚位移如图作虚位移如图(b)，虚功方程为，虚功方程为0PPFFXXabXPP令令为常数为常数则则PFabFX为方便计算，设为方便计算，设X=1，如图，如图(c)。3-8 刚体体系的虚功原理3-8 刚体体系的虚功原理例例3-15 图示机构在图示机构在F点作用已知荷载点作用已知荷载FP。试求机构平衡时在。试求机构平衡时在B 点需加的力点需加的力FX。已知。已知CA、CB、CD、CE、FD、FE各线各线 段的长度为段的长度为a。解解 （1）建立虚功方程）建立虚功方程0PPFFXX（2）建立位移之间的几何关系，由图）建立位移之间的几何关系，由图cbacabXd3dsincos2Pcot23PX（3）求未知力）求未知力FX，将几，将几 何关系代入虚功方程何关系代入虚功方程cot23PFFX（4）结论：几何关系的推导是关键）结论：